定积分复习

注：本文仅为笔者复习笔记，水平有限，如有错误，望各位读者不惜笔墨不啬赐教，鄙人将不胜感激！

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一、定积分概念

定义1

模的定义

设闭区间$[a,b]$上有$n-1$个点，依次为$a=x_0<x_1<\cdots <x_{n-1}<x_n=b$，将区间$n$份分割，那么这些分点或闭子区间构成对$[a,b]$的一个分割，记作$T=\{x_0,x_1,\cdots ,x_n\}或\{{\Delta }_1,{\Delta }_2,\cdots ,{\Delta }_n\}$

其中，小区间的长度${\Delta }_i=x_i-x_{i-1}$，并记$||T||=\underset{1\le i\le n}{\max }\{{\Delta }_i\}$，叫做分割 $T$ 的模

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（模就是所有分割的最大值，因而一定程度上反应了分割的精细程度，而我们马上想到，将“精细”这个数学概念的数学语言描述同之前的$\epsilon -\delta$语言联系起来，这就为随后的定积分定义奠定了一定的基础）

定义2

设$f$是定义在$[a,b]$上的一个函数，对于$[a,b]$的一个分割$T=\{{\Delta }_1,{\Delta }_2,\cdots ,{\Delta }_n\}$，在分割的闭区间上任意取点${\xi }_i\in {\Delta }_i，i=1,2,3,\cdots ,n$，并作和式${\sum }_{i=1}^{n}f({\xi }_i){\Delta }_i$，和式就叫做函数$f$在$[a,b]$上的一个积分和，也叫黎曼和

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（有黎曼和的定义式不难发现，给定$f$的情况下，其计算仅与点${\xi }_i$和分割的模$T$有关，一般来说，在做题的过程中，如果出现了黎曼和定义问题，聚焦点一般是放在${\xi }_i$的取法上，某些特殊的${\xi }_i$的取法可以大大简化黎曼和的计算，另外，利用$f$的有界的性质或是找到其上下两侧的两条曲线去夹逼也是一种思路）

定义3

设$f$是定义在$[a,b]$上的一个函数，$J$是确定参数。若对于任意正数$\epsilon >0$，总有某一正数$\delta >0$，使得对于$[a,b]$的任何分割$T$，以及在分割闭子区间上的任意点集$\{{\xi }_i\}$，只要$||T||<\delta$，就有不等式$|{\sum }_{i=1}^{n}f({\xi }_i){\Delta }_i-J|<\epsilon$成立，那么函数$f$在$[a,b]$上黎曼可积，$J$称为$f$在$[a,b]$上的定积分或黎曼积分，记作$J={\int }_a^{b}f(x)\mathrm{d}x$

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（通过黎曼积分的定义，不难同极限的定义相联系，笔者对这里的浅薄看法是，这里的区间无限现象是由分割无穷精细造成的，而当区间本身无穷->广义积分时，若我们此时将每一个分割和其上的函数值点乘积$f({\xi }_i){\Delta }_i$看作数列中的$a_i$项，那么柯西收敛准则也就可以描述广义积分的敛散性了，这里对于定积分是否可以应用笔者尚未查阅资料有待考证，以上仅为笔者一家之言，如有错误还望各位指正，感激不尽！）

定积分的几何意义

定积分的几何意义就是曲边梯形的符号面积，曲边梯形在x轴上方就是正，反之为负，定积分$J$的值就是$f$在区间$[a,b]$上符号面积的代数和

习题

本节的习题主要集中在黎曼积分的定义上，同前文所言，聚焦于${\xi }_i$点列如何去取，限于篇幅，笔者将其安排至此

• 若$f({\xi }_i)$形式简单方便易求，那么要求${\xi }_i$的取法要服务于计算，也就是一定程度上“有序”
• 另外一个思路是$f({\xi }_i)$形式复杂，不易计算，我们考虑利用上下界函数（形式稍微简单些）去夹逼或转化成第一种思路

对于第一种思路，我们对于分式通常采用差分的方法，对于指对可以利用麦克劳林展开成有理和式的形式再考虑差分或放缩，此外，均值不等式链去构造进而转化成数列极限问题也是一个不错的思路。

不等式链

调和均值：$H_n=\frac{n}{\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}+\cdots +\frac{1}{x_n}}$

