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音乐和弦的几何学
作者：Dmitri Tymoczko
翻译：张扬
音乐和弦可以表示为几何空间中的一个点，名为“奥比否德”（或翻译为迹形，轨形，轨道空间）。线段（line segments）则代表着一个和弦的这些音符对另一个和弦的映射（mapping）。众多风格范围的作曲家，（过去）探索过这些“非-欧几里得”几何空间，一般来所，祂们是使用介于架构上类似的和弦之间的短线段（完成这项任务的）。这种线段只是在如此情形下才存在，当这些和弦在平移（translation）、反射（reflection）或排列（permutation）的情况下具有近乎对称的（性征）（的时候）。常规来说的那种（Paradigmatically）谐和和弦与不谐和和弦具有不同的近乎对称的特征，并隐含（或暗示，suggest）了不同的音乐应用（或用途）。
西方音乐置于两个看似独立的准则（或学科？）的交叉点：和声与对位（harmony & counterpoint）。和声呢，界定了（delimits）可以接受的和弦（同时发生的音符）与和弦音序。而对位（或voice leading*）——》
｛
*voice leading，我翻译为“”声部引导”，网上搜的：
1.简单来说，就是在两个和声变换时，以最小移动的方式作和声导引。
2.这个其实类似在中国乐理书中的“导音”的功能啦，但是这个导音并不是指七级音，而是指在和声进行中，两个和声之间的音符需要有最少间距的变化，形成类似于导音与主音的这种行进关系。
｝
》则是如此一种技巧，连接一系列和弦中的各个音符，形成同时性的旋律。和弦通常如此连接，这些线（lines或声部voices）独立移动（并不一定是相同的方向，相同的移动量），最为有效（也即，最短距离），而且没有声部交叉（沿着非交叉路径的方向，图1，A到C），这些特点，则可以促进（有助于）音乐表演（musical performance），采用了明晰的审美规范（1，2），使得听者可以区分开多个同时（演奏的）旋律（3）。
西方音乐是如何兼顾满足和声与对位的同时性约束的呢？是什么确定了两个和弦通过声部引导的方式连接的与否？音乐家们一直在调研这些问题，这都有好几个世纪的时长了。五度循环（图. S1）在1728年首先发表出来（4），描述了介于12个大调音阶中的有效声部引导。而声音网格（tonnetz，图. S2）的概念，则是源自1739年的悠勒（Euler），表示了24个大调和小调三和弦中的有效声部引导（2，5）。最近的工作（5-13）则是调研了一系列特定情形下的有效声部引导。先不管逗人的暗示（tantalizing hints，6-10），然而，并没有音乐理论能够明确说明普通规则用于解释何时以及为什么有效声部引导是可能的。本篇报告则提供了如此的（音乐）理论，描述了这样的几何空间，在其中，点表示和弦，而线段（line segments）表示声部引导（介于它们的终端点（endpoints*）之间）
｛
*这个endpoint有待“理解”其中的意思。和counter[point]的point有关系吗？
｝
》。这些空间精准地给我们展现了和声与对位之间的关系。
人的音高感知，既对数化，也周期化：频率f与2f被分为单一的一个距离（八度），它们具备相同的性质或色度（chroma）。给音高感知的对数元素建模的化，我将一个音高基频f根据如下公式和一个实数（real number）联系起来：
p 0 69 þ 12 log2ð f=440Þ ð1Þ
结果是一个线性空间（音高空间），在其中，八度有12个单位的半音（钢琴上相邻键之间的距离），每个半音的距离是1，中央C被指定为数字60。如此空间的距离，反映了键盘乐器的物理“距离”，西方音乐记谱中的正交（orthographical）距离，以及心理实验中测量的音乐距离（14， 15）。
在音乐上，音符的色度（chroma）通常比它的八度更为重要。因此识别所有音高p与p+12是很有用的。结果就是一个循环性的商空间（circular quotient space，或者是“音级”空间，pitch-class space），数学家称呼为R/12Z（图. S3）。（有关术语与符号的词汇表，请参阅表S1。）如此空间中的“点”（音级）提供了西方乐理中常见的字母名称以另外一种表达方式：数字化的替代：C = 0，C#/Db = 1，四分之一音高（quarter-tone sharp）则 = 2.5，等等。西方音乐一般来说，不过只是使用了这个空间中的一种离散的“点”格栅（lattice）。在这里，我考虑的则是更为一般，更为连续的情况。这是因为，那些影响声部引导行为的对称和弦并不需要位于这样的离散格栅上。
