用好“截长补短法”秘钥解几何数量关系题

关于“截长补短法”的原理，我在国庆节那天已经解释过了。

在刚刚结束的某校初三月考中，又出了一道这样的问题，有很多学生却被它迷惑住了。

我们一起来看一下这道题：如图，已知∠MON=α（0°<α<90°），OP是ÐMON的平分线，A，B分别在OP，OM上，且AB∥ON．以点A为中心，将线段AO旋转到AC处，使点O的对应点C恰好在射线BM上，在射线ON上取一点D，使得ÐBAD=180°-a。求证：OC=OD+AD。

一看求证内容，我们首先应该想到“截长补短法”。

我们先来看“补短法”。

如图二，我们在DN上取一点E，使DE=AD，连接AE。

现在OE=OD+DE=OD+AD。只要能证明OC=OE，问题就解决了。

因为AB∥ON，∠MON=α，OP是ÐMON的平分线

所以ÐOBA=180°-a，∠1=∠2=∠3=1/2a

因为AO=AC

所以∠7=∠1=1/2a

因为ÐBAD=180°-a

所以∠ADO=α，四边形ABDO是等腰梯形

因为DE=AD

所以∠5=∠6=1/2a

在△OAC与△OAE中

∠1=∠2=∠5=∠7=1/2a

所以ÐOAC=ÐOAE=180°-a

因为OA=OA

所以△OAC≌△OAE，OC=OE=OD+AD

再来看一下“截长法”

如图三，由题意可知四边形ABDO是等腰梯形，OB=AD，

因为OC=OB+BC，只需证明BC=OD，就可完成目标。

由AB∥ON，∠MON=α，OP是ÐMON的平分线，四边形ABDO是等腰梯形，AO=AC

可推知：∠1=∠2=∠3=1/2a，∠4=∠5=a，

在△ABC与△ADO中

∠2=∠3=1/2a

AO=AC

ÐBAC=ÐOAD=180°-3/2a

所以△ABC≌△ADO，OD=BD

OC=OD+AD

这是我对这道题的证明，希望能朋友们有所帮助，更期待您有更简便的方法。