几何均值：$G_n=\sqrt[n]{x_1{x}_2{x}_3\cdots x_n}$

算数均值：$A_n=\frac{x_1+x_2+\cdots +x_n}{n}$

平方均值：$Q_n=\sqrt{\frac{x_1^2+x_2^2+\cdots +x_n^2}{n}}$

有不等关系$H_n\le G_n\le A_n\le Q_n$

请看下例：
$求{\int }_a^b\frac{\mathrm{d}x}{x^2}(0<a<b)$

这里观察区间分割对于积分没有影响，考虑等分区间，分割为$T=\{\frac{(b-a)\cdot i}{n}\}$，容易有$x_i-x_{i-1}=\frac{(b-a)}{n}$是个定值，也就是说我们可以考虑差分的构造方式

黎曼和计算：
$\underset{n\to \infty }{\lim }{\sum }_{i=1}^{n}f({\xi }_i)\frac{b-a}{n}$，取${\xi }_i=\sqrt{x_{i-1}{x}_i}$

得$\underset{n\to \infty }{\lim }{\sum }_{i=1}^n\frac{1}{x_i{x}_{i-1}}\cdot \frac{b-a}{n}$，容易求得$J=\frac{b-a}{ab}$

求${\lim }_{n\to \infty }\frac{1}{n^4}(1^3+2^3+\cdots +n^3)$

逆用定积分的定义，原式可转化为
$\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{1}{n}{\sum }_{i=1}^n(\frac{i}{n}{)}^3={\int }_0^1{x}^3\mathrm{d}x=\frac{1}{4}$

二、牛顿-莱布尼兹公式

定义：若函数$f$在$[a,b]$上连续，且存在原函数$F$，即$F^{\prime }(x)=f(x)，x\in [a,b]$，则$f$在$[a,b]$上可积，且有${\int }_a^{b}f(x)=F(b)-F(a)$

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牛莱公式的证明，该如何去证呢？在考研数学中，笔者认为这一部分争议很大，很多课程和老师将$f$记作变上限积分的方式去作，但是函数能写成变上限积分的形式也是需要考证的，再细说，又得证明积分中值定理，所以这条路完整的证明实际上纷繁复杂，笔者这里考虑走定义，利用分割区间和拉格朗日中值定理去证明，在定理的牵扯上相对不那么紧密，请看证明

对于任意$\epsilon >0$，只需证明存在$\delta >0$，当给出分割$||T||<\delta$，有不等式$|{\sum }_{i=1}^{n}f({\xi }_i){\Delta }_i-[F(b)-F(a)]|<\epsilon$成立即可

而在各分割区间上对$F(x)$利用拉格朗日中值定理，则存在${\eta }_i\in (x_{i-1},x_i)，i=1,2,\cdots ,n$有
$F(b)-F(a)={\sum }_{i=1}^n[F(x_i)-F(x_{i-1})]={\sum }_{i=1}^{n}f({\eta }_i){\Delta }_i$

又由题意，$f$在$[a,b]$上连续，从而一致连续，所以对上述的$\epsilon >0$，存在$\delta >0$，当$x^{\prime },x^{\prime \prime }\in [a,b]$且$|x^{\prime }-x^{\prime \prime }|<\delta$时，有关系$|f(x^{\prime })-f(x^{\prime \prime })|<\frac{\epsilon }{b-a}$成立

所以当${\Delta }_i\le ||T||\le \delta$时，任取${\xi }_i\in [a,b]$，都有$|{\eta }_i-{\xi }_i|<\delta$，也就有
$$\begin{array}{rl}|\sum _{i=1}^{n}f({\xi }_i){\Delta }_i-[F(b)-F(a)]|& =|\sum _{i=1}^n[f({\xi }_i)-f({\eta }_i)]{\Delta }_i|\\ & \le \sum _{i=1}^n|f({\xi }_i)-f({\eta }_i)|{\Delta }_i\\ & <\frac{\epsilon }{b-a}\cdot \sum _{i=1}^n{\Delta }_i=\epsilon \end{array}$$
所以$f$在$[a,b]$上可积（这里拉中的证明就不赘述了）

注：

1. 实际上，若$f$连续，对$F$存在的假设多余了^ ^
2. 定理可以似乎当弱化
   1. $F$在$[a,b]$上连续，在$(a,b)$上可导即可
   2. $f$在$[a,b]$上可积（不一定连续）

