空间几何基础

1.线的表示

  选定一个基点

  然后确定一个方向向量

  就能得到一条直线

  稍作转化得到参数方程（parametric equation of a line in 3d space）

  以及直线的对称方程（sysmmetric equation）

  我们很容易注意到，如果方向向量有成员为0，那么上述等式就有问题了，这个时候，说明这个线落在一个面里面。
  比方说，a=0，那么很容易就得到

  也就是说这条线位于 x=x0 平面上（平行于yz平面）

2.面的表示

  选定一个基点

  然后确定法向量

  就能得到一个平面

  General Form:

3.点、线、面关系计算

两条线平行：

  他们的 direction vector 关系是 scalar multiple

两条面平行:

  他们的 normal vector 关系是 scalar multiple

计算线和面的夹角:

  90度减去线和面法线的夹角

计算线和面的交点:

  将线转化成参数方程然后带入面的方程求出参数，就能确定交点坐标

计算面和面的交线:

  将两个面的法向量叉乘得到方向向量
  取方向向量上不为零的一个方向，比方说x，令x=0，根据两个平面方程求出对应的 y 和 z，也就是基点
  一个点，一个方向，确定一条线。

计算点到面的距离:

  假设有点坐标(x,y,z)，平面方程ax+by+cz-d=0，那么该点到面的距离为

计算两个平行面的距离:

  可以近似转化成点到面距离的求解思路

skew lines（不平行且不相交的直线）之间的距离:

  1. 求出两条线的方向向量
  2. 用这两个向量求出法向量
  3. 在这两条skew lines 上各随机取一个点
  4. 我们得到了两个平行面
  5. 平行面的距离就是这两条 skew lines 的距离

计算点到线的距离:

  直观可见，有点 a 和线 l，在线上任取一点p，点 a 减去 p 得到向量 u，l 的方向向量为 v，点到线的距离就是 u v 的叉乘除以 v 的模量。