机器学习笔记(吴恩达)——逻辑回归

假说表示

我们引入一个新的模型，逻辑回归，该模型的输出变量范围始终在0和1之间。 逻辑回归模型的假设是：
$h_{\theta }\left(x\right)=g\left({\theta }^{T}X\right)$
其中： $X$ 代表特征向量 $g$ 代表逻辑函数（logistic function)是一个常用的逻辑函数为S形函数（Sigmoid function），公式为： $g\left(z\right)=\frac{1}{1+e^{-z}}$。

对模型的理解： $g\left(z\right)=\frac{1}{1+e^{-z}}$。

$h_{\theta }\left(x\right)$的作用是，对于给定的输入变量，根据选择的参数计算输出变量=1的可能性（estimated probablity）即$h_{\theta }\left(x\right)=P\left(y=1|x;\theta \right)$

判定边界

现在假设我们有一个模型：

并且参数$\theta$ 是向量[-3 1 1]。 则当$-3+x_1+x_2\ge 0$，即$x_1+x_2\ge 3$时，模型将预测 $y=1$。 我们可以绘制直线$x_1+x_2=3$，这条线便是我们模型的分界线，将预测为1的区域和预测为 0的区域分隔开。

假使我们的数据呈现这样的分布情况，怎样的模型才能适合呢？

因为需要用曲线才能分隔 $y=0$ 的区域和 $y=1$ 的区域，我们需要二次方特征：$h_{\theta }\left(x\right)=g\left({\theta }_0+{\theta }_1{x}_1+{\theta }_2{x}_2+{\theta }_3{x}_1^2+{\theta }_4{x}_2^2\right)$是[-1 0 0 1 1]，则我们得到的判定边界恰好是圆点在原点且半径为1的圆形。

我们可以用非常复杂的模型来适应非常复杂形状的判定边界。

代价函数

对于线性回归模型，我们定义的代价函数是所有模型误差的平方和。理论上来说，我们也可以对逻辑回归模型沿用这个定义，但是问题在于，当我们将$h_{\theta }\left(x\right)=\frac{1}{1+e^{-{\theta }^{T}x}}$带入到这样定义了的代价函数中时，我们得到的代价函数将是一个非凸函数（non-convexfunction）。

这意味着我们的代价函数有许多局部最小值，这将影响梯度下降算法寻找全局最小值。

线性回归的代价函数为：
$J\left(\theta \right)=\frac{1}{m}\sum _{i=1}^m\frac{1}{2}{\left(h_{\theta }\left(x^{\left(i\right)}\right)-y^{\left(i\right)}\right)}^2$
我们重新定义逻辑回归的代价函数为：
$J\left(\theta \right)=\frac{1}{m}\sum _{i=1}^{m}Cost\left(h_{\theta }\left(x^{\left(i\right)}\right),y^{\left(i\right)}\right)$，
其中
$$\mathrm{cost}\left(h_{\theta }(x),y\right)=\{\begin{array}{rl}-\log \left(h_{\theta }(x)\right)& \text{ if }y=1\\ -\log \left(1-h_{\theta }(x)\right)& \text{ if }y=0\end{array}$$

这样构建的$Cost\left(h_{\theta }\left(x\right),y\right)$函数的特点是：
当实际的 $y=1$ 且$h_{\theta }\left(x\right)$也为 1 时误差为 0，
当 $y=1$ 但$h_{\theta }\left(x\right)$不为1时误差随着$h_{\theta }\left(x\right)$变小而变大；
当实际的 $y=0$ 且$h_{\theta }\left(x\right)$也为 0 时代价为 0，
当$y=0$ 但$h_{\theta }\left(x\right)$不为 0时误差随着 $h_{\theta }\left(x\right)$的变大而变大。
将构建的 $Cost\left(h_{\theta }\left(x\right),y\right)$简化如下：
$Cost\left(h_{\theta }\left(x\right),y\right)=-y\times log\left(h_{\theta }\left(x\right)\right)-(1-y)\times log\left(1-h_{\theta }\left(x\right)\right)$
带入代价函数得到：
$J\left(\theta \right)=\frac{1}{m}\sum _{i=1}^m[-y^{(i)}\log \left(h_{\theta }\left(x^{(i)}\right)\right)-\left(1-y^{(i)}\right)\log \left(1-h_{\theta }\left(x^{(i)}\right)\right)]$
即：$J\left(\theta \right)=-\frac{1}{m}\sum _{i=1}^m[y^{(i)}\log \left(h_{\theta }\left(x^{(i)}\right)\right)+\left(1-y^{(i)}\right)\log \left(1-h_{\theta }\left(x^{(i)}\right)\right)]$
在得到这样一个代价函数以后，我们便可以用梯度下降算法来求得能使代价函数最小的参数了。算法为：

Repeat { ${\theta }_j:={\theta }_j-\alpha \frac{\partial }{\partial {\theta }_j}J(\theta )$ (simultaneously update all ) }

求导后得到：

Repeat { ${\theta }_j:={\theta }_j-\alpha \frac{1}{m}\sum _{i=1}^m\left(h_{\theta }\left(x^{\left(i\right)}\right)-y^{\left(i\right)}\right)x_j^{(i)}$ (simultaneously update all ) }

