欧几里德算法

欧几里德算法

欧几里德算法又称辗转相除法，用于计算两个整数a,b的最大公约数。其计算原理依赖于下面的定理：

　　定理：gcd(a,b) = gcd(b,a % b)

　　证明：a可以表示成a = kb + r，则r = a %b

　　假设d是a,b的一个公约数，则有

　　d|a, d|b，而r = a - kb，因此d|r

　　因此d是(b,a % b)的公约数

　　假设d 是(b,a % b)的公约数，则

　　d | b , d |r ，但是a = kb +r

　　因此d也是(a,b)的公约数

因此(a,b)和(b,a mod b)的公约数是一样的，其最大公约数也必然相等，得证；

 　欧几里德算法就是根据这个原理来做的，其算法用C++语言描述为：　

int Gcd(int a, int b)
　　{
    　　if(b == 0)     return a;
     return  Gcd(b, a % b);
　　}

迭代法　　int Gcd(int a, int b)
　 　{
    　 　while(b != 0)
    　 　{
         　 int r = b;
　　          b = a % b;
    　 　   a = r;
     　 　}
     　 　return a;　

　} 

扩展欧几里德算法是用来在已知a, b求解一组x，y使得a*x+b*y=Gcd(a,b)(解一定存在，根据数论中的相关定理)。扩展欧几里德常用在求解模线性方程及方程组中，

递归实现程序extend_gcd.

返回：d=gcd(a,b)和对应等式ax+by=d中的x，y。

 

 

long extend_gcd(long a,long b,long *x,long *y)

{

long t,m;

if((b==0)&&(b==0))

return -1;               //表示无最大公因数

if(b==0)

{ *x=1; *y=0; return a; }

else

{

m=extend_gcd(b,a%b,x,y);

t=*x;

*x=*y;

*y=t-(a/b)*(*y);

}

return m;

}　　

 

可以这样思考:

对于a' = b, b' = a % b 而言，我们求得 x, y使得 

a'x + b'y = Gcd(a', b')

由于b' = a % b = a - a / b * b

 (注：这里的/是程序设计语言中的除法)

那么可以得到:

 a'x + b'y = Gcd(a', b') ===>
　　bx + (a - a / b * b)y = Gcd(a', b') = Gcd(a, b) ===>
　　ay +b(x - a / b*y) = Gcd(a, b)

因此对于a和b而言，他们的相对应的p，q分别是 y和 (x-a/b*y).

关于整系数一次不定方程mx+ny=c的一般解x，y的算法如下：

（1）设d=gcd（m，n），记m=a*d，n=b*d，则gcd（a，b）=1，且整系数方程mx+ny=d有整数解x0，y0，即m*x0+n*y0=d.

注意：x0,y0,实际上是整系数方程ax+by=1的整数解。

（2）更进一步，在（1）的情况下：

若d不是c的因数，则整系数方程mx+ny=c无整数解；

若d是c的因数，记c=g*d,则整系数方程mx+ny=c的一般解为：

x=g*x0+bt

y=g*y0-at,    t为任何整数

     G*x0,g*y0实际上是整系数方程mx+ny=c的一个特解。