WGS-84引力模型和大地水准面模型
1、引言
\qquad 本文通过简介世界大地测量系统(WGS-84)中的EGM96引力模型和大地水准面模型，最粗略地告诉大家：这个二十多年前成功设计、实现、并在全球得到广泛应用的系统，是如何定义和实现一个世界大地水准面的？
\qquad 关于世界大地测量系统(WGS-84)的详细介绍参见 “World Geodetic System 1984, NATIONAL IMAGERY AND MAPPING AGENCY TECHNICAL REPORT 8350.2 Third Edition, 2000”。
- 广义相对论–1972讲稿
- 广义相对论–从A到B
2、地球引力模型EGM96简介
\qquad WGS 84 EGM96地球引力模型(Earth Gravitational Model)是引力位的一个球谐展开。WGS 84 EGM96的完整阶数(n)和次数(m)为360，由130,317个系数组成。
\qquad EGM96是共同努力的结果，它的开发使用了NIMA引力数据、NASA/GSFC卫星跟踪数据、以及DoD跟踪数据：
- NIMA成果由（当时还在开发中的）全球30′和1°平均引力异常数据库和5′×5′平均GEOSAT大地测量计划(Geodetic Mission)中的大地水准面高度文件组成。
- GSFC成果由卫星轨道构成，它的建模跟踪了超过30颗卫星，包括使用卫星激光测距、跟踪和数据延迟卫星系统、以及GPS技术跟踪的新卫星。
- 将组合模型推进到70×70-阶/次的进展把卫星高度计(TOPEX/POSEIDON, ERS-1, GEOSAT)和地面引力正常方程纳入了EGM96S。
- GSFC使用的其它卫星跟踪数据还包括Lageos、Lageos-2、Ajisai、Starlette、Stella的新观测资料，以及伴随GEOS-1和GEOSAT的TOPEX和GPSMET新观测资料。
- 还有，GSFC开发了高阶EGM96解。
\qquad 对于高精度卫星定轨和轨道预测，建议使用直到70-阶/次的EGM96。一颗在轨运行卫星对于地球引力位的敏感程度受卫星高度和其它轨道参数的影响很大。建议执行卫星定轨的DoD计划以最适合于其特定任务和轨道准确度要求的方式确定最大阶/次。
\qquad EGM96以归一化形式提供了直到18-阶/次的WGS 84 EGM96系数。这些系数的误差协方差矩阵用加权最小二乘组合解确定到了70-阶/次。可获得的系数均方差高达360-阶/次。此外，EGM96给出了WGS 84 EGM96（360-阶/次）的引力异常方差。如果需要完整的WGS 84 EGM96、误差数据、以及相关软件，还可请求提供。
3、WGS-84 EGM96大地水准面
3.1 介绍
\qquad 在大地测量应用中，主要使用三种地球参考面：1) 地球地形表面；2) 视为旋转椭球面的几何面；3) 大地水准面。
\qquad 当引力位W为常数时，方程(1)定义了一族地球引力场的等位面（等引力位面）。大地水准面就是与平均海洋面最接近的那个特定等引力位面。
W ( X , Y , Z ) = c o n s t a n t ( 1 ) W(X,Y,Z) = constant \qquad(1) W(X,Y,Z)=constant(1)
\qquad 传统上，当开发一个大地水准面时，常数 W W W代表这个表面上任意一处的位势，它被约束为，或者说被假设为，等于一个“最佳拟合”椭球面的正常位势 U 0 U_0 U0。然而，竭尽努力进行改善后，人们认识到WGS 84椭球面无法代表这样一个真实的“最佳拟合”椭球面。WGS 84半长轴与“最佳拟合”值相差0.54 m。对于大地水准面，这一影响通过对它施加一个“零阶(zero-order)”波动值 N 0 N_0 N0来处理。通过这种方法，WGS 84椭球面可以不使用“最佳拟合”椭球面而保留下来，且不会引入任何额外误差。
\qquad 在通常实践中，大地水准面用在给定点上高于 ( + N ) (+N) (+N)或低于 ( − N ) (-N) (−N)这个椭球面的距离来表示。实际中，大地水准面已经被用作平均海平面 (mean sea level, MSL)高度的一个垂直参考面。在无法从传统水准测量中获得高程数据的区域，可以根据以下方程，使用正高(orthometric heights)得到近似的平均海平面高度：
h = H + N ( 2 ) H = h – N ( 3 ) h = H + N \qquad(2)\newline H = h – N \qquad(3) h=H+N(2)H=h–N(3)
其中： h h h = 大地高（相对椭球面的高度）； N N N = 大地水准面起伏(geoid undulation)； H H H = 正高（相对大地水准面的高度）。