在这个视频中，我们定义了单训练样本的代价函数，凸性分析的内容是超出这门课的范围的，但是可以证明我们所选的代价值函数会给我们一个凸优化问题。代价函数$J(\theta )$会是一个凸函数，并且没有局部最优值。

多类别分类

现在我们有一个训练集，好比上图表示的有3个类别，我们用三角形表示 $y=1$，方框表示$y=2$，叉叉表示 $y=3$。我们下面要做的就是使用一个训练集，将其分成3个二元分类问题。

我们先从用三角形代表的类别1开始，实际上我们可以创建一个，新的"伪"训练集，类型2和类型3定为负类，类型1设定为正类，我们创建一个新的训练集，如下图所示的那样，我们要拟合出一个合适的分类器。

为了能实现这样的转变，我们将多个类中的一个类标记为正向类（$y=1$），然后将其他所有类都标记为负向类，这个模型记作$h_{\theta }^{\left(1\right)}\left(x\right)$。接着，类似地第我们选择另一个类标记为正向类（$y=2$），再将其它类都标记为负向类，将这个模型记作 $h_{\theta }^{\left(2\right)}\left(x\right)$,依此类推。 最后我们得到一系列的模型简记为： $h_{\theta }^{\left(i\right)}\left(x\right)=p\left(y=i|x;\theta \right)$其中：$i=\left(1,2,3....k\right)$

最后，在我们需要做预测时，我们将所有的分类机都运行一遍，然后对每一个输入变量，都选择最高可能性的输出变量。

总之，我们已经把要做的做完了，现在要做的就是训练这个逻辑回归分类器：$h_{\theta }^{\left(i\right)}\left(x\right)$， 其中 $i$ 对应每一个可能的 $y=i$，最后，为了做出预测，我们给出输入一个新的 $x$ 值，用这个做预测。我们要做的就是在我们三个分类器里面输入 $x$，然后我们选择一个让 $h_{\theta }^{\left(i\right)}\left(x\right)$ 最大的$i$，即
$$\underset{i}{\max }{h}_{\theta }^{(i)}(x)$$

正则化

这样的结果是得到了一个较为简单的能防止过拟合问题的假设：
$J\left(\theta \right)=\frac{1}{2m}[\sum _{i=1}^m{(h_{\theta }(x^{(i)})-y^{(i)})}^2+\lambda \sum _{j=1}^n{\theta }_j^2]$

其中$\lambda$又称为正则化参数（Regularization Parameter）。 注：根据惯例，我们不对${\theta }_0$ 进行惩罚。经过正则化处理的模型与原模型的可能对比如下图所示：

如果选择的正则化参数$\lambda$ 过大，则会把所有的参数都最小化了，导致模型变成 $h_{\theta }\left(x\right)={\theta }_0$，也就是上图中红色直线所示的情况，造成欠拟合。 那为什么增加的一项$\lambda =\sum _{j=1}^n{\theta }_j^2$ 可以使$\theta$的值减小呢？ 因为如果我们令 $\lambda$ 的值很大的话，为了使Cost Function 尽可能的小，所有的 $\theta$ 的值（不包括${\theta }_0$）都会在一定程度上减小。 但若$\lambda$ 的值太大了，那么$\theta$（不包括${\theta }_0$）都会趋近于0，这样我们所得到的只能是一条平行于$x$轴的直线。 所以对于正则化，我们要取一个合理的 $\lambda$ 的值，这样才能更好的应用正则化。 回顾一下代价函数，为了使用正则化，让我们把这些概念应用到到线性回归和逻辑回归中去，那么我们就可以让他们避免过度拟合了。

正则化线性回归的代价函数为：

$J\left(\theta \right)=\frac{1}{2m}\sum _{i=1}^m[({(h_{\theta }(x^{(i)})-y^{(i)})}^2+\lambda \sum _{j=1}^n{\theta }_j^2)]$

如果我们要使用梯度下降法令这个代价函数最小化，因为我们未对${\theta }_0$进行正则化，所以梯度下降算法将分两种情形：

$Repeat$ $until$ $convergence${

​ ${\theta }_0:={\theta }_0-a\frac{1}{m}\sum _{i=1}^m((h_{\theta }(x^{(i)})-y^{(i)})x_0^{(i)})$

​ ${\theta }_j:={\theta }_j-a[\frac{1}{m}\sum _{i=1}^m((h_{\theta }(x^{(i)})-y^{(i)})x_j^{\left(i\right)}+\frac{\lambda }{m}{\theta }_j]$

​ $for$ $j=1,2,...n$

​ }

对上面的算法中$ j=1,2,…,n$ 时的更新式子进行调整可得：

${\theta }_j:={\theta }_j(1-a\frac{\lambda }{m})-a\frac{1}{m}\sum _{i=1}^m(h_{\theta }(x^{(i)})-y^{(i)})x_j^{\left(i\right)}$ 可以看出，正则化线性回归的梯度下降算法的变化在于，每次都在原有算法更新规则的基础上令$\theta $值减少了一个额外的值。

我们同样也可以利用正规方程来求解正则化线性回归模型，方法如下所示：