三、可积条件

1. 可积必要条件

若函数$f$ 在$[a,b]$ 上可积，那么$f$ 在$[a,b]$ 上有界

2. 可积的充要条件

设$T=\{{\Delta }_i|i=1,2,\cdots ,n\}$ 为$[a,b]$ 的一个分割，由$f$ 在$[a,b]$ 上有界，那么在每个${\Delta }_i$ 都明确的上下确界：

$M_i=\underset{x\in {\Delta }_i}{\sup }f(x)$，$m_i=\underset{x\in {\Delta }_i}{\sup }f(x)$ ，$i=1,2,\cdots ,n$

则有$S(T)=\sum _{i=1}^n{M}_i{\Delta }_i$ ，$s(T)=\sum _{i=1}^n{m}_i{\Delta }_i$ ，显然有$s(T)\le \sum _{i=1}^{n}f({\xi }_i){\Delta }_i\le S(T)$

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可积准则

函数$f$ 在$[a,b]$ 上可积的充要条件是：

任给$\epsilon >0$，总存在相应的分割$T$ ，满足$S(T)-s(T)<\epsilon$

其中记${\omega }_i=M_i-m_i$ ，称为$f$ 在${\Delta }_i$ 上的振幅（为了区分函数有时也记作${\omega }_i^f$ ）

那么可积准则又可以写成如下的叙述：

任给$\epsilon >0$，总存在相应的分割$T$ ，满足$\sum _T{\omega }_i{\Delta }_i<\epsilon$

3. 可积函数类（可积的充分条件）

• 若$f$ 为$[a,b]$ 上连续函数，那么$f$ 在$[a,b]$ 上可积
• 若$f$ 为$[a,b]$ 上有限个间断点的有界函数，那么$f$ 在$[a,b]$ 上可积
• 若$f$ 为$[a,b]$ 上的单调函数，那么$f$ 在$[a,b]$ 上可积

注：单调函数纵使有无数个间断点，仍不失其可积性

4. 一些结论

1. 若$T^{\prime }$ 是$T$ 的一个分割，那么有$\sum _{T^{\prime }}{\omega }_i^{\prime }{\Delta }_i^{\prime }\le \sum _T{\omega }_i{\Delta }_i$ （分割越精细，值越小）
2. 若$f,g$ 均是定义在$[a,b]$ 上的有界函数，且仅在有限点处$f\ne g$ ，若$f$ 在$[a,b]$ 上可积，则$g$ 在$[a,b]$ 上亦可积，且有等式${\int }_a^{b}f(x)\mathrm{d}x={\int }_a^{b}g(x)\mathrm{d}x$ 成立 （分段函数使用牛莱公式时端点处的原因说明）

5. 习题

试证明函数在区间$[0,1]$ 上可积 $$f(x)=\{\begin{array}{rl}& 0,x=0,\\ & \frac{1}{n},\frac{1}{n+1}<x\le \frac{1}{n},n=1,2,\cdots \end{array}$$

证明：

任给$\epsilon >0$ ，由于$\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{1}{n}=0$ ，所以当$n$ 充分大时，$\frac{1}{n}<\frac{\epsilon }{2}$ ，由此得到$f$ 在$[\frac{\epsilon }{2},1]$ 上只有有限个间断点

于是不难得出其在$[\frac{\epsilon }{2},1]$ 上可积，且在$[\frac{\epsilon }{2},1]$ 上存在某一分割$T^{\prime }$ ，有$\sum _{T^{\prime }}{\omega }_i{\Delta }_i<\frac{\epsilon }{2}$

那么将前半区间与$T^{\prime }$ 合并成一个对$[0,1]$ 上的分割

而$f$ 在$[0,\frac{\epsilon }{2}]$ 上的振幅${\omega }_0<1$ ，因此有$\sum _T{\omega }_i{\Delta }_i={\omega }_0\cdot \frac{\epsilon }{2}+\sum _{T^{\prime }}{\omega }_i{\Delta }_i<\frac{\epsilon }{2}\cdot 2=\epsilon$

