张益唐教授学术报告浅析

0 讲座的背景及主要内容

  2022年11月8日上午，著名数学家张益唐在线上做了《关于朗道——西格尔零点猜想》的精彩学术报告。张教授用朴实的语言给公众介绍了数论方面研究的许多有趣内容。首先从广义黎曼猜想（共有黎曼猜想、广义黎曼猜想、扩展黎曼猜想、大黎曼猜想四种）的狄利克雷L函数出发引申出朗道-西格尔零点猜想，做了一个背景介绍。
  这个部分的内容比较复杂，在此不做更多的展开。朗道-西格尔零点猜想，简单的说，对于广义黎曼猜想的狄利克雷 L(s,χ) 函数,

  有两个自变量，其中， χ(n) 是一个所谓的狄利克雷特征，也是一个函数，它的值叫做特征值，取复数的叫做复特征，取实数的叫做实特征。
  是一个复数，当只和n及确定的映射有关，这时只把s当作自变量，解L得到 s的根就叫做零点。分为平凡零点和非平凡零点。后面说的零点都是指非平凡零点。当实部时，，无零点存在。事实上，数学家已经证明，零点的实部，0<σ<1。零点s也可以取实数。当时，讨论s<1,但是距离1很近的部分的根（零点），对于，就的值的类型分为两种情况来讨论：
  1） 当χ的取值为实数时，所有非平凡零点（L函数的非平凡根）基本上存在于区间 （a,s）中， 0   2） 当χ的取值为复数时，已经证明了不存在异常零点。
  
  对LS猜想更详细的说明可以【参考 附件 1朗道-西格尔猜想】
  张益唐教授证明了比如在[0.99,1) 内更小的接近1的区域，0.99是一个假设的数字，只是为了理解更容易。如[0.999999999988,1)，不存在异常零点。他的结论虽然比LS猜想的区域更小，但是通过改进，最后是可以达到LS猜想中s的区域的。
  好了，现在我们回到张教授的演讲主体，分为三个部分。一、基于筛法证明某些数论问题的一般步骤；二、三个猜想传统证明方法及其局限；三、对Landau-Siegel猜想证明的创新设计。以上内容可以看图 1 数论问题证明路线与创新 的详细说明。

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图 1 数论问题证明路线与创新

  张教授的整个思路非常清晰，我们就按照他的思路做相应的介绍，并且把结论和影响做为结束。

1 基于筛法证明某些数论问题的一般化方法

1.1 数论问题转化为对序列 {} 的研究

  我们知道，许多著名的数论问题，如哥德巴赫猜想、孪生素数猜想以及朗道-西格尔猜等，其描述要么简单，要么非常复杂，但是都是在专业领域的断言。这些描述看起来千差万别，要证明的话，能否有一些一般性的路线图？没错，数学家们还找到了这样的一种一般性处理方法，就是把数论问题变成数值问题来处理！这样可以充分利用现有的数学知识以及和被证明有效的研究方法，可以省去不少路线探索的功夫。于是，对一个数论问题的证明可以归结为证明：

  在有限序列 {x_n} 中，如果存在 x_n <0，则猜想得到证明。

序列 {x_n} 是什么呢？可以认为是一个我们熟悉的数列。既可以是有规律的序列。如

{x_n} = {3,6,9,12,15} 等，也可以是无序的，如

{x_n} = {0,1,1,0,0,1,1,1,0,⋯,0} 等。

  对于后一个取值在0和1之间震荡的数列，能否在某一位数中找到一个小于0的值？如果能找到，猜想就被证实！

  序列 {x_n} 是怎样定义的【参考 附件 2 两种构建序列 {x_n} 的方法】？数学家们是将数论问题做一定的约化后，通过巧妙的设计，映射到序列{x_n}中。

1.2 需要构建另外一个数列 {} ,化无限为有限

  虽然现在将数论问题数值化了，但是在序列{x_n}中，因为要一个一个找序列中的元素，工作量庞大而且很难发现某一个x_n <0，于是需要在这个基础上再做一次变换，以便更容易找到x_n <0 。方法就是构建另外一个序列{Y_n},让 x_n与Y_n相乘，然后求和，这样把多次的结果判断变为一次结果判断，如果结果小于0，就可以间接得到x_n <0。也就是要寻找是否存在

