二叉树的概念：
二叉树（Binary tree）是树形结构的一个重要类型。许多实际问题抽象出来的数据结构往往是二叉树形式，即使是一般的树也能简单地转换为二叉树，而且二叉树的存储结构及其算法都较为简单，因此二叉树显得特别重要。二叉树特点是每个结点最多只能有两棵子树，且有左右之分。
二叉树是n个有限元素的集合，该集合或者为空、或者由一个称为根（root）的元素及两个不相交的、被分别称为左子树和右子树的二叉树组成，是有序树。当集合为空时，称该二叉树为空二叉树。在二叉树中，一个元素也称作一个结点 。（来自百科）
二叉树相关术语
一般树
- 结点：包含一个数据元素及若干指向子树分支的信息
- 结点的度：一个节点拥有子树的数目（A的度为2，B的度为1，F度为0）
- 叶子结点：度为0的结点叫做叶子结点也叫终端结点（C，H，I，J，F）
- 分支结点：度不为0的结点，也叫做非终端结点（A、B、C、D、E、F）
- 树的度： 树中所有结点度的最大值（上图中的度为3）
- 结点的层次： 从根节点开始，假设根节点为第一层，根节点的孩子结点为假设根结点为第1层，根结点的孩子结点为第2层，依此类推，如果某一个结点位于第L层，则其孩子结点位于第L+1层
- 双亲结点 ：B的双亲结点A,D的双亲结点是B....
- 兄弟结点：同属一个双亲结点的结点叫兄弟结点（B和C)等
- 树的高度：根节点到叶子结点最长路径的边数（根节点的高度）
- 树的深度：从根节点到叶子节点所经历的边数
高度和深度区别：某节点的深度是指从根节点到该节点的最长简单路径边的条数，而高度是指从该节点到叶子节点的最长简单路径边的条数。如 B和C节点深度都为1，因为从根节点到到该节点的边数为1，B的高度为2，而C的高度为1。当然树的深度是3高度也是3。树的高度和深度是相等的。注意：这里边的条数是规定根节点的深度和叶子节点的高度是0。
类型
- 满二叉树：除叶子节点外，其他结点都有一个左孩子和右孩子，所右的叶子都在同一层上面。
满二叉树
-
完全二叉树：具备有N个结点的二叉树，按照层序编号，编号为i的结点深度编号和满二叉树是匹配的
完全二叉树 -
非完全二叉树：具备有N个结点的二叉树，按照层序编号，编号为i的结点深度编号和满二叉树不是匹配的
不完全二叉树
二叉树的五种形态
二叉树的性质
- 二叉树的第i层上至多2(i-1)（i≥1）个节点
- 深度为k的二叉树中至多含有2k - 1个结点(k>=1)
- 对于任何一个二叉树T，如果其终端结点数为n0,度为2的结点数为n2,则n0=n2+1
- 具有n个结点的完全二叉树的深度为log2n + 1
- 若对一棵有n个节点的完全二又树进行顺序编号（1≤i≤n），那么，对于编号为i（i≥1）的节点：
(1) 若 i=1，则该结点是二叉树的根，无双亲, 否则，编号为 [i/2] 的结点为其双亲结点;
(2) 若 2i>n，则该结点无左孩子， 否则，编号为 2i 的结点为其左孩子结点；
(3) 若 2i+1>n，则该结点无右孩子结点， 否则，编号为2i+1 的结点为其右孩子结点。
二叉树的存储分析
- 定义一个二叉树的数据结构
#define OK 1
#define ERROR 0
#define TRUE 1
#define FALSE 0
#define MAXSIZE 100 /* 存储空间初始分配量 */
#define MAX_TREE_SIZE 100 /* 二叉树的最大结点数 */
typedef int Status; /* Status是函数的类型,其值是函数结果状态代码，如OK等 */
typedef int CElemType; /* 树结点的数据类型，目前暂定为整型 */
typedef CElemType SqBiTree[MAX_TREE_SIZE]; /* 0号单元存储根结点 */
CElemType Nil = 0; /*设整型以0为空 或者 INT_MAX(65535)*/
typedef struct {
int level; //结点层
int order; //本层的序号(按照满二叉树给定序号规则)
}Position;
二叉树的基本操作
- 初始化构造空二叉树T,因为T是固定数组,不会改变
Status InitBiTree(SqBiTree T){
for (int i = 0; i < MAX_TREE_SIZE; i++) {
//将二叉树初始化值置空
T[i] = Nil;
}
return OK;
}
- 按层序次序输入二叉树中的结点值(字符型或整型),构造顺序存储的二叉树T
Status CreateBiTree(SqBiTree T){
int i = 0;
//printf("按层序输入结点的值(整型),0表示空结点, 输入999结束.结点数<=%d\n",MAX_TREE_SIZE);
/*
1 -->1
2 3 -->2
4 5 6 7 -->3
8 9 10 -->4
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Nil Nil Nil
*/
while (i < 10) {
T[i] = i+1;
