C++020-C++因数，公因数，公倍数

C++020-C++因数，公因数，公倍数

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因数，公因数，公倍数

在数学思维中，了解因数、公约数和公倍数的计算方法是十分必要的，本文的目标在于:

1、了解因数、公约数和公倍数的基本概念
2、掌握求解因数的基本步骤
3、掌握最大公约数和最小公倍数的求法

因数

因数，或称为约数，定义:整数a/整数b==整数c (b=0)而没有余数，我们就说b是a的因数。
注意:如果a/b==c且没有余数，那么能不能满足a/c==b且没有余数呢?所以如果b是a的因数，那么c也是a的因数。即因数大部分是成对出现的。

求解因数的枚举方法

#include
#include
#include 
using namespace std;


int main()
{
    int n;
    cin>>n;
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        if(n%i==0)
        {
           cout<<i<<" ";
        }
    }

	return 0;
}

题目描述

【描述】任给一个正整数n,求这个数字的不同的因数及其个数。如n=6时，输出1,2,3,6四个因数，并且换行输出总数是4。
【输入】一个整数n;
【输出】两行;第一行从小到大列出因数，空格分隔;第二行是因数的数量。
【样例输入】
6
【样例输出】
1 2 3 6
4

#include
using namespace std;


int main()
{
    int n,s=0;
    cin>>n;
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        if(n%i==0)
        {
           cout<<i<<" ";
           s++;
        }
    }
    cout<<endl<<s;

	return 0;
}

最大公约数

最大公约数，也称最大公因数、最大公因子，指两个或多个整数共有约数中最大的一个。

4的因数有: 1、2、4
8的因数有: 1、2、4、8
则4和8的最大公约数为4。

求解最大公约数的方法：

枚举法

可以使用枚举的方法：从最大的因数开始去除，看两个数字是否都能整除，如果找到第一个那么这个数字就是最大公约数。

#include
using namespace std;


int main()
{
    int a,b;
    cin>>a>>b;
    for(int i=min(a,b);i>=1;i--)
    {
        if(a%i==0 && b%i==0)
        {
            cout<<i;
            break;
        }
    }

	return 0;
}

辗转相除法

辗转相除法是求最大公约数的一种方法。它的具体做法是:

用较大数m除较小数n，得到的余数r作为下次运算中的较小数m，原来的n作为下次运算中的较大数。
如此反复，直到最后余数是O为止，最后的除数就是这两个数的最大公约数。

例如:

对于整数m=12和整数n=8。
12 %8得到余数r=4,将n的值给m,将r的值给n
8 %4得到余数r=0;
r为0，运算结束，则除数n=4就是最大公约数

#include
using namespace std;


int main()
{
    int a,b,t;
    cin>>a>>b;
    if(a<b) swap(a,b); // 确保a比b大
//    for(;a%b;)
    while(a%b)
    {
        t=a%b;//保存余数
        a=b; // 把较小的b赋值给a
        b=t; //把余数赋值给b
    }
    cout<<b<<endl;
	return 0;
}

最小公倍数

两个或多个整数公有的倍数叫做它们的公倍数，其中除O以外最小的一个公倍数就叫做这几个整数的最小公倍数。

对于整数4和整数8。
4的倍数有:4、8、12…
8的倍数有:8、16、32
则4和8的最小公倍数为8。

求解最小公倍数的方法

枚举法

利用枚举的思想，把任意一个数的倍数从小到大求余另外一个数字，如果能整除，就是最小公倍数。

#include
using namespace std;


int main()
{
    int a,b,i=1;
    cin>>a>>b;
    while(1)
    {
        if(a*i % b==0)
        {
            cout<<i*a;
            break;
        }
        i++;
    }

	return 0;
}

用最大公约数找最小公倍数

由于两个数的乘积等于这两个数的最大公约数(x)与最小公倍数(y)的积，可以利用最大公约数求两个数字m和n 的最小公倍数m*n==x*y
步骤:

求两个数字的最大公约数，设为x
m/x*n得到m和n的最大公约数

#include
using namespace std;

int gcd(int x,int y)
{
    if(x<y) swap(x,y);
    while(x%y)
    {
        int t=x%y;
        x=y;
        y=t;
    }
    return y;
}


int main()
{
    int a,b,g;
    cin>>a>>b;
    int t = gcd(a,b);
    a = a/t;
    b = b/t;
    g = a*b *t;
    cout<<g;

	return 0;
}

题目描述-已知最大公约数和最小公倍数，求原数

【描述】已知两个数a和b的最大公约数是G，最小公倍数是L，问这两个数可能是多少?列出所有的解。注意，a=3,b=4和a=4，b=3算不同的解。
【输入】两个整数G和L;均在int范围内;
【输出】若干行，一组解占一行;按照a从小到大列出所有解。
【样例输入】
14
280
【样例输出】
14 280
56 70
70 56
280 14
【分析】
两个数可以表示为

a=a1*a2*a3*...*an*G
b=b1*b2*b3*..*bn*G
L =a1*a2*....n*b1*b2*...*bn*G
其中G是a和b中因数的交集，即产生最大公约数的部分因数，那么a1...an与b1...bn没有公因数。
不妨设a=A*G，b=B*G，那么AB=L/G，且AB的最大公约数为1;
我们枚举A和B的组合，就能从A和B计算得到a和b。

#include
using namespace std;

int gcd(int x,int y)
{
    if(x<y) swap(x,y);
    while(x%y)
    {
        int t=x%y;
        x=y;
        y=t;
    }
    return y;
}


int main()
{
    int a,b,G,L,A,B;
    cin>>G>>L;
    int t=L/G;
    for(A=1;A<=t;A++)
    {
        if(t%A==0)
        {
            B=t/A;
            if(gcd(A,B)==1)
            {
                cout<<A*G<<" "<<B*G<<endl;
            }
        }
    }
	return 0;
}

作业

在线练习：

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总结

本系列为C++学习系列，会介绍C++基础语法，基础算法与数据结构的相关内容。本文为C++中的因数、公因数、公倍数案例，包括相关案例练习。