所以得到$f$ 在$[0,1]$ 上可积

注：实际上由$f$ 是一增函数，纵使其有无穷多个间断点，$x_n=\frac{1}{n}$ ，但由可积的充分条件其依然是可积的

四、定积分部分性质

1. 性质

1. 线性性质
2. 若$f,g$ 在$[a,b]$ 上可积，则$f\cdot g$ 也在$[a,b]$ 上可积
3. $f$ 在$[a,b]$ 可积$⟺$ 任给$c\in (a,b)$ ，$f$ 在$[a,c]$ 与$[c,b]$ 上都可积，此时有${\int }_a^{b}f(x)\mathrm{d}x={\int }_a^{c}f(x)\mathrm{d}x+{\int }_c^{b}f(x)\mathrm{d}x$
4. $f$ 在$[a,b]$ 上可积，则$|f|$ 在$[a,b]$ 上也可积，且不等式$|{\int }_a^{b}f(x)\mathrm{d}x|\le {\int }_a^b|f(x)|\mathrm{d}x$ 成立
5. $f$ 在$[a,b]$ 上可积，$f\ge 0$ ，则${\int }_a^{b}f(x)\mathrm{d}x\ge 0$

2. 定理

1. 积分第一中值定理：若$f$ 在$[a,b]$ 上连续，至少存在一点$\xi \in [a,b]$ ，有${\int }_a^{b}f(x)\mathrm{d}x=f(\xi )(b-a)$
2. 积分第一中值定理的推广：若$f,g$ 在$[a,b]$ 上连续，且$g$ 在$[a,b]$ 上不变号 ，至少存在一点$\xi \in [a,b]$ 有${\int }_a^{b}f\cdot g\mathrm{d}x=f(\xi ){\int }_a^{b}g\mathrm{d}x$

五、微积分基本定理、定积分计算

1. 变限积分与原函数的存在性

设$f$ 在$[a,b]$ 上可积，则对任意$x\in [a,b]$ ，都有$f$ 在$[a,x]$ 上可积，于是记$\Phi (x)={\int }_a^{x}f\mathrm{d}t,x\in [a,b]$

那么上面的式子定义了一个以 $x$ 为积分上限的函数，称为变上限的定积分，同理可以定义变下限定积分，二者统称为变限积分

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• 若$f$ 在$[a,b]$ 上可积，那么$\Phi (x)$ 在$[a,b]$ 上连续

证明：
$\Delta \Phi ={\int }_a^{x+\Delta x}f(t)\mathrm{d}t-{\int }_x^{x+\Delta x}f(t)\mathrm{d}t={\int }_x^{x+\Delta x}f(t)\mathrm{d}t$

因$f$ 可积，所以$f$ 有界，记$|f|\le M$

那么有$|\Delta \Phi |=|{\int }_x^{x+\Delta x}f(t)\mathrm{d}t|\le {\int }_x^{x+\Delta x}|f(t)|\mathrm{d}t\le M\Delta x$ （$\Delta x<0$ 时有$|\Delta \Phi |\le M|\Delta x|$ ）

所以$\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\Delta \Phi =0$ ，因而$\Phi$ 在$x$处连续，由于$x$ 任意性，有$\Phi$ 在$[a,b]$ 上连续

• 若$f$ 在$[a,b]$ 上连续，则$\Phi$ 在$[a,b]$ 上处处可导，且有${\Phi }^{\prime }(x)=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}{\int }_a^{x}f(t)\mathrm{d}t，x\in [a,b]$

上述定理即为原函数存在定理

证明：
对$[a,b]$ 中给定的$x$ ，当$\Delta x>0$ 且$x+\Delta x\in [a,b]$ 时，由积分第一中值定理

有$\frac{\Delta \Phi }{\Delta x}=\frac{1}{\Delta x}{\int }_x^{x+\Delta x}f(t)\mathrm{d}t=f(x+\theta \Delta x)，\theta \in [a,b]$

而$f$ 连续，因此有$\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{\Delta \Phi }{\Delta x}=\underset{\Delta x\to 0}{\lim }f(x+\theta \Delta x)=f(x)$

再由$x$ 的任意性，因此证得$\Phi$ 是$f$ 在$[a,b]$ 上的一个原函数

注：此定理沟通了导数与定积分的内在联系，以积分形式给出$f$ 的一个原函数，同时也证明了“连续函数必有原函数”这一结论，其重要作用使其被誉为微积分基本定理

2. 定积分计算

换元积分

若$f$ 在$[a,b]$ 上连续，${\varphi }^{\prime }$ 在$[a,b]$ 上连可积，且满足$\varphi (\alpha )=a,\varphi (\beta )=b,\varphi ([\alpha ,\beta ])\subseteq [a,b]$

那么有定积分换元积分法${\int }_a^{b}f(x)\mathrm{d}x={\int }_{\alpha }^{\beta }f(\varphi (t)){\varphi }^{\prime }(t)\mathrm{d}t$