一组音符的内容，往往要比它们的“次序”更为重要。故而，和弦可以通过各个音高或音级的多重集（multiset）的方式建模，那么，在之后，“和弦”指的就是音级的多重集了，除非另有说明。音乐术语“转换”（transposition）与数学上的术语“平移”（translation）同义，通过在音高或音级空间中的【相加】来表示。转换化相关的和弦与（数学上的）“平移”是一样的；因此，C大三和弦，｛C，E，G｝或｛0，4，7｝，“转位化”相关于F大三和弦，｛F，A，C｝或｛5，9，0｝，这是因为，｛5，9，0｝ = ｛0+5，4+5，7+5｝，若是按模12Z计算的话（modulo 12Z）。而音乐术语转位（inversion）则与数学上的“反射”（reflection）同义，相当于常量数值的减法。转位化相关的和弦与反射一样；故而，C大三和弦转位化相关于C小三和弦｛C，Eb，G｝，或｛0，3，7｝，因为，｛0，3，7｝ = ｛7-7，7-4，7-0｝，若是按模12Z计算的话。在音乐上，转换（transposition）与转位（inversion）都很重要，这是因为，它们保留了和弦的特征。转换化相关（transpositionally）的和弦听起来都非常象，而转位化相关和弦则相当如此（firly so？不知咋翻译）（电影影片S1）。
两个多重集｛x(1)，x(2)，...，x(m)｝和｛y(1)，y(2)，...，y(n)｝之间的声部引导是有序对｛x(i)，y(j)｝的一个多重集，这样的话，每个多重集中的每一个成员，都是某种意义上的“（配）对”。一个不重要的（trivial）声部引导中只是包含（x，x）形式的配对。（x(1)，x(2)，...，x(n)）—>（y(1)，y(2)，...，y(n)）记号可以识别关联各清单列表中对应项目的声部引导。故而，（C，C，E，G）—>（B，D，F，G）的声部引导关联了C和B，C和D，E和F，以及G和G。音乐理论家提出了诸多测量声部引导大小的方法。与其采用一个（Rather than adopting one），我将只需要那种满足广泛反映公认西方音乐特点“限制”（constraints）的一种量度。这些“限制”或“约束”使得如此成为可能，在多项时间中（polnomial time），任意和弦之间的最小声部引导（不必一定是双射（bijective））（16）。每一个声部引导大小的音乐理论上的量度都满足这些“约束”。
现在我描述音乐和弦的几何学。n个音高的有序序列可以表示为在R^n（图. S4）中的一个点。在这个空间中的直接的线段（line segments）表示声部引导。声部引导大小的量度将长度指定给这些线段。我将用“商空间”（quotient spaces）来给听众从八度和排序信息中抽象出来的方式。若要给n个音级的排序序列建模，要形成“商空间”（R/12Z）^n，也称为n-torus（环面） T^n。若要给无序的n个音符的音级和弦建模，就要识别所有点（x(1)，x(2)，...，x(n)）与（x(s(1))，x(s(2))，...，x(s(n))），在这里，s（原文图形参考下图）
》是任意排列（或置换）（permutation）。羯鼓偶就是，总体商轨道空间T^n/S(n)（17，18），n-torus（环面） T^n按模计算了对称编组S(n)。它包含了奇异点（singularities，singularity复数，在数学里是什么意思，怎么翻译，现在我还不晓得，先翻译为奇异点了），在这里，本地拓扑（local topology）并非是来自R的那个。
图2展现了轨形（orbifold）T^2/S(2)，无序音级配对的空间。它是一个M（此处字母见下图）bius strip（麦比乌斯带）。
》这是一个正方形，其左边给出一半转动扭曲（a half twist），被右边确认。轨形（奥比否德，orbifold）是居于顶部边缘与底部边缘的奇异点（singular），行为上就象镜像（mirrors）一般（18）。任何音高配对或是音级配对之间的双射（bijective）声部引导都可以关联到图2（电影 S2）的一个路径上。声部引导大小的量度确定这些路径的长度。它们是父空间T^n与R^n中的线段的图像（images），或是轨形中的线段，或是“反射”了反弹（bounce off）其奇异点边线（edges）的线段。例如，声部引导（C，Db）—>（Db，C）反射出轨形的较为上层的镜像边界（图2）。
