【蓝桥杯集训·每日一题】AcWing1394. 完美牛棚

一、题目

1、原题链接

1394. 完美牛棚

2、题目描述

农夫约翰上周刚刚建好了新的牛棚，并引进了最新的挤奶技术。

不幸的是，由于工程问题，牛棚中的每个单间都不太一样。

第一周，约翰将奶牛们随机分配在了各个单间中。

但是很快他就发现，每头奶牛都只愿意在一部分自己喜欢的单间中产奶。

在过去的一周中，农夫约翰一直在收集有关哪些奶牛愿意在哪些单间产奶的数据。

一个单间只能分配给一头奶牛，当然，一头奶牛也可能只愿意在一个单间中产奶。

给定奶牛的住宿喜好，请你计算，通过合理分配奶牛的住所，最多能够让多少奶牛可以住在自己愿意产奶的单间中。

输入格式

第一行包含两个整数 N 和 M，分别表示奶牛的数量以及单间的数量。

接下来 N 行，每行记录一个奶牛愿意产奶的单间信息。首先包含一个整数 Si，表示这头奶牛愿意在 Si 个单间中产奶。接下来包含 Si
个不同的整数，表示这些单间的编号。

所有单间的编号为 1∼M。

输出格式

输出一个整数，表示可以被分配在自己愿意产奶的单间中的奶牛的最大数量。

数据范围

0≤N,M≤200

0≤Si≤M

输入样例：

5 5
2 2 5
3 2 3 4
2 1 5
3 1 2 5
1 2

输出样例：

4

二、解题报告

1、思路分析

思路来源：y总讲解视频
y总yyds

（1）匈牙利算法模板题。
（2）直接套用模板即可。

2、时间复杂度

时间复杂度为O(n*m)

3、代码详解

#include 
#include 
using namespace std;
const int N=210,M=N*N;
int h[N],e[M],ne[M],idx;    //邻接表存储图
int n,m;
int match[N];    //存储和每头牛匹配的牛棚编号为多少
bool st[N];      //存储每个牛棚是否已经被遍历过
//邻接表加边
void add(int a,int b){
    e[idx]=b;
    ne[idx]=h[a];
    h[a]=idx++;
}
//查找每头牛是否可以找到其心仪的牛棚和其匹配
bool find(int x){
    //枚举每头牛心仪的牛棚
    for(int i=h[x];i!=-1;i=ne[i]){
        int j=e[i];
        if(!st[j]){     //如果当前牛棚未被遍历过
            st[j]=true;  //设置为已经遍历过
            if(match[j]==0||find(match[j])){    //如过当前牛棚没有和牛匹配或者已经匹配但是已经匹配的牛可以换一个牛棚，则直接将当前牛和该牛棚匹配
                match[j]=x;      //将当前牛和该牛棚匹配
                return true;     //匹配成功，返回true
            }
        }
    }
    return false;     //如果不存在和其匹配的牛棚返回false
}
int main(){
    cin>>n>>m;
    memset(h,-1,sizeof h);
    for(int i=1;i<=n;i++){
        int s;
        cin>>s;
        while(s--){
            int x;
            cin>>x;
            add(i,x);    //每次在每头牛和其心仪的牛棚之间添加一条有向边，由牛指向牛棚
        }
    }   
    int ans=0;
    //枚举每头牛，看其是否可以匹配成功
    for(int i=1;i<=n;i++){
        memset(st,false,sizeof st);     //枚举每头牛时，先将所有牛棚设置为未遍历过，因为该头牛要依次来查看其心仪的牛棚是否能够和自己匹配，而这些牛棚可能也是其他牛心仪的牛棚（可能在枚举其他牛的时候该牛棚已设置成已经遍历过），所以我们每次都应该将st[]清空
        if(find(i)) ans++;     //如果可以找到与其匹配的牛棚，答案+1
    }
    cout<<ans;
    return 0;
}

三、知识风暴

匈牙利算法

• 匈牙利算法主要解决二分图的最大匹配问题。
• 基本思想：枚举第一个集合中的点，每次都在第二个集合中查找是否存在可以与其匹配的点。

1. 如果第一个集合中的点应该匹配的第二个集合中的点已经被匹配了，来看是否能够将已经匹配好的点拆散，让原匹配中的第一个集合中的点来找另一个可以与其匹配的第二个集合中的点，如果可以找到，那么原匹配被拆散，当前点与拆散后的第二集合中的点匹配，原匹配中的第一个集合中的点与新的第二个集合中的可以和其匹配的点匹配，否则，当前点无法完成匹配。
2. 如果当前点应该匹配的第二个集合中的点正好没有被匹配，则他俩匹配即可。

• 经过上述过程，来统计可以匹配的点的个数。