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换元积分要利用好定义域关系，首先要关注被积函数本事的对称性、周期性等特殊性质，在看到例如$1-x$ 、三角函数等，可以考虑做变换，令$t=1-x、t=\frac{\pi }{2}$ 等去化简或者是抵消原来不好做的积分，

当然，耳熟能详的区间再现公式就是这个思路

请看下题：

计算$J={\int }_0^1\frac{\ln (1+x)}{1+x^2}\mathrm{d}x$

解：

令$x=\tan t,t\in [0,\frac{\pi }{4}]$

$$\begin{array}{rl}J& ={\int }_0^{\frac{\pi }{4}}\ln (1+\tan t)\mathrm{d}t={\int }_0^{\frac{\pi }{4}}\ln \frac{\cos t+\sin t}{\cos t}\mathrm{d}t\\ & ={\int }_0^{\frac{\pi }{4}}\ln \frac{\sqrt{2}\cos (\frac{\pi }{4}-t)}{\cos t}\mathrm{d}t\\ & ={\int }_0^{\frac{\pi }{4}}\ln \sqrt{2}\mathrm{d}t+{\int }_0^{\frac{\pi }{4}}\ln \cos (\frac{\pi }{4}-t)\mathrm{d}t-{\int }_0^{\frac{\pi }{4}}\ln \cos t\mathrm{d}t\\ & =\frac{\pi }{8}\ln 2+{\int }_{\frac{\pi }{4}}^0\ln \cos u(-\mathrm{d}u)-{\int }_0^{\frac{\pi }{4}}\ln \cos t\mathrm{d}t\\ & =\frac{\pi }{8}\ln 2\end{array}$$

分部积分

若$u,v$ 为$[a,b]$ 上的可微函数，且$u^{\prime }(x)$ 和$v^{\prime }(x)$ 都在$[a,b]$ 上可积，则有${\int }_a^{b}u{v}^{\prime }\mathrm{d}x=uv{|}_a^b-{\int }_a^b{u}^{\prime }v\mathrm{d}x$

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由分部积分，结合不定积分中通项公式类型的积分规律，可以得到Wallis公式 ，也有因其计算巧妙而称作”点火公式“

$J_n={\int }_0^{\frac{\pi }{2}}{\sin }^{n}x\mathrm{d}x={\int }_0^{\frac{\pi }{2}}{\cos }^{n}x\mathrm{d}x=\frac{n-1}{n}{J}_{n-2},n\ge 2$
$$\{\begin{array}{rl}& J_{2m}=\frac{(2m-1)!!}{(2m)!!}\cdot \frac{\pi }{2}\\ & J_{2m+1}=\frac{(2m)!!}{(2m+1)!!}\cdot 1\end{array}$$
且通过Wallis 公式我们能得到$\pi$ 和整数之间的一些关系，即$\frac{\pi }{2}=\underset{m\to \infty }{\lim }[\frac{(2m)!!}{(2m+1)!!}{]}^2\cdot \frac{1}{2m+1}$

积分第二中值定理

设函数$f$ 在$[a,b]$ 上可积

• 若 $g$ 在$[a,b]$ 上减，且 $g$ 非负，则存在$\xi \in [a,b]$ 有${\int }_a^{b}f\cdot g\mathrm{d}x=g(a){\int }_a^{\xi }f(x)\mathrm{d}x$
• 若 $g$ 在$[a,b]$ 上增，且 $g$ 非负，则存在$\eta \in [a,b]$ 有${\int }_a^{b}f\cdot g\mathrm{d}x=g(b){\int }_{\eta }^{b}f(x)\mathrm{d}x$
• 若 $g$ 在$[a,b]$ 上单调，则存在$\xi \in [a,b]$ 有${\int }_a^{b}f\cdot g\mathrm{d}x=g(a){\int }_a^{\xi }f(x)\mathrm{d}x+g(b){\int }_{\xi }^{b}f(x)\mathrm{d}x$

证明从略，利用微积分基本定理和介质定理易证

3. 泰勒公式余项拓展

泰勒公式的推导

一元函数泰勒公式：

$f(x)=f(x_0)+f^{\prime }(x_0)(x-x_0)+\cdots +\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0{)}^n+R_n(x)$ ，其中$R_n(x)$ 就是我们此处要讨论的余项

插一句，泰勒公式的本质实际上就是在一点附近，利用一个$n$ 次多项式去逼近一个光滑函数，泰勒多项式的部分若记作$f_n(x)$ ，那么原函数就可以表示成$f=f_n+R_n$ ，这个余项就是泰勒多项式与原函数的”误差“，当然，我们肯定希望误差越小越好