  Σx_n Y_n<0 ⋯ ①

Y_n要求是非负的，于是，其中一种常用的设计如下：
{}

  可以在全体实数中取值，也构成一个序列。将②式代入①中，可得：

  如果上式得到证明，则猜想也就得到证明。也就非常巧妙地将无限的序列化为一个有限的式子！

2 三个猜想传统方法证明得到结果及局限

2.1 目前得到的证明结果

  目前证明过程中，得到的是

  虽然ε是一个可以任意小的正数，“ε·某个式子”也可以为任意小，但是毕竟不为0 ，故④式距离③式还是有一点点距离，尽管是只差一丝头发就能证明成功了，但是严谨的数学却不能将就，必须要达到完全的相符才行。不过张教授使用这个方法在孪生素数猜想中获得了突破性贡献。

2.2 张益唐在研究中寻找序列 {} 未果

  张教授在利用传统方法证明LS猜想过程中，得到的依然是④式，也就是没有得到完全证明，但是他在这个过程中，不断地寻找序列 {} ，使用了许多方法，如差分法、积分方程最大特征根等，最后都没有能找到一个合适的序列 {} 能使③式成立。形象地形容为大海捞针，海底物品就是构建序列 {} 的所有的可能方法，针就是能满足③式的 {}。虽然遗憾的没有找到针（特定的 {}）， 但是发现了许多构建 {}的方法是行不通的。用张教授的话就是“针没捞到，但是摸清了海底的地貌。”

3 朗道-西格尔猜想证明过程中两个新的方法

  既然按照上述方法一直不能得到证明，是否应该改变证明思路。于是，张教授做了以下两个创建：
1.重新寻找 {}
2.将直接证明变为反证法来证明

3.1 寻找新的{}来与{}相乘

  找到了两个 {}，分别是{} = {}和 {} = {}
  依照原来使用平方的路线 来构建求和公式，于是可以得到
~0⋯⑤;
~0 ⋯⑥;

  ⑤和⑥式得到趋于0的结论时，使用的方法是完全不一样的。上面两个式子中，符号～表示趋近于，也就是说⑤和⑥式得到的结果都接近但不等于0，当然更不会小于0。这和④式的结果是一样的，要破局，还需要一个新的方法来接棒创新的两个新序列（事实上是四个新序列。）。

3.2 利用反证法

  既然直接证明一直没有成功，是否可以使用反证法来试试呢？我们来看看张教授的证明过程（都是初等描述，一定看得懂的！）
  假设：x≥0 （我们需要得到对立的 x<0）
利用等式：

可以推导出下面一个不等式：（等式形式有些复杂，但是内容并不复杂哈）

  上式中，对于左边和右边分别用某些数学方法计算，得到的结论是 左边>右边，与⑦式的结论想反，根据反证法的逻辑，可以得到原来的假设：x≥0是错误的，也就是说 x<0！而这个数值结果对应的数论问题就是没有异常零点存在。也就是Landau-Siegel猜想得到证明（当然，在此是LS猜想的一个弱结果）。Perfect！
  这个时候，我们也终于明白张教授在讲座开始时列出的一个初等算式的意义了。见下式

对整个证明过程的思路可见 图 2 张益唐证明LS猜想思路 。

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图 2 张益唐证明 landau-Siegel 猜想思路

4 证明结论与创新

  证明了狄利克雷L函数在一个非常小的区域没有异常零点，这个区域在朗道-西格尔零点猜想断言的区域之内，要小得多。但是方法和方向是正确的，通过后续工作跟进，对这个结果做一定优化（按照当前路径是可以优化的），就可能将区域扩展到LS猜想断言的区域。也就是说，目前张益唐教授没有完全证明朗道-西格尔猜想，但是非常接近证明了！

  如果广义黎曼猜想是正确的，那么就可以得到朗道-西格尔零点猜想，是广义黎曼假设的一个重要的特殊情况，但跟黎曼假设没有直接关系。目前的结论不能证明黎曼猜想是正确的，但是加强了其为正确的信念。这一成果在解析数论中的意义重大。

  创新就是对序列{Y_n}构造了新的序列{a_n + b_n}和{c_n + d_n}，并且不再有那种具有平方关系的序列。使用反证法来进行证明，这对于筛法在数论中的应用或许开启了一个新的方向。

