65. Median of two Sorted Arrays

Description

There are two sorted arrays A and B of size m and n respectively. Find the median of the two sorted arrays.

Clarification

The definition of the median:

The median here is equivalent to the median in the mathematical definition.

The median is the middle of the sorted array.

If there are n numbers in the array and n is an odd number, the median is A[(n-1)/2]A[(n−1)/2].

If there are n numbers in the array and n is even, the median is (A[n / 2] + A[n / 2 + 1]) / 2.

For example, the median of the array A=[1,2,3] is 2, and the median of the array A=[1,19] is 10.

Example

Example 1

Input:

A = [1,2,3,4,5,6]

B = [2,3,4,5]

Output: 3.5

Example 2

Input:

A = [1,2,3]

B = [4,5]

Output: 3

Challenge

The overall run time complexity should be O(log (m+n)).

思路：

1.最容易想的是将两个数组合成一个，然后求中位数，复杂度为O(m +n).

2.第二个是时间复杂度为O(log (m+n))，非常难想。

讲下面的算法之前，先说2个结论1：某个数组中有一半的元素不超过数组的中位数，有一半的元素不小于中位数（如果数组中元素个数是偶数，那么这里的一半并不是严格意义的1/2）。结论2：如果我们去掉数组比中位数小的k个数，再去掉比中位数大的k个数，得到的子数组的中位数和原来的中位数相同。

算法2：利用折半查找的思想，假设两个数组的中位数分别是vec1[m1], vec2[m2] 本文地址

1、如果vec1[m1] = vec2[m2] ，那么刚好有一半元素不超过vec1[m1]，则vec1[m1]就是要找的中位数。

2、如果vec1[m1] < vec2[m2] 根据结论1很容易可以推理出，这个中位数只可能出现在vec1[n1/2,…,n1-1]或vec2[0,…,(n2-1)/2]中，那么vec1[n1/2,…,n1-1]和vec2[0,…,(n2-1)/2]的中位数是不是和原来两个数组的中位数相同呢？根据结论2，如果原数组长度相等，即n1=n2，那么中位数不变；如果长度不相等，vec2中去掉的大于中位数的数的个数 > vec1中去掉的小于中位数的数的个数 ，则中位数不一定不变。因此我们要在两个数组中去掉相同个数的元素。如下图所示，假设n1 < n2, 两个数组都去掉n1/2个元素，则子数组vec1[n1/2,…,n1-1]和vec2[0,…,n2-1-n1/2]的中位数和原来的中位数相同，图中红色方框里是去掉的元素。

注意：在n1

3、如果vec1[m1] > vec2[m2] ，同上分析，中位数只可能出现在vec1的前半段或vec2的后半段。如下图所示，两个数组分别去掉n1/2个元素后，子数组vec1[0,…,n1/2-1]和vec2[n1/2,…,n2-1]的中位数和原来的中位数相同

代码：

1.

2.