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积分型余项

在$[a,b]$ 上$u(x),v(x)$ 有 $n+1$ 阶连续导函数，反复应用分部积分，则有

${\int }_a^{b}u(x)v^{(n+1)}(x)\mathrm{d}x=[u{v}^{(n)}-u^{\prime }{v}^{(n-1)}+\cdots +(-1{)}^n{u}^{(n)}v]{|}_a^b+(-1{)}^{n+1}{\int }_a^b{u}^{(n+1)}v\mathrm{d}x$

此时令$x\in U(x_0),u(t)=(x-t{)}^n,v(t)=f(t),t\in [x_0,x]$ ，利用上式可以得到泰勒公式的积分型余项

$R_n(x)=\frac{1}{n!}{\int }_{x_0}^x{f}^{(n+1)}(t)(x-t{)}^n\mathrm{d}t$ ，有了泰勒公式的积分型余项，推到其他几种余项就极为方便了

拉格朗日型余项

对积分型余项利用积分第一中值定理有

$$\begin{array}{rl}{R}_n(x)& =\frac{1}{n!}{\int }_{x_0}^x{f}^{(n+1)}(t)(x-t{)}^n\mathrm{d}t\\ & =\frac{1}{n!}{f}^{(n+1)}(\xi ){\int }_{x_0}^x(x-t{)}^n\mathrm{d}t\\ & =\frac{1}{(n+1)!}{f}^{(n+1)}(\xi )(x-x_0{)}^{n+1}\end{array}$$

其中$\xi =x_0+\theta (x-x_0)，0\le x\le 1$

柯西型余项

对积分型余项直接利用积分型余项得到 $R_n(x)=\frac{1}{n!}{f}^{(n+1)}(\xi )(x-\xi {)}^n(x-x_0)$ ，其中$\xi =x_0+\theta (x-x_0),0\le x\le 1$

所以化简得到$R_n(x)=\frac{1}{n!}{f}^{(n+1)}(x+\theta (x-x_0))(1-\theta {)}^n(x-x_0{)}^{n+1},0\le \theta \le 1$

$x_0=0$ 时有$R_n(x)=\frac{1}{n!}{f}^{(n+1)}(\theta x)(1-\theta {)}^n{x}^{n+1}$

佩亚诺型余项

若$f$ 在点$x_0$ 处存在直至$n$ 阶导数，记$T_n$ 为其泰勒多项式，那么有$f(x)=T_n(x)+o((x-x_0{)}^n)$

证明：

$R_n(x)=f(x)-T_n(x)，Q_n(x)=(x-x_0{)}^n$

只需证$\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{R_n(x)}{Q_n(x)}=0$ ，由于$f$ 存在$n$ 阶导数，所以在$x$ 的领域内存在$n-1$ 阶导数

所以反复利用洛必达法则有 $\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{R_n(x)}{Q_n(x)}=\frac{1}{n!}\underset{x\to x_0}{\lim }[\frac{f^{(n-1)}(x)-f^{(n-1)}(x_0)}{x-x_0}-f^{(n)}(x_0)]=0$

证毕！

几种余项对比

• 佩亚诺型余项展开要求$f$ 在点$x_0$ 处存在直至$n$ 阶的导数
• 拉格朗日型余项和柯西型余项展开要求$f$ 在$[a,b]$ 上存在直至$n$ 阶的连续导函数，在 $(a,b)$ 上存在$(n+1)$ 阶导函数
• 积分型余项要求$f$ 在$[a,b]$ 上有 $n+1$ 阶连续导函数

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1. 从几种余项的要求来看，佩亚诺型余项的要求最低，只需要存在$n$ 阶的导数即可，因而其蕴含的信息相对较低
2. 佩亚诺型余项只是说定性地告诉我们，其误差项$R_n(x)$ 是$(x-x_0{)}^n$ 的高阶无穷小量，而拉格朗日型余项和柯西型余项，其定量地告诉了我们这个余项的范围和形式，以便于我们去进行一些估算
3. 积分型余项则是利用了更多信息，要求在$n+1$ 阶上连续，才能构造出变限积分的形式

补：施勒米尔希-洛希余项

只作兴趣参考，不展开讨论

泰勒展开式的施勒米尔希-洛希余项 - 知乎 (zhihu.com)