什么是数制
用进位的原则进行计数称为进位计数制,简称数制。进位计数制的特点是表示数值大小的数码与它所处的位置有关,每种数制都包含两个基本的要素:“基数”和“权位”
(1)基数:数码是一组用来表示某种数值的符号,数制所使用的的数码个数就称为“基数”或“基”。一个r进制数具有r个数码:0、1、2、…、r-1,基数为r
(2)权位:数码在不同位置上的权值称为权位,位权是个乘方值,底数为进位计数制的基数,指数由各个数字所在数中的位置决定。
如:十进制3.14=3 * 10 0+1 * 10-1+4*10 -2
常见的进制
(1)十进制(D)
十进制是人们最熟悉的一种进位计数制,由0、1、2 …… 9这十个数码组成,基数为10。特点是:逢十进一,借一当十
(2)二进制(B)
二进制是由0和1这两个数码组成,基数为2。特点是:逢二进一,借一当二
(3)八进制(O)
八进制是由0、1、2、3、4、5、6、7这八个数码组成,基数为8。特点是:逢八进一,借一当八
(4)十六进制(H)
十六进制是由0、1、2 …… 9、A、B、C、D、E、F这十六个数码组成,基数为16。特点是:逢十六进一,借一当十六
各进制之间对应关系
十进制 | 二进制 | 八进制 | 十六进制 |
---|---|---|---|
0 | 0 | 0 | 0 |
1 | 1 | 1 | 1 |
2 | 10 | 2 | 2 |
3 | 11 | 3 | 3 |
4 | 100 | 4 | 4 |
5 | 101 | 5 | 5 |
6 | 110 | 6 | 6 |
7 | 111 | 7 | 7 |
8 | 1000 | 10 | 8 |
9 | 1001 | 11 | 9 |
10 | 1010 | 12 | A |
11 | 1011 | 13 | B |
12 | 1100 | 14 | C |
13 | 1101 | 15 | D |
14 | 1110 | 16 | E |
15 | 1111 | 17 | F |
(1)算数运算规则
加法规则:0+0=0;0+1=1;1+0=1;1+1=10(向高位进位)
减法规则:1-0=1;1-1=0;0-0=0;10-1=1(向高位借位)
(2)逻辑运算规则
逻辑与运算(AND):有0为0
逻辑或运算(OR):有1为1
逻辑非运算(NOT):0变1,1变0
逻辑异或运算(XOR):相同为0,不同为1
(1)二进制、八进制、十六进制数转换为十进制数
方法:“位权展开求和”即按位权展开,然后按照十进制规则进行求和运算,其结果就是转换后对应的十进制数。如:
1️⃣二进制转换为十进制
(1001.01)2=1 * 23+0 * 22+0 * 21+1 * 20+0 * 2-1+1 * 2-2=9.25
2️⃣八进制转换为十进制
(543.21)8=5 * 82+4 * 81+3 * 80+2 * 8-1+1 * 8-2=355.3125
3️⃣十六进制转换为十进制
(2CF.5)16=2 * 162+ 12 * 161+15 * 160+5 * 16-1=719.3125
(2)十进制转换为二进制、八进制、十六进制
十进制数的整数部分和小数部分在转换时需要做不同的计算,分别求值后在组合
整数部分采用除r(r为进制数)取余法,即逐次除以r,直至商为0,得出的余数倒排,即为r进制各位的数码。小数部分采用乘r取整法,即逐次乘以r,从每次乘积的整数部分得到r进制数各位的数码,直至小数部分为0,或者满足转换精度的要求为止
1️⃣十进制转换为二进制
如:将十进制226.625转换为二进制数
(1)先对整数226进行转换:
由高位到低位得出:226D=11100010B
(2)对小数部分0.625进行转换
由高位到低位得出:0.625D=0.101B
将整数和小数相加得:226.625D=11100010.101B
2️⃣十进制转换为八进制
如:将十进制226.625转换为八进制数
(1)先对整数226进行转换:
由高位到低位得出:226D=342O
(2)对小数部分0.625进行转换:
0.625*8=5
即:0.625D=0.5O
将整数和小数相加得:226.625D=342.5O
3️⃣十进制转换为十六进制
将十进制226.625转换为十六进制数
(1)先对整数226进行转换:
由高位到低位得出:226D=E2H
(2)对小数部分0.625进行转换:
0.625*16=10
即:0.625D=AH
将整数和小数相加得:226.625D=E2.AH
由于二进制、八进制、十六进制之间存在特殊关系;23=81,24=161,即一位八进制数相当于3位二进制数,1位十六进制数相当于4位二进制数
1️⃣二进制数转换为八进制
方法:将二进制从小数点开始,对二进制整数部分向左每3位分成一组,不足3位的向高位补0凑成3位;对二进制小数部分向右每3位分成一组,不足3位的向低位补0凑成3位
如:把二进制数11111101.101转换为八进制数
二进制3位分组 | 011 | 111 | 101. | 101 |
---|---|---|---|---|
转为八进制数 | 3 | 7 | 5. | 5 |
因此, 11111101.101B=375.5O
2️⃣八进制转换为二进制
只需要将每一位八进制数转换为对应的3位二进制数,然后连起来即可
如:把八进制数54.3转换为二进制数
5O=101B
4O=100B
3O=011B
因此,54.3O=101100.011B
3️⃣二进制转换为十六进制
方法:将二进制从小数点开始,对二进制整数部分向左每4位分成一组,不足4位的向高位补0凑成4位;对二进制小数部分向右每4位分成一组,不足4位的向低位补0凑成4位
如:把二进制数11111101.101转换为十六进制数
二进制4位分组 | 1111 | 1101. | 1010 |
---|---|---|---|
转为十六进制数 | F | D. | A |
因此, 11111101.101B=FD.AH
4️⃣十六进制转换为二进制
只需要将每一位十六进制数转换为对应的4位二进制数,然后连起来即可
如:把十六进制数CF.6转换为二进制数
CH=1100B
FH=1111B
6H=0110B
因此, CF.6H=11001111.011B
5️⃣八进制数与十六进制数之间不能直接转换,只能借助二进制数或十进制数作为桥梁然后转换