推广到更高维度是简单的。若要构建轨形T^n/S(n)，取一个n三维的棱镜（prism），其基底（base）是（n-1）单纯形（simplex，不知这样翻译对不对，得查数学教材），扭转基底，以便循环排列其顶点（vertices），并对它进行识别，用相对的另一面（图. S5与S6）（16）。轨形的边界是奇异点，象镜像那样行为，并包含带有复制音级（duplicate pitch classes）的和弦。将八度均匀分开的和弦位于轨形的中心，并被大家所熟悉的西方式的音质（tonality）的深沉响亮（sonorities）所包围。声部引导与棱镜的高度坐标平行，充当了换位（transpostions）的角色。作者写的一个免费的计算机程序可以使得读者能够谈搜这个空间（19）。
在很多西方式的风格中，这是一种期望，去发现有效的独立的介于“转换化”（transpositionally）或转位化（inversionally）相关和弦的声部引导。图1中的进行都是这种类型（电影S3）。一个和弦要是可以参与如此进行的化，只能是在如此条件下，也即，在转换（transposition）、排列（permutation）或转位（inversion）的情况下的近乎对称的性征（16）。我这个推论（conclude）是通过描述这些对称性而得的，解释它们是如何体现在“轨形几何”中，并展现了它们以何种方式为西方作曲家所探索。
如果一个和弦将一个八度分割成均等部分，或者是这样做的均等大小子集（subsets）的联合体（union），那么，改和弦就说是转换化（transposionally）的对称性（T-对称）（20）。近乎T-对称的和弦，比较接近T-对称的和弦。这两种和弦类型可以链接到由有效双射声部引导造成的它们的一些转换上。当（一个和弦）趋向于“轨形”的中心时，和弦变得更加T-对称，可以通过逐渐增加有效双射声部引导达成的它们的转换上。居于轨形中心的完美均等的和弦，可以链接到由最小可能双射声部引导达成的它的转换上。相关结果包含离散的音级空间（16）。介于完美T-对称和弦之间的有效声部引导，一般来说并非是独立的。因此，作曲家有理由更喜欢近乎T-对称，而不是恰好的T-对称。
由此可见，传统西方音乐中声学上谐和的和弦，可以通过有效声部引导连接起来（connected）。声学上的和谐，是不能被完全理解的；然而，理论家们长期以来一致认为，近似于泛音序列（harmonic seires）的前几个连续元素（consecutive elements）的和弦，是特别谐和的，至少在演奏它们的泛音音色（tones）时如此（21）。泛音序列的n到2n元素在频率空间中被划分为一个八度，它们将这个八度在指数-频率空间上平均分割了。这些和弦，因此聚集在轨形中心附近（表格1），一般来说可以被有效而独立的声部引导链接起来。传统调性音乐探索了这种可能性（图1，A到C，以及影片S4）。这种西方对位法的中心特征是由于作曲家们对声学上的谐和的泛音属性的兴趣而得以实现的。
带有复制音级（duplicate pitch classes）的和弦具有排列对称（P-对称）的特点（permutationally symmetrical），这是因为，虽有平淡声部引导的音符，这些音符却有一些“卓越（不平凡，nontrivial，这样翻译对不对呢？）”的排列。这些和弦居于轨形的奇异点边界的位置上。近乎P-对称的和弦，诸如｛E，F，Gb｝，就在这些和弦附近，包含几个紧密聚集在一起的音符。有效的声部引导改变了反弹周围附近边界的聚集在一起的音符的序列（permuting the clustered notes...）（图2，影片S2与S4）。这种声部引导，可以是独立的，也可以是非凡的（nontrivial？到底如何翻译呢？）。平淡的微不足道的声部引导在音乐上市没有活力的，因此，就T-对称而言，作曲家有理由更喜欢近乎P-对称而不是恰好的P-对称。
近乎P-对称的和弦，诸如｛B，C， Db｝，被认为是极端不谐和的。它们（却）很是适合那种静态音乐，在如此静态阴雨二中，声部在不变和声中庸最小距离移动（图1D）。这种做法，是近代以来“无调性”（atonal）音乐作品的特点，特别是Ligeti与Lutoslawski（利格蒂和卢托斯拉夫斯基）这俩人。从目前的角度而言，这些前卫先锋的技巧，与传统的调性密切相关：他们发挥了（explit）三种基本的对称，允许介于转换化（transpositionally）或转位化（inversionally）相关和弦之间的有效、独立的声部引导。
一个和弦是转位化（inversionally）对称（I-对称），倘若在音级空间中的反射的情况下不变的化。近乎I-对称的和弦，就在这些和弦附近，可以在整个轨形（throughout the orbifolds）上找到它（16）。例如，
｛
ø = Ø = half diminished:半減 減小七 Cø7=C=Cm7♭5=Cm7-5=altC7(Half-diminished seventh chord) 屬和絃 G7=Gdom7(Dominant.
