笔试|二分图最大匹配/最小点覆盖问题(增广路、匈牙利算法)

参考:https://blog.csdn.net/qq_38956769/article/details/80238896

二分图

  • 定义:1)无向图;2)将顶点分为两类,边只存在于两类点之间,不存在于类内顶点间。
    若能将无向图G=(V,E)的顶点V划分为两个交集为空的顶点集,并且任意边的两个端点都分属于两个集合,则称图G为一个为二分图。
  • 判定:如果一个图是连通的,可以用如下的染色法判定是否二分图:
    我们把X部的结点颜色设为0,Y部的颜色设为1。
    从某个未染色的结点u开始,做BFS或者DFS 。把u染为0,枚举u的儿子v。如果v未染色,就染为与u相反的颜色,如果已染色,则判断u与v的颜色是否相同,相同则不是二分图。
    如果一个图不连通,则在每个连通块中作判定。
  • 例子:情侣配对

匹配

在G的一个子图S中,S的边集中的任意两条边都不依附于同一个顶点,则称S是一个匹配。

  • 最大匹配
    有的人有多个意向,无冲突地情况下尽量多撮合成几对。成功配对数最多的匹配为最大匹配。
  • 最优匹配/完美匹配
    若每个人都找到了心仪对象。这种撮合方式,叫做最优匹配或完美匹配。

交替路 & 增广路

用于解决新配对时的冲突。交替路即非匹配边、匹配边交替。
一个一个找匹配,出现冲突时,找首尾都是非匹配边的交替路(即,增广路) ,找到后将其取反,此时得到新匹配,匹配点比原先多1个。

匈牙利算法:不断利用增广路找更好的匹配

  • 每个点从另一个集合里挑对象,没冲突的话就先安排上,要是冲突了就用增广路径重新匹配。重复上述思路,直到所有的点都找到对象,或者找不到对象也找不到增广路。
  • 深度优先和广度优先
    上述是深度优先匈牙利算法。就是冲突了立刻用增广路来解决。
    另外一种是广度优先匈牙利算法。思路是,冲突了就换一个心仪对象,看另一个心仪对象是不是也配对了,要是都配对了,再用增广路来解决。
  • 核心:找增广路(DFS)
    对于每个可以与u匹配的顶点v,假如v未被匹配,那直接用 v与u匹配;
    如果v已与顶点w匹配,那么调用DFS(w)来求证w是否可以与其它顶点匹配,如果DFS(w)返回 true的话,使v与u匹配;如果DFS(w)返回false,则检查u的下一个邻接点 ······
    在DFS 时,要标记访问过的顶点(vis[j]=true),以防死循环和重复计算;每次在主过程中开始一次DFS前,所有的顶点都是未标记。
    主过程只需对每个X部的顶点调用DFS ,如果返回一次 true,就对最大匹配数加一;一个简单的循环就求出了最大匹配数目。
/************深搜找增广路************/
bool Vis[MAX_N+1];
int Match[MAX_N+1];
bool Dfs(int u){
    for(int i=0;i

König定理

二分图最小点覆盖的点的数量等于二分图最大匹配的边的数量,即最小点覆盖=最大匹配数。
最小边覆盖(最小的覆盖所有点的边集)=最大独立集(点集,当且仅当它不被包含在一个更大的点集中时)=总节点数-最大匹配数

  • 算法

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