P2568 GCD（欧拉函数，二维平面思想）

题目描述

给定正整数 n，求 1≤x,y≤n 且 gcd(x,y) 为素数的数对 (x,y) 有多少对。

输入格式

只有一行一个整数，代表n。

输出格式

一行一个整数表示答案。

输入输出样例

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4

输出 #1复制

4

说明/提示

样例输入输出 1 解释

对于样例，满足条件的 (x,y)为 (2,2)，(2,4)，(3,3)(4,2)。

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数据规模与约定

• 对于 100% 的数据，保证 1≤n≤107。

解析：

首先要先理解题意：gcd(x,y)是最大公约数。这道题的意思是最大公约数是一个素数。

如gcd（2，2） = 2，2为素数。

想到二维坐标，由二维坐标可以看出他们对称是以y=x；

在这种条件下，公式这里可以进行化简

 

 这是就是求解在0~n/x（x为素数）相互互素的数。

而欧拉函数的定义就是：在n的范围内于n互素的个数。

这里就是有人会问了gcd（2，2） = 2它可以化成gcd(1,1) = 1的。

欧拉函数f(1) = 1;

这样子就可以成功求出来了。

sum[3]为竖线左边的互素的个数。 

代码;

#include
using namespace std;
const int N = 1e7 + 10;
int prime[N];
int visit[N];
int pho[N];
long long sum[N];
int cnt = 0;
void get_ou(int n) {
	pho[1] = 1;
	
	for (int i = 2; i <= n; i++) {
		if (!visit[i]) {
			visit[i] = i;
			pho[i] = i - 1;
			prime[cnt++] = i;
		}
		for (int j = 0; j < cnt; j++) {
			if (prime[j] * i > N) {
				break;
			}
			visit[i * prime[j]] = prime[j];//表示最小的质因子
			if (i % prime[j] == 0) {
				pho[i * prime[j]] = pho[i] * prime[j];
				break;
			}
			pho[i * prime[j]] = pho[i] * pho[prime[j]];
		}
	}
	for (int i = 2; i < N; i++) {
		sum[i] = sum[i - 1] + pho[i];
	}
}
int main() {
	
	int n;
	cin >> n;
	get_ou(n);
	long long res = 0;
	for (int i = 0; i < cnt; i++) {
		res += sum[n / prime[i]] * 2 + 1; // 加1 是 还有（1，1）
	}
	cout << res<