\qquad 另外，某些国家用正常高度(normal heights)和具有高度异常(height anomalies)的大地水准面起伏代替正高。使用这样的高度异常无需假设大地水准面和地面之间存在质量密度。因此，可以将方程(2)改写成：
h = H + N = H ∗ + ζ ( 4 ) h = H + N = H^* + ζ \qquad(4) h=H+N=H∗+ζ(4)
其中： H ∗ H^* H∗ = 正常高度； ζ ζ ζ = 高度异常。
\qquad 地形水准面(telluroid)是一个定义的表面，其上每点Q的正常位 U U U等于它的地球表面对应点P的实际位 W W W。高度异常是地形水准面上的Q点和地球表面上的P点之间的距离。
\qquad 方程(3)说明了如何使用大地水准面起伏，根据由卫星位置（例如：GPS）导出的大地高 h h h，确定出正高 H H H。
3.2 公式
\qquad 与以往实践相比，在确定大地水准面起伏方面，已经有了很大进展。WGS 84 EGM96 大地水准面起伏是以高度异常计算为基础的，它的计算使用了全部360-阶/次的WGS 84 EGM96球谐系数。为了将高度异常变换为大地水准面起伏，施加了 − 0.53 -0.53 −0.53米的零阶起伏项和直到360-阶/次的WGS 84 EGM96校正系数。数值 − 0.53 -0.53 −0.53米来自一个无潮汐系统中的“理想”地球椭球体和WGS 84椭球体之间的差值。“理想”椭球体的定义来自国际大地测量联合会的基础常数特别委员会的报告。在一个无潮汐系统中，“理想”地球椭球体用 a = 6378136.46 a = 6378136.46 a=6378136.46米和 1 / f = 298.25765 1/f = 298.25765 1/f=298.25765定义。
\qquad 计算WGS 84 EGM96大地水准面起伏从计算高度异常 ζ \zeta ζ开始：
ζ ( φ , λ , r ) = G M γ ( φ ) r [ Σ 2 ≤ n ≤ n m a x ( a r ) n Σ 0 ≤ m ≤ n ( C ‾ m n cos m λ + S ‾ m n sin m λ ) P ‾ m n ( sin φ ) ] ( 5 ) \zeta(\varphi, \lambda, r) = \frac{GM}{\gamma (\varphi)r} \bigg [\underset{2 \le n \le n_{max}} \Sigma \big (\frac{a}{r} \big)^n \underset{0 \le m \le n}\Sigma (\overline C_{mn}\cos m\lambda + \overline S_{mn}\sin m\lambda) \overline P_{mn}(\sin \varphi) \bigg] \qquad(5) ζ(φ,λ,r)=γ(φ)rGM[2≤n≤nmaxΣ(ra)n0≤m≤nΣ(Cmncosmλ+Smnsinmλ)Pmn(sinφ)](5)
方程(5)是在地球表面或之上一点 P ( φ , λ , r ) P(\varphi, \lambda, r) P(φ,λ,r)的估计值，其中： G M GM GM = 地球引力常数； a a a = 参考椭球体半长轴； φ \varphi φ= 地心纬度； λ \lambda λ= 地心经度 = 大地经度； r r r = 地心到P点的距离； γ ( φ ) \gamma(\varphi) γ(φ) = 椭球面上的理论（正常）引力值； C ‾ n m , S ‾ n m \overline C_{nm}, \overline S_{nm} Cnm,Snm = 来自EGM96的归一化n-阶、m-次引力系数； P ‾ n m \overline P_{nm} Pnm = n-阶、m-次归一化伴随勒让德函数(associated Legendre function)。
\qquad 方程(5)中所有量除一个外都是针对WGS 84 EGM96定义的。在方程(5)中，下标为2到10的偶数带谐系数为动力WGS84 EGM96系数和几何蕴涵系数之差。进一步信息，参见“引言”列出的报告。
\qquad 计算大地水准面起伏 N N N（米）使用的公式为：