｝
》F#半减，减小七和弦｛6，9，0，4｝与F属七和弦｛5，9，0，3｝转位（inversion）相关，和I-对称和弦｛5.5，9，0，3.5｝非常靠近。因此，我们可以再它们之间找到一个有效的声部引导，（6，9，0，4）—>（5，9，0，3）（图1C）（16）。近乎T-对称的和弦，诸如C大三和弦，以及近乎P-对称的和弦，诸如｛C，Db，Eb｝，也可以是近乎I-对称。因此，I-对称在调性与无调性音乐中都有发挥。它在19世纪扮演者突出的角色，特别是在舒伯特（Schubert（22））、瓦格纳（Wagner（23））和德彪西（Debussy（图1C））。
前面的想法可以朝几个方向进行扩展。首先，我们可以在细节处探究，作曲家是如何利用音乐和弦几何学的。其次，我们可以通过考虑商空间（quotient spaces，这些商空间可以识别转换化（transpositionally）与转位化（inversionally）相关的和弦）的方式归纳这种几何学方法（24）。第三，因为周期性的节奏模板也可以被建模（以T^n/S(n)上的点的方式），我们可以使用这些空间来学习非洲与其他非-西方的节奏。第四，我们可以研究轨形中的距离如何与和弦近似性感知判断相关。最后一点，理解和声与对位之间的关系，可以给当代作曲家提供新的（作曲）技巧。
参考指南：
References and Notes
1. C. Masson, Nouveau Traite ´ des Re `gles pour la Composition
de la Musique (Da Capo, New York, 1967).
2. O. Hostinsky ´, Die Lehre von den musikalischen Kla ¨ngen
(H. Dominicus, Prague, 1879).
3. D. Huron, Mus. Percept. 19, 1 (2001)
4. J. D. Heinichen, Der General-Bass in der Composition
(G. Olms, New York, 1969).
5. R. Cohn, J. Mus. Theory 41, 1 (1997).
6. J. Roeder, thesis, Yale University (1984).
7. E. Agmon, Musikometrica 3, 15 (1991).
8. R. Cohn, Mus. Anal. 15, 9 (1996).
9. C. Callender, Mus. Theory Online 10 (2004) (http://
mto.societymusictheory.org/issues/mto.04.10.3/
mto.04.10.3.callender.pdf).
10. G. Mazzola, The Topos of Music (Birkha ¨user, Boston,
2002).
11. R. Morris, Mus. Theory Spectrum 20, 175 (1998).
12. J. Douthett, P. Steinbach, J. Mus. Theory 42, 241
(1998).
13. J. Straus, Mus. Theory Spectrum 25, 305 (2003).
14. F. Attneave, R. Olson, Am. Psychol. 84, 147 (1971).
15. R. Shepard, Psychol. Rev. 89, 305 (1982).
16. See supporting material on Science Online.
17. I. Satake, Proc. Natl. Acad. Sci. U.S.A. 42, 359 (1956).
18. W. Thurston, The Geometry and Topology of ThreeManifolds (www.msri.org/publications/books/gt3m).
19. ChordGeometries 1.1 (http://music.princeton.edu/
Èdmitri/ChordGeometries.html).
20. R. Cohn, J. Mus. Theory 35, 1 (1991).
21. W. Sethares, Tuning, Timbre, Spectrum, Scale (Springer,
New York, 2005).
22. R. Cohn, 19th Cent. Mus. 22, 213 (1999).
23. B. Boretz, Perspect. New Mus. 11, 146 (1972).
24. C. Callender, I. Quinn, D. Tymoczko, paper presented at
the John Clough Memorial Conference, University of
Chicago, 9 July 2005.
25. Thanks to D. Biss, C. Callender, E. Camp, K. Easwaran,
N. Elkies, P. Godfrey Smith, R. Hall, A. Healy, I. Quinn,
N. Weiner, and M. Weisberg.
支持的在线素材
www.sciencemag.org/cgi/content/full/313/5783/72/DC1
Materials and Methods
Figs. S1 to S12
Table S1
Movies S1 to S4
Soundfile S1
References
15 February 2006; accepted 26 May 2006
10.1126/science.1126287