MathSub 结论速记--线性代数

矩阵的行和列表示--从方程组到矩阵

系数按照行依次写；未知数写成列向量

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求解线性方程组Ax = b：增广矩阵+消元法+不一定有解

（1）从主元1开始依次处理

（2）如果第一个主元是0，就进行换行处理

（3）消元法求出的解不唯一

（4）消元后，主元的个数称为“秩”；主元所在的列为主列，其他列为自由列，对应未知变量可以自由赋值。

求解Ax = 0（即求解零空间）： 至少有一个解

消元，找主变量和自由变量，为自由变量赋值（得到主元做未知数的方程），求解，得到特解，特解进行线性组合--》得到零空间x

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逆矩阵

定义：AA逆 = I = A逆A

性质：逆矩阵是唯一的；只有方阵有逆矩阵；只有方阵可逆；Ax=0 如果有非零向量x的解，那么A不可逆。单位阵是方阵，且可逆；置换矩阵是单位阵行变换得到，都可逆；

求法（高斯-若尔当方法）：

（1）通用：左边写需要求逆的方阵A+右边写一个对应的单位矩阵I：将左边化为单位矩阵I，右边就是求出的逆矩阵

（2）2X2方阵： 分母是（ad-bc）,分子是原方阵的主对角线交换，副对角线加负号

矩阵乘法再求逆

（AB）逆 = B逆A逆

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转置矩阵

定义：将原矩阵的行换成列；捏住左下角和右上角，对换翻转。(Aij)转置 = Aji

(A*B)转置 = B转置 * A转置

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转置矩阵和逆矩阵

对于单个矩阵，如果既要求逆又要转置，顺序可以颠倒

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置换矩阵

用来进行行交换/列交换；由单位矩阵进行行交换/列交换得到：方形，二进制（只有0或1），每行每列有且只有一个1

N阶矩阵有n!个置换矩阵

置换矩阵都可逆；置换阵的逆矩阵 = 其转置

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对称阵

对称阵当然应该是方阵

一个对称阵，它的转置和它本身相等（即翻转不改变这个矩阵）

如何快速构造对称阵：使一个矩阵和它的转置相乘(顺序不管），得到B，B一定是对称阵

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小结：

矩阵的求逆，求转置（*都要注意在开括号时交换顺序）

特殊类型：方阵，单位阵，可逆矩阵，对称阵，置换矩阵

*置换阵求逆：可以直接求其转置

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矩阵乘法

（1）---【】| ：

行向量 * 矩阵 = 行向量

矩阵 *列向量 = 列向量

（2）左乘对应行变换，右乘对应列变换

（3）矩阵乘法最常用的求解方式：两个矩阵对应向量进行点乘

判断能否进行运算（内）：内竖等于内横：要求左边矩阵的列数 = 右边矩阵的行数： 

求答案（外）：外横等于外竖：行数等于左边矩阵的行数，列数等于右边矩阵的列数

（4）矩阵的分块乘法

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向量空间和子空间

向量空间定义：向量空间是向量的集合，但是其中包括的向量必须满足条件对线性运算封闭；

即：对向量相加和数乘，得到的向量仍在这个空间中。

任何一个向量空间必须包含零向量。

子空间定义：是向量空间的一部分，但是也能对线性运算封闭。当然也要包含零向量。

比如xoy平面上，过原点的一条直线，就是一个子空间。

R3的子空间：过原点的平面/过原点的直线/零向量；

举例：用矩阵列向量理解子空间；如果列向量贡献，那么他们张开得到的子空间就是一条过原点的直线。

子空间的交和并：交集还是子空间，并集一般都不是子空间

Ax = b 的空间解释（从A的角度）

Ax往往表示张开的子空间，A可以理解为基底向量（虽然他们可能共线），x是将他们进行线性组合（数乘以及向量相加）。b表示另一个向量。

该等式成立表示向量b在这个张开的子空间中。

*如果某一列是其中某几列的线性组合，那么这一列对于张开向量空间没有贡献，去掉也不影响裂空间构成。而必须要有的列称为主列

零空间

Ax = 0 的 x 构成的空间。

Ax = b 的空间解释（什么时候x可以构成向量空间/子空间）

只有当b = 0 时，x才能构成向量空间/子空间；否则x张开的空间是不过原点的。

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