printf("%d ",T[i]);
//结点不为空,且无双亲结点
if (i != 0 && T[(i+1)/2-1] == Nil && T[i] != Nil) {
printf("出现无双亲的非根结点%d\n",T[i]);
exit(ERROR);
}
i++;
}
//将空赋值给T的后面的结点
while (i < MAX_TREE_SIZE) {
T[i] = Nil;
i++;
}
return OK;
}
- 清空二叉树
//如果大家想要2个函数的结果一样,但是目的不同;
//在顺序存储结构中, 两个函数完全一样的结果
#define ClearBiTree InitBiTree
- 判断二叉树是否为空
Status BiTreeEmpty(SqBiTree T){
//根结点为空,则二叉树为空
if (T[0] == Nil)
return TRUE;
return FALSE;
}
- 获取二叉树的深度
1.获取结点个数，
- 可根据公式log2n + 1
int BiTreeDepth(SqBiTree T){
int j = -1;
int i;
//找到最后一个结点
//MAX_TREE_SIZE -> 100 -> 10 目的找到最后一个结点10的位置
for (i = MAX_TREE_SIZE-1 ; i>=0; i--) {
if (T[i] != Nil)
break;
}
do {
j++;
} while ( powl(2, j) <= i); //计算2的次幂
return j;
}
- 返回处于位置e(层,本层序号)的结点值
初始条件: 二叉树T存在,e是T中某个结点(的位置)
操作结构: 返回处于位置e(层,本层序号)的结点值
CElemType Value(SqBiTree T,Position e){
/*
Position.level -> 结点层.表示第几层;
Position.order -> 本层的序号(按照满二叉树给定序号规则)
*/
//pow(2,e.level-1) 找到层序
printf("%d\n",(int)pow(2,e.level-1));
//e.order
printf("%d\n",e.order);
//4+2-2;
return T[(int)pow(2, e.level-1)+e.order-2];
}
- 获取二叉树跟结点的值
初始条件: 二叉树T存在
操作结果: 当T不空,用e返回T的根, 返回OK; 否则返回ERROR
Status Root(SqBiTree T,CElemType *e){
if (BiTreeEmpty(T)) {
return ERROR;
}
*e = T[0];
return OK;
}
- 给处于位置e的结点赋值
初始条件: 二叉树存在,e是T中某个结点的位置
操作结果: 给处于位置e的结点赋值Value
Status Assign(SqBiTree T,Position e,CElemType value){
//找到当前e在数组中的具体位置索引
int i = (int)powl(2, e.level-1)+e.order -2;
//叶子结点的双亲为空
if (value != Nil && T[(i+1)/2-1] == Nil) {
return ERROR;
}
//给双亲赋空值但是有叶子结点
if (value == Nil && (T[i*2+1] != Nil || T[i*2+2] != Nil)) {
return ERROR;
}
T[i] = value;
return OK;
}
- 获取e的双亲
初始条件: 二叉树存在,e是T中的某一个结点
操作结果: 若e是T的非根结点, 则返回它的双亲,否则返回"空"
CElemType Parent(SqBiTree T, CElemType e){
//空树
if (T[0] == Nil) {
return Nil;
}
for (int i = 1 ; i < MAX_TREE_SIZE; i++) {
//找到e
if (T[i] == e) {
return T[(i+1)/2 - 1];
}
}
//没有找到
return Nil;
}
- 获取某个结点的左孩子
初始条件:二叉树T存在,e是某个结点
操作结果:返回e的左孩子,若e无左孩子,则返回"空"
CElemType LeftChild(SqBiTree T,CElemType e){
//空树
if (T[0] == Nil) {
return Nil;
}
for (int i = 0 ; i < MAX_TREE_SIZE-1; i++) {
//找到e
if (T[i] == e) {
return T[i*2+1];
}
}
//没有找到
return Nil;
}
- 获取某个结点的右孩子
初始条件:二叉树T存在,e是某个结点
操作结果:返回e的左孩子,若e无左孩子,则返回"空"
CElemType RightChild(SqBiTree T,CElemType e){
//空树
if (T[0] == Nil) {
return Nil;
}
