前言
此为本人学习《百面机器学习——算法工程师带你去面试》的学习笔记
第四章 降维
引导语
常见的降维方法有：主成分分析、线性判别分析、等距映射、局部线性嵌入、拉普拉斯特征映射、局部保留投影灯。本章主要讲述主成分分析和线性判别分析。
1、PCA最大方法理论
1、PCA（Principal Components Analysis主成分分析）的基本思想：在信号处理领域，我们认为信号具有较大方差，噪声具有较小方差，信号与噪声之比称为**信噪比**。信噪比越大意味着数据质量越好。
如上图黄线所处的轴（主成分所在的轴，主轴），数据分布得更为分散，意味着数据在这个方向上方差更大，是我们想要的轴。PCA的目标是**最大化投影方差**，也就是**让数据在主轴上投影的方差最大**。（其实还可以从其他思路分析，如从最小回归误差角度得到新的目标函数，但最终和最大化投影方差是等价的。）
2、PCA求解方法：（关键步骤是**求协方差矩阵的特征值**）
> 对样本数据进行中心化处理（{, ,...,}={-u,-u,...,-u},u为均值）。
> 求样本协方差矩阵
> 对协方差矩阵进行特征分解，将特征值从大到小排列。
> 取特征值前d大对应的特征向量w1,w2,...,wd,通过以下映射将n维样本映射到d维。（原倍利用d次，新的的第d维就是在第d个主成分wd方向上的投影）
定义降维后的信息**占比**为（特征值平方和之比）
3、PCA扩展知识：PCA是一种线性降维方法，虽然经典但是又有一定局限性，通过**核映射**对PCA进行扩展可以得到核主成分分析（KPCA），也可以通过**流形映射**的降维的方法，比如等距映射、局部线性嵌入、拉普拉斯特征映射等，对一些PCA效果不好的复杂数据集进行**非线性降维**操作。
2、PCA最小平方误差理论
1、从回归的角度定义PCA的目标并求解：上一节求解得到一条直线使得样本点投影到该直线上的方差最大，从求解直线的思路出发，可以将问题转化为一个回归问题，最小化所有点到直线的距离平方之和。
经过推导之后，发现从最小平方误差的角度与最大方差角度殊途同归，从不同的目标函数出发，都得到了相同的求解方法
3、线性判别分析
1、线性判别分析（Linear Discriminant Analysis，LDA）是一种有监督学习算法（PCA是无监督），PCA没有考虑数据的标签，只是把原数据映射到一些方差比较大的方向上去而已，如下图，如果用PCA降维，则会让数据变得难以区分。
2、线性判别分析的中心思想：最大化类间距离和最小化类内距离。如下图，如果只采用最大化两类投影中心距离的准则，则会得到左图（a）的结果，这样两类样本有一定的重叠，效果不好。所以在此基础上还要加上最小化类内距离，如右图（b）。
3、我们最大化的目标函数定义为类内距离和类内距离的比值。经过公式推导，我们得到投影方向是最大的特征值对应的特征向量。其中是类内散度矩阵，;为类间散度矩阵。我们假设标签分为两类，（第四节会讲多标签情况），此处只需要要求**样本的均值**和**类内方差**就可以马上得到最佳投影方向w。
4、LDA相比PCA更善于对有类别信息的数据进行降维处理，但它对数据的分布做了很强的假设。例如：每个类数据都是高斯分布、各个类的协方差相等。尽管这些假设在实际中并不一定满足，但它依然是一种非常有效的降维方法。
5、LDA是一个线性模型，它对噪声的鲁棒性较好，但由于模型简单，表达能力有一定局限性，可以通过引入核函数扩展LDA方法用力处理分布较为复杂的数据。
4、线性判别分析与主成分分析
1、LDA如何扩展到高维：前面定义的类内散度矩阵在类别增加到N时仍然满足定义；为类间散度矩阵只是用类别为2的情况，假设增加到3类，我们取一个三个类的中心点的平均,用表示三个中心点的均值，也是全部样本的中心
定义一个新的矩阵来表示全局整体的散度，称为全局散度矩阵，,则可以表示为,即可像标签为两类的情况一样，通过求解矩阵的特征值得到最佳投影方向w。
2、高维LDA求解方法为：
计算数据集中每个样本均值向量,和总体均值向量。
计算类内散度矩阵,全局散度矩阵，并得到类间散度矩阵。
对矩阵进行特征值分解，将特征值从大到小排列
取特征值前d大的对应特征向量w1,w2,...,wd,与PCA一样，通过下列映射将n为样本映射到d维。
3、PCA和LDA在应用上的不同的举例如下：
语音识别领域中，从一段音频中提取出人的语音信号，可以用PCA降维，过滤掉一些固有频率的背景噪声。但是如果我们的需求是从这段音频中区分出声音属于那个人，则应该用LDA降维，使每个人的语音信号具有区分性。
人脸识别领域中，基于PCA的人脸识别方法也称为特征脸(Eigenface),能保留最佳描述特征。如果想要达到更好的人脸识别效果，应该用LDA方法对数据集进行降维，使得不同人脸在投影后的特征具有一定区分性。
4、PCA和LDA都是线性降维方法，对于非线性数据，可以通过核映射方法对二者进行扩展得到更好的降维效果。