逻辑斯谛回归（代价函数，梯度下降） logistic regression--cost function and gradient descent

逻辑斯谛回归（代价函数，梯度下降） logistic regression--cost function and gradient descent

对于有m个样本的训练集 ,。在上篇介绍决策边界的时候已经介绍过了在logistic回归中的假设函数为： 。因此我们定义logistic回归的代价函

数（cost function）为：

 , 

下面来解释下这两个公式，先来看y=1时， ，画出的函数图像为：

从图中可以看出，y=1，当预测值 时，可以看出代价函数cost的值为0，这正是我们希望的。如果预测值 即 ,意思是预测y=1的概率为0，但是事实上y=1，因此代价函数 相当于给学习算法一个惩罚。

同理我们也可以画出当y=0时，函数的图像：

同样也能看出上面y=1时介绍的那些信息，我就不再说了。

对于上面的代价函数，其中 可以写成更加简洁的形式:

上面这个公式更加简洁，可以看出，当y=1时，公式变为，y=0时，公式变为，这与上面分段写的公式完全等价。因此代价函数为： 

为了求解使  最小的参数   ，还是要用梯度下降(gradient descent)，即：

看来其和线性回归中的梯度下降函数形式一模一样，但其实是不一样的，因为在logistic回归中  

为了让大家明白是如何求导的（即)，我把这个公式的求导过程写一下：

大家可以自己在纸上推推，对求导不熟悉的可以去补补高数上，微积分。

关于logistic回归里的代价函数和梯度下降就介绍到这。还有一些高级优化算法，如 conjugate gradient、BFGS和L-BFGS这些算法不需要手动选择学习率，而且收敛的速度要远快于梯度下降。但是这些算法太过复杂，不太容易搞明白。

注意：再强调一下，写博客不容易，尤其编辑公式很花费时间。转载或者引用请注明原文作者和链接，尊重原创。最近发现有人公然复制博客当成自己的原创，这种行为不值得尊重。