海森矩阵(Hessian matrix 或 Hessian)

在数学中，海森矩阵（Hessian matrix 或 Hessian）是一个自变量为向量的实值函数的二阶偏导数组成的方块矩阵，此函数如下：

如果 f 所有的二阶导数都存在，那么 f 的海森矩阵即：

H(f)_ij(x) = D_iD_jf(x)

其中 ，即

（也有人把海森定义为以上矩阵的行列式） 海森矩阵被应用于牛顿法解决的大规模优化问题。

混合偏导数和海森矩阵的对称性

海森矩阵的混合偏导数是海森矩阵非主对角线上的元素。假如他们是连续的，那么求导顺序没有区别，即

上式也可写为

在正式写法中，如果 f 函数在区域 D 内连续并处处存在二阶导数，那么 f的海森矩阵在 D 区域内为对称矩阵。

在 → 的函数的应用

给定二阶导数连续的函数，海森矩阵的行列式，可用于分辨 f 的临界点是属于鞍点还是极值点。

对于 f 的临界点 (x₀,y₀) 一点，有 ，然而凭一阶导数不能判断它是鞍点、局部极大点还是局部极小点。海森矩阵可能解答这个问题。

• H > 0 ：若，则(x₀,y₀)是局部极小点；若，则(x₀,y₀)是局部极大点。
• H < 0 ：(x₀,y₀)是鞍点。
• H = 0 ：二阶导数无法判断该临界点的性质，得从更高阶的导数以泰勒公式考虑。