for (int i = 0 ; i < MAX_TREE_SIZE-1; i++) {
//找到e
if (T[i] == e) {
return T[i*2+2];
}
}
//没有找到
return Nil;
}
- 获取结点的左兄弟
初始条件: 二叉树T存在,e是T中某个结点
操作结果: 返回e的左兄弟。若e是T的左孩子或无左兄弟,则返回＂空＂
CElemType LeftSibling(SqBiTree T,CElemType e)
{
/* 空树 */
if(T[0]==Nil)
return Nil;
for(int i=1;i<=MAX_TREE_SIZE-1;i++)
/* 找到e且其序号为偶数(是右孩子) */
if(T[i]==e&&i%2==0)
return T[i-1];
return Nil; /* 没找到e */
}
- 获取结点的右兄弟
初始条件: 二叉树T存在,e是T中某个结点
操作结果: 返回e的右兄弟。若e是T的右孩子或无右兄弟,则返回＂空＂
CElemType RightSibling(SqBiTree T,CElemType e)
{
/* 空树 */
if(T[0]==Nil)
return Nil;
for(int i=1;i<=MAX_TREE_SIZE-1;i++)
/* 找到e且其序号为奇数(是左孩子) */
if(T[i]==e&&i%2==1)
return T[i+1];
return Nil; /* 没找到e */
}
二叉树的遍历
二叉树的遍历指的是从根节点出发，按照某种次序依次访问二叉树中所有的结点，使得每个结点被访问一次且仅仅访问一次。
二叉树的遍历
- 层序遍历
规则：从二叉树的根结点出发，当第一次到达结点时就输出结点数据，按照先向左在向右的方向访问（结果：ABCDEFGHI）
void LevelOrderTraverse(SqBiTree T){
int i = MAX_TREE_SIZE-1;
//找到最后一个非空结点的序号
while (T[i] == Nil) i--;
//从根结点起,按层序遍历二叉树
for (int j = 0; j <= i; j++)
//只遍历非空结点
if (T[j] != Nil)
visit(T[j]);
printf("\n");
}
- 前序遍历
规则：若二叉树为空，则空操作返回；否则先访问根节点，然后前序遍历左子树，在前序遍历右子树。（根节点->先序遍历左子树->最后先序遍历右子树）（结果：ABDGHCEIF）
void PreTraverse(SqBiTree T,int e){
//打印结点数据
visit(T[e]);
//先序遍历左子树
if (T[2 * e + 1] != Nil) {
PreTraverse(T, 2*e+1);
}
//最后先序遍历右子树
if (T[2 * e + 2] != Nil) {
PreTraverse(T, 2*e+2);
}
}
Status PreOrderTraverse(SqBiTree T){
//树不为空
if (!BiTreeEmpty(T)) {
PreTraverse(T, 0);
}
printf("\n");
return OK;
}
- 中序遍历
规则：若二叉树为空，则空操作返回，否则从根节点开始（注意这里并不是先访问根节点），中序遍历根节点的左子树，然后 访问根节点，最后中序遍历右子树。（先遍历左子树->根节点->最后遍历右子树）（结果：GDHBAEICF）
void InTraverse(SqBiTree T, int e){
/* 左子树不空 */
if (T[2*e+1] != Nil)
InTraverse(T, 2*e+1);
visit(T[e]);
/* 右子树不空 */
if (T[2*e+2] != Nil)
InTraverse(T, 2*e+2);
}
Status InOrderTraverse(SqBiTree T){
/* 树不空 */
if (!BiTreeEmpty(T)) {
InTraverse(T, 0);
}
printf("\n");
return OK;
}
- 后序遍历
规则：若二叉树为空，则空操作返回；否则从左到右先叶子后结点的方式遍历左右子树，最后访问根节点。（先遍历右子树->最后遍历左子树->根节点）（结果：GHDBIEFCA）
{ /* 左子树不空 */
if(T[2*e+1]!=Nil)
PostTraverse(T,2*e+1);
/* 右子树不空 */
if(T[2*e+2]!=Nil)
PostTraverse(T,2*e+2);
visit(T[e]);
}
Status PostOrderTraverse(SqBiTree T)
{
if(!BiTreeEmpty(T)) /* 树不空 */
PostTraverse(T,0);
printf("\n");
return OK;
}
总结：前序遍历，中序遍历，后序遍历可以按照父节点父节点遍历的顺序来划分，前序就是 父节点->左子树->右子树，中序是 左子树->父节点->右子树，后序是 左子树 -> 右子树 ->父节点。