N ( φ , λ ) = N 0 + ζ ( φ , λ , r ) + Δ g B A ( φ , λ ) γ ‾ H ( φ , λ ) ( 6 ) N(\varphi, \lambda) = N_0 + \zeta (\varphi, \lambda, r) +\frac{\Delta g_{BA}(\varphi, \lambda)}{\overline \gamma } H(\varphi, \lambda) \qquad(6) N(φ,λ)=N0+ζ(φ,λ,r)+γΔgBA(φ,λ)H(φ,λ)(6)
其中： N 0 = − 0.53 N_0 = -0.53 N0=−0.53米（零阶项）；计算校正项的参数为： Δ g B A ( φ , λ ) \Delta g_{BA}(\varphi, \lambda) ΔgBA(φ,λ)= 来自EGM96的布伽引力异常 = 正常引力平均值； γ ‾ \overline \gamma γ =椭球面上理论（正常）引力的平均值； H ( φ , λ ) H(\varphi, \lambda) H(φ,λ) = 由JGP95E (Joint Gravity Project 95)高度数据库的谐和分析定义。
\qquad 布伽异常可以根据EGM96球谐数据集以及JGP95E高度数据库的谐和分析来计算，JGP95E是NIMA和 NASA/GSFC根据为EGM96提供的最佳数据源开发的全球5′数字高程文件：
Δ g B A ( φ , λ ) = Δ g F A ( φ , λ ) – 0.1119 × H ( φ , λ ) ( 7 ) \Delta g_{BA}(\varphi, \lambda) = \Delta g_{FA}(\varphi, \lambda) – 0.1119×H(\varphi, \lambda) \qquad(7) ΔgBA(φ,λ)=ΔgFA(φ,λ)–0.1119×H(φ,λ)(7)
其中 Δ g F A ( φ , λ ) \Delta g_{FA}(\varphi, \lambda) ΔgFA(φ,λ) = 来自EGM96的大气引力异常(free-air gravity anomaly)。
3.3 永久潮汐系统
\qquad 在根据EGM96引力模型计算的大地水准面起伏中，2-阶带谐系数是在无潮汐系统 (tide-free system) 中给出的。无潮汐意味着从EGM96计算的任何大地水准面起伏，针对的是一个消除了太阳和月球所有（直接的和间接的）影响的无潮汐地球。其它要考虑的大地水准面起伏包括：平均大地水准面（出现太阳和月球时的大地水准面），以及零潮汐大地水准面(zero-tide geoid)（消除了太阳和月球永久直接影响但保留了与地球弹性变形有关的间接影响）。
\qquad 为了计算零潮汐系统中的大地水准面，使用公式：
N Z = N n + 2.97 – 8.88 sin 2 φ c m ( 8 ) N_Z = N_n + 2.97 – 8.88 \sin ^2 \varphi \ \ cm \qquad(8) NZ=Nn+2.97–8.88sin2φ cm(8)
其中： N Z N_Z NZ = 零潮汐大地水准面； N n N_n Nn = 无潮汐大地水准面。
3.4 表示和分析
\qquad 大地水准面起伏可用等值线图来描绘，它显示了大地水准面与选择作为地球数学外形的那个椭球面的偏差。图1是一张全球WGS 84 EGM96大地水准面起伏等值线图，从一个15′×15′全球大地水准面起伏网格开发得到，计算这个起伏网格使用了WGS 84参数和直到n=m=360 的WGS 84 EGM96系数。这个WGS 84 EGM96大地水准面起伏，将世界各地描绘在以15′×15′网格为基础的图件上，展示出了以下的统计值：
\qquad\qquad 平均值 = -0.57 米
\qquad\qquad 标准差 = 30.56 米
\qquad\qquad 最小值 = -106.99 米
\qquad\qquad 最大值 = 85.39 米
最小起伏和最大起伏位置为：
\qquad\qquad 最小值：φ= 4.75° N, λ= 78.75° E
\qquad\qquad 最大值：φ= 8.25° S, λ= 147.25° E
标准差指示了大地水准面和参考椭球面之间的典型差异。
\qquad WGS 84 EGM96大地水准面起伏在全球的误差变化范围为±0.5到±1.0米(1σ)。
4、可用的EGM96产品
\qquad WGS 84 EGM96提供的标准产品包括：
- 根据方程(6)计算的15′x15′WGS 84 EGM96大地水准面起伏文件。
- 全部360-阶/次的EGM96球谐系数
\qquad WGS 84 EGM96大地水准面起伏、相关软件、以及数据文件的附加信息可通过联系官方机构来获得。
- 广义相对论–1972讲稿
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