基础统计学(8)置信区间

Inference and confidence interval for mean

平均数的推断和置信区间

6.01 Statistical inference

统计推理

统计推理分两个方面: Estimation(估计) 和 Hypothesis testing(假设检测)

估算分点估计和区间估计

6.02 CI for mean with know population sd

当知道总体标准差，如何计算平均数的置信区间

CI: confidence interval (置信区间)

置信区间: 当给定一个概率标准(如95%)，样本平均数可能出现的范围区间.

由于样本平均数的分布是近似正态分布的，因此

ci_1.png

• 95%置信区间的范围是 +- 1.96 (z-table中查询获得)
• +-1.96 叫做margin of error (误差幅度)

由于以上的特性，我们计算抽样平均值在95%置信区间可能出现的范围为: +- 1.96

前提条件: 一个样本的平均值 , 样本中的数量是n, 总体标准差为, 求：平均值的95%置信区间?

下图是一个示例的计算过程

ci_2.png

6.03 CI for mean with unknown population sd

总体标准差未知的情况下计算置信区间

我们使用T-distribution(T分布)代替正态分布来估算总体的标准差

上一节中计算置信区间的公式是:

等价于

这次我们不知道的值

se叫做Standard Error(标准误差): 它表示抽样分布的估算标准差.

在这个计算中引入了额外的误差，因此我们引入另外一个分布类型叫做T分布

T分布和正态分布非常类似，钟形、对称、平均值为0

他们之间的关系如下图:

ci_4.png

T分布的形状依赖于df(自由度), df =n-1, n越大，T分布形状越接近正态分布（图中蓝色的df较小，绿色的为较大）,当df无穷大时，T分布等同于正态分布

同正态分布类似，T分布也有一张t-table, 通过df, 概率2个参数来查询T分数

查询T分布的时候注意，当df不在表中，则取比df小的最大值查询

最后终结,要计算置信区间的2个假设前提

1. 数据要足够随机
2. 总体接近正态分布

使用T分布要非常注意那些特殊数据，了解了特殊数据之后再开始使用它

6.04 CI for proportion

比例的置信区间

5.06比例抽样分布中我们了解到, 它的标准差为:

其中为总体的正比例(我们 需要估算的结果的比例)， n为样本数

由此可得出比例置信区间公式为:

但是我们往往不知道是多少

和上一节一样我们引入SE(standard error) =

但是我们这里不引入T分布，同样适用正态分布，适用z分数来计算

但是这里有个前提条件:当正负样本数>=15记为 且

6.05 Confidence levels

置信度

置信度就是指当我们计算置信区间的时候，若抽样次数无限，有多少比例的样本的平均值（或二项式比例）落在置信区间范围内。

一般情况下我们通常会使用95%的置信度，当然也可以99%,90%的置信度

这3个置信度对应的z分数为

置信度	z分数
90%	1.645
95%	1.96
99%	2.58

当我们要计算置信区间的时候，按照如下图的步骤来进行

ci_5.png

1. 选择一个置信度

2. 判断是对象是计算比例还是平均值

   比例的话使用z分布

   平均值的话使用t分布

3. 计算区间的2个端点

4. 根据上面的结果推断最终的结果

6.06 Choosing the sample size

选取合适的样本大小

样本大小(计算平均值)的因素:

1. 误差的大小

   误差越小，样本大小越大

2. 置信度

   置信度越大，样本大小越大

3. 数据的离散度

   标准差越大，样本大小越大

由此引出公式:

为标准差，z为z分数(95%置信度为1.96,99%为2.58),m为误差范围的最大值

同样计算比例的样本大小计算公式如下:

p为正比例的值,z为z分数(95%置信度为1.96,99%为2.58),m为误差范围的最大值