能量泛函优化方法——L2范数（应用于图像处理）

在深度学习大火的今天，熟不知以前的图像处理方法大都还是使用能量泛函优化的方法，即使是今天依然有着深度学习不可取代的魅力。要想学习，基础的优化方法必不可少。
先说说传统的图像处理方法包括图像超分，图像去模糊，图像去噪等，现在一些有意思的应用比如去雨、去雾、去霾、去云等等。在深度学习之前解决这类问题最流行的方法是基于MAP的框架的优化方法。先说说，如何求解这类数据项加先验项的问题。首先说说对于L2范数的先验项如何求解。

问题

求解
$\arg {\min }_x\Vert Ax-b{\Vert }_2^2+\lambda \Vert x{\Vert }_2^2$.

解析解求解方法

上述的问题凸且连续可导的问题。因此可以通过求导的方法来求解，这也是一种求取解析解的方式。求解方法如下：
令$E=(Ax-y{)}^T(Ax-y)+\lambda x^{T}x$， 经展开
$E=x^T{A}^{T}Ax-x^T{A}^{T}Y-Y^{T}Ax-Y^{T}Y+\lambda x^{T}x$.
求导：
$\frac{\partial E}{\partial x}=2A^{T}Ax-A^{T}y+2\lambda x=0$,
求解上式得到，$X={\left(A^{T}A+\lambda I\right)}^{-1}{A}^{T}y$.
如果A是一个对称矩阵，比如对应于模糊核k的矩阵，上述可以使用FFT进行加速
$X=F^{-1}\left(\frac{\overline{F(k)}\cdot F(y)}{\overline{F(k)}F(k)+\lambda }\right)$.
上述可以简单地使用MATLAB实现。

迭代解求解方法

迭代解求解的方法也很多，比如梯度下降法，牛顿法等，这里不再赘述。在图像处理中，更常用的是共轭梯度法。
共轭梯度法是一种使用迭代的解决最小二乘问题的算法。最小二乘问题如下：
$Ax=b$，
其中A是一个 $n\times n$ 维的对称正定矩阵。上述问题等价于
$\min \Phi (x)=\frac{1}{2}{x}^{T}A{x}^T-b^{T}x$，
对上式进行求导得
$\nabla \Phi (x)=Ax-b=r(x)$,
其中，r是残差。
当存在非零向量组 $\left\{p_1,p_2,\dots \dots ,p_l\right\}$ 和正定的对称矩阵A满足
$p_i^{T}A{p}_j=0;$ for all $i̸=j$
时，说明非零向量组 $\left\{p_1,p_2,\dots \dots ,p_l\right\}$ 共轭
共轭梯度法的思想是，使解沿着共轭梯度的方向进行迭代减小，最终达到最优解。
共轭梯度的算法流程如下：
初始化：$r_0\leftarrow A{x}_0-b,p_0\leftarrow -r_0,k\leftarrow 0$
迭代: while $r_k̸=0$
${\alpha }_k\leftarrow \frac{r_k^T{r}_k}{p_k^{T}A{p}_k}$,
$x_{k+1}\leftarrow x_k+{\alpha }_k{p}_k$,
$r_{k+1}\leftarrow r_k+{\alpha }_{k}A{p}_k$,
${\beta }_{k+1}\leftarrow \frac{r_{k+1}^T{r}_{k+1}}{r_k^T{r}_k}$,
$p_{k+1}\leftarrow -r_{k+1}+{\beta }_{k+1}{p}_k$,
$k=k+1$.
end (while)
输出：x。
对于提到的问题，带有二范数的正则化项。对其进行求导
$\frac{\partial E}{\partial x}=2A^{T}Ax-A^{T}y+2\lambda x=0$
将上式改写为
$\frac{\partial E}{\partial x}=\left(2A^{T}A+2\lambda \right)x-A^{T}y=0$
这就是一个最小二乘问题，可以使用上述的共轭梯度法进行求解，避免了对矩阵进行求逆的操作。注：这里的矩阵A是模糊核的BCCB，因此满足对称正定矩阵的要求，因此可以采用共轭梯度进行求解。

OK，图像处理中解决这类问题常用的两种方法完毕。如果有什么错误的地方请大家不宁赐教。