2019-11-22 Seminar (strong integrability & r-matrix)

这周的的讨论班还是介绍关于lambda deformation的最新工作：strong integrability。 Review自己领域里的工作是责无旁贷的吧。
以此为契机，回顾还有补漏了一些可积性的一般讨论。在讨论的时候，还澄清了之前的一些误区。

因为文章里提到新的概念：strong integrability，所以我们还是先回顾了一些可积性里面的基本概念。因为历史原因，可积性的概念有些模糊，就比如“几何”这个概念，所以并不用纠结可积性这个名字，心里有一个大致的图像或是感觉，然后具体问题具体分析就好了。经典可积的图像就是刘维尔可积。
考虑经典力学的一个理论，如果相空间的维数是2n，那么如果系统具有n个独立的守恒量，并且他们之间是involutive的，那么理论就是可积的。

关于这个定义，我之前有个误区：认为独立条件和involution（泊松括号为0）是等价的，其实并不是。两个条件都是可积性的必要条件之一。
在这个基础上，如果系统具有n+m个独立的守恒量，那么就称理论是super可积的。如果系统具有可能最多的守恒量2n-1，那么系统称为maximal super可积。
strong 可积的概念并不是普遍的。要引入这个概念，我们要用现代的Lax pair 的角度来描述可积性。

引入Lax pair 我们要借助一个辅助空间，如果系统的运动方程可以写成Lax equation，那么很有可能系统就是可积的，因为Lax pair给我们提供了很多守恒量，我们剩下的就是找到n个独立的，并且验证他们之间的泊松括号为0（involution condition）。这里我们只关注involution的问题。这个involution条件可以写成一个Lax pair的泊松括号需要满足等式，我们称为刘维尔交换关系，在这个等式里有一个新的量r-matrix。对这个等式求解也就在某种程度上对可积系统进行分类，就好比lie algebra 的分类过程。泊松括号的Jacobi 等式会对r-matrix 有一个自洽性的限制。如果r-matrix不依赖物理自由度（constant matrix但是可以依赖额外的spectral parameters）， 那么这个限制就是一个r本身的不依赖于Lax operator 的等式：classical Yang-Baxter equation。

下面我们考虑2维qft的情况，也就是考虑系统有无穷自由度的情况，很明显刘维尔可积性的概念已经不适用，但是Laxpair 的描述还是成立的。一般认为，如果我们可以找到lax pair 那么系统就是经典可积的。有laxpair我们可以构造叫无穷多的守恒量，但是要真正的求解理论，并且把经典可积增强成量子可积，还是需要involution的条件。但是这个involution的条件可能不是唯一的。这个条件还是一个关于lax operator泊松括号等式。如果这个等式只含有delta function而不涉及它的导数，那么就说这个系统是ultra-local的，从这个等式出发，我们可以推出Sklyanin 交换关系作为刘维尔交换关系的推广。如果系统不是ultra-local 的并不是说量子可积不能实现了，只不过相应的方法还没有被建立起来，也就是说对于non ultra-local的可积理论还没有被完全建立起来。但是对于这样的系统还是可以有一些推广的involution的等式的，其中一种叫Maillet bracket，这时我们需要2个r-matrix，他们满足一个mixed的YBequation。这样的话，如果对于一个2维的经典可积的qft，如果你能找到这样的两个r-matrix，那么就称理论是strong integrable的。

为什么这个involution条件这么重要，因为可以想像，量子化后，泊松括号变为对易子，存在无穷多个对易的守恒量正是量子可积的一种表现。

最后介绍了一下Belavan-Drinfeld 定理，也是可积性方面一个很漂亮的数学定理。是对r-matrix的解进行分类的。如果我们的laxpair 是定义在单李代数上的话，并且r-matrix是依赖spectral parameter的半纯函数话，那么r-matrix的解分为三类。首先r-matrix，只会有simple pole在复平面上并且构成一个lattice。如果这个lattice是2维的，那么这类r-matrix的解称为elliptic。如果这个lattice是1维的，那么这类解称为trigonometric。如果只在原点有pole，称为rational的。
r-matrix由Lax pair的李代数性质决定，而且可以把r-matrix看作量子可积系统里R-matrix的经典极限，也就说对R-matrix对hbar展开到一解对应的就是r-matrix。这里我们已经默认选取了一个代数的表示。那么高价项是由什么来决定？可以想像是由量子化的李代数来决定，比如对于rational的情况，这个量子的李代数就说yangian。