  当然，目前论文是发在arXiv上的预印本，还需要同行的评议论证，还需要有最后的是否正确的裁定。

  无论最后结果如何，都感谢张益唐教授的研究，他在不仅是证明了LS猜想的一个弱结果，更提供了新的思路和工具，对于筛法证明数论问题可能引入了一个重要的新的方法，对于解决相似的问题提供了新的工具和路径。

附件

附件 1 朗道-西格尔猜想

广义黎曼猜想的狄利克雷 L(s,χ) 函数如下：

  其中，χ(n) 称为模D狄利克雷特征，是一个输入为整数，输出为复数的算数函数。对于每一个χ(n)， n = 1,2,3,···,∞ ，在取定了对应法则χ后，都有特定的值。因此，L(s,χ) 函数可以看着在χ固定住后关于s的函数。令L(s,χ) = 0，得到的根s叫做零点。这些零点分为两个部分，分别是平凡零点和非平凡零点，我们关心的是非平凡零点，s是一个复数， s = σ + it （i 为虚数单位，σ, t为实数）。0<σ<1, 在复平面上根都落在这个叫做临界带的区域。

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  数学家们证明了L函数的非平凡零点都能落在类似于（1）式的沙漏型的区域（在复数平面上）：

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  0-2 ,是一个与D无关的固定常数，D是狄利克雷特征χ(n)的模，σ是s的实部，t 是s的虚部。

  1)当χ取到复数值（复特征）时，没有Siegel零点，也就是异常零点。

当χ取实数值（复特征）时，数学家 Edmund Landau 发现，对应的L 函数会出现落在（1）之外的。Landau 证明了对于每个这样的L 函数，若区域

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中存在异常零点，则这样的零点只可能出现一个，必为实零点。

  对于L(s,χ)函数，即使χ为实特征（值为实数），也不会出现异常零点。这个猜测就是朗道-西格尔猜想[i]！

  而Landau-Siegel猜想说的就是当 只取实数值时Siegel零点也不存在。
  当然s也可以取实数，当s = 1时， L(s,χ) ≠ 0 。当L(s,χ) = 0时，因为此时s没有虚部，故t = 0，非平凡零点基本存在的区域就就（1）变为（2）

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  异常零点存在区域的最小值可以由（3）式确定。

⋯⑶
  这个区域和1很接近。Landau-Siegel猜想断言没有这个异常零点。
张益唐教授证明的s的最小值可以由（4）式确定
⋯⑷
  显然，（4）式中s的的值远小于（3）式中的（因为D是很大的正数，logD远大于1），但是在数学上不重要，经过改进，（4）式中logD的指数2022是可以达到（3）式中1的。2022是一个约数，致敬2022年。

附件 2 两种构建序列 {x_n} 的方法

（一） 第一种方法

  N 是一个很大的偶数，有函数

构建有限序列 ⋯⑧, 1 ρ(n) 和 ρ(N - n) 都为0时，表示 n 和 N – n 都是素数，也就是一个充分大的偶数可以表示为两个素数之和。此时， ，
  当⑧式对所有N都有小于0时，哥德巴赫猜想就得到证明。孪生素数研究也在用这个函数和相应方法。当然，这种一个一个遍历的方法非常麻烦，甚至对于不能使用数学归纳法的无穷级数是不可行的。如果能转换为 就方便多了，当然，最后是通过 这个容易证明的不等式来实现的。

（二）第二种方法

1° 定义

f(t) ：定义在区间[ 0,T ]上连续的实函数
= 零点
f(t) = 0 在区间 [ 0,T ] 上的根

2° 假设

，C为某个大于0的常数
就是说任意两个相邻零点之间的间隔大于C
再取两个数正数a，b，令 ：0

3°可以得到一个结论

  那么，，因为 到 之间没有零点，0

4°反证法

  如果要证明 2°假设 是错误的，就是假设某个 和之间还存在一个零点，他们的间隔小于 C，于是，先假定3° 中的结论是错误的。
  令
  若存在 ⋯⑨
  如果这个结论成立，那么2°中的假设就错了。也就是说在某个 到之间有零点！
  张教授在证明过程中使用了这个方法。出于证明的需要，⑨中的≤号换成了<符号。

张益唐教授学术报告链接：
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参考文献
[i] https://zhuanlan.zhihu.com/p/394365916