第28课 正定矩阵和最小值

第一目标,如何判断一个矩阵是否是正定的


得出几何上的解释,椭圆和正定性有关,双曲线与正定性无关,当极小存在时,怎样找出极小值?

是对称矩阵

  • ;(特征值判定)
  • ;(行列式判定,所有行列式)
  • ;(主元,所有主元)

例:

当时,为正定的

当时,为不完全正定,称之为半正定矩阵,,由于存在等于0,所以定义为半正定
\begin{align} \underbrace{\begin{bmatrix}x_1&x_2\end{bmatrix}}_{x^T} \underbrace{\begin{bmatrix}2&6\\6&18\end{bmatrix}}_{A} \underbrace{\begin{bmatrix}x_1\\x_2\end{bmatrix}}_{x}&= \begin{bmatrix}x_1&x_2\end{bmatrix} \begin{bmatrix}2x_1+6x_2\\6x_1+18x_2\end{bmatrix}\\ &=x_1\times(2x_1+6x_2)+x_2\times(6x_1+18x_2)\\ &=2x_1^2+6x_1x_2+6x_1x_2+18x_2^2\\ &= \underbrace{2}_{a}x_1^2+ \underbrace{2\times6}_{2b}x_1x_2+ \underbrace{18}_{c}x_2^2 \end{align}\\ \to ax^2+2bxy+cy^2(二次形,不再是线性的)

是线性的,引入,升到二阶,纯二次形没有线性部分,它是否大于0?

一阶导的最小为0,不足以说明是极小值二阶导控制一切,矩阵告诉我们的是二阶导数。在微积分中判断极小值的首要条件是导数必需等于0,此时并不能知道是极大值还是极小值,为了确定是极小值还得看来看二阶导数二阶导数必须为,当通过最小点后,斜率必须是变大的,二阶导数这里变成二阶导数矩阵的正定性,如此来判断极小值

在微积分开始部分,极小值与二阶导数为正相关联,一阶导数为0。

在线性代数中存在极小值的条件是当二阶导数矩阵是正定的,(从一个数二阶导数变成矩阵为正定矩阵)。

如果矩阵为正定时,图形结果的上部为椭圆截面,令,高度为的横切面,如果在鞍点情况下切割,就得到一个双曲线
\underbrace{\begin{bmatrix}2&6\\6&20\end{bmatrix}}_{A}= \underbrace{\begin{bmatrix}1&0\\3&1\end{bmatrix}}_{L} \underbrace{\begin{bmatrix}2&6\\0&2\end{bmatrix}}_{U}\\ f(x,y)=2x^2+12xy+20y^2 = \underbrace{\overbrace{2}^{U第一个主元}(x+3y)^2+\overbrace{2}^{U的第二个主元}y^2}_{配方式子}
正主元,就是平方项外边的系数,因此正主元平方和一切为正图像向上原点极小点,一切都联系在一起

为了存在极小值,必须为正,还须足够大来抵消混合导数的影响

首先是否为正定矩阵,

其次和它相关联的函数是多少?

是多少?

首先求行列式:
A_{1\times1}=2,|A_{2\times2}|=3|A_{3\times3}|=4\\ x^TAx=\\A_{11}x_1^2 + A_{22}x_2^2 + A_{33}x_3^2 + A_{12}x_1x_2 + A_{21}x_1x_2 + A_{23}x_2x_3 + A_{32}x_2x_3 + A_{13}x_1x_3 + A_{31}x_1x_3 \\ =2x_1^2+2x_2^2+2x_3^2-2x_1x_2-2x_2x_3 >0
特征向量说明主轴方向;

特征值说明轴的长度或半长或特征值例数

特征值理论中最重要的分解,由于对称阵的对角化可用转置代替逆

条件:

  • 各级行列式为2,3,4

  • 主元2,3/2,4/3

  • 主元的乘积等于相应的行列式(二级行列式等于,三级行列式等于)

  • 当前行列式等于前级主元的乘积

  • 特征值

    • 用迹检查3个特征值是否正确,,
    • 用行列式检查

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