高斯散度定理

高斯散度定理 

本文是介绍微积分学中的一种向量分析。关于电磁学中与电通量有关的定理，详见“高斯定律”。 

高斯公式，又称为散度定理、高斯散度定理、高斯－奥斯特罗格拉德斯基公式或高－奥公式，是指在向量分析中，一个把向量场通过曲面的流动（即通量）与曲面内部的向量场的表现联系起来的定理。

散度定理可以用来计算穿过闭曲面的通量，例如，任何左边的曲面；散度定理不可以用来计穿过具有边界的曲面，例如，任何右边的曲面。在这图内，曲面以蓝色显示，边界以红色显示。

 

散度定理可以用来计算穿过闭曲面的通量，例如，任何左边的曲面；散度定理不可以用来计穿过具有边界的曲面，例如，任何右边的曲面。在这图内，曲面以蓝色显示，边界以红色显示。

更加精确地说，高斯公式说明向量场穿过曲面的通量，等于曲面内部区域的散度的三重积分。直观地，所有源点的和减去所有汇点的和，就是流出一个区域的流量。

高斯公式在工程数学中是一个很重要的结果，特别是静电学和流体力学。

设空间闭区域Ω是由分片光滑的闭曲面Σ所围成，函数P(x,y,z)、Q(x,y,z)、R(x,y,z)在Ω上具有一阶连续偏导数，则有定理

或

这里Σ是Ω的整个边界曲面的外侧，cos α、cos β、cos γ是Σ在点(x,y,z)处的法向量的方向余弦

这两个公式叫做高斯公式。

用散度表示

高斯公式用散度表示为：

其中Σ是空间闭区域Ω的边界曲面，而

n是向量A在曲面Σ的外侧法向量上的投影。

用向量表示

令V代表有一间单闭曲面S为边界的体积，是定义在V中和S上连续可微的矢量场。如果是外法向矢量面元，则

推论

• 对于标量函数g和向量场F的积，应用高斯公式可得：

• 对于两个向量场的向量积，应用高斯公式可得：

• 对于标量函数f和非零常向量的积，应用高斯公式可得：

• 对于向量场F和非零常向量的向量积，应用高斯公式可得：

例子

假设我们想要计算

其中S是由x² + y² + z² = 1所定义的单位球，F是向量场

直接计算这个积分是相当困难的，但我们可以用高斯公式来把它简化：

由于函数y和z是奇函数，我们有：

因此：

二阶张量的高斯公式

二阶张量的高斯公式实际上是上面的高斯公式的推论。为了使内容完整，首先简要地介绍三维欧几里得空间上的二阶张量（详见并矢张量或张量积）以及相关的概念和记号。在这里，矢量和矢量场用黑斜体字母表示，张量用正黑体字母表示。

1. 两个矢量  和  并排放在一起所形成的量  被称为矢量  和  的并矢或并矢张量。要注意，一般来说，。
2.  的充分必要条件是  或 。
3. 二阶张量就是有限个并矢的线性组合。
4.  分别线性地依赖于  和 。
5. 二阶张量  和矢量  的缩并  以及  对  和  都是线性的。
6. 特别是，当  时，

所以，一般说来，。

下面举一个例子：用二阶张量及其与矢量的缩并来重新写  和 。

我们还用到二阶张量  的转置  （又可以记为 ），定义如下：

1.  仍然是一个二阶张量，并且线性地依赖于 。
2. 。

定理： 设 V 是三维欧几里得空间中的一个有限区域，S 是它的边界曲面， 是 S 的外法线方向上的单位矢量， 是定义在 V 的某个开邻域上的 C¹ 连续的二阶张量场， 是 的转置，则

证明：下面以第二个式子为例进行证明。令第二个式子的左边为 ，则

接下来利用矢量场的高斯公式，可得

于是

至此证毕。