数据结构-最小生成树 速通指南

数据结构-最小生成树 速通指南

1.生成树与最小生成树介绍

树与图的一个重要区别就是树中不存在回环，而生成树就是把图中构成回环的部分去掉部分边以去掉回环，从而产生的树就叫做生成树。而每条边都有权值的时候，总权值之和最小的树就叫做最小生成树，而求其最小生成树的算法主要用到两种最小生成树算法。

2.最小生成树算法一：Kruskal算法（克鲁斯卡尔算法）

Kruskal是加边算法，其思路为把所有的边按权值升序排序，依次把边加到点图中，并判断是否形成回环，若形成回环则不加，不形成则加，直到边被加完或者最小生成树构造完成为止。比较适合用于边比较稀疏的图。

其中涉及判断环路的部分需要并查集的知识，若不知道的可以先看看：数据结构-并查集 速通指南

$$Kruskal:\{\begin{array}{l}1.对边按权排序\\ 2.按权值从小到大加边，加了后是否构成回环？\{\begin{array}{l}1.构成，不加边\\ 2.不构成，加边\end{array}\\ 3.边不够或者最小生成树完成，结束\end{array}$$

#include
using namespace std;

vector<pair<int,pair<int,int> > > edge;
int pre[MAXN];
int weight;

int find(int x){//并查集 查
    if(pre[x] == x) return x;
    else return find(pre[x]);
}

void join(int x,int y){//并查集 并
    x = find(x),y = find(y);
    if(x != y) pre[x] = y;
}

int main(){
    for(int i = 0;i < MAXN;i++) pre[i] = i;//并查集前继数组的初始化
    
    sort(edge.begin(),edge.end(),[](pair<int,pair<int,int> > 						a,pair<int,pair<int,int> > b){return a.second.second < b.second.second});//对边排序
    
    int num = 0;//记录加入的边数
    for(int i = 0;i < edge.size();i++){
		if(find(edge[i].first) != find(edge[i].second.first){//如果根节点不同，则说明		  //不形成回路，则加入该边
             join(edge[i].first,edge[i].second.first);
             num++;//加入边数加一
             weight += edge[j].second.second;//最小权值累加
        }
        if(num >= pointnum - 1) break;//当加入边数为点数减一时说明最小生成树已经生成，则		结束循环
    }
           
    if(num >= pointnum - 1) cout << weight;//判断最小生成树是否生成成功，成功则输出最小	  //权值
    else cout << -1;//失败则输出-1
           
    return 0;
}

3.最小生成树算法二：Prim算法（普里姆算法）

Prim算法即加点的算法,利用的是蓝白点思想，所以其代码与同为蓝白点算法的迪杰斯特拉算法高度相似（几乎一模一样），最短路算法先挖个坑，以后填了再在这里加个超链接。其思想为，选取一个点，然后找到周围权值最小的边，并标记其点，下次从该点开始重复步骤。比较适合用于边稠密的图。

#include
using namespace std;
const long long INF = 0x3f3f3f3f;
int mp[MAXN][MAXN];
bool book[MAXN];
int mindist[MAXN];
int sum;

int main(){
    //初始化
    for(int i = 0;i < MAXN;i++) mindist[i] = INF;
    mindist[1] = 0;
    book[1] = true;
    int num = 0;
    
    while(num++ < pointnum - 1){
        int m = INF,k = 0;
        for(int i = 1;i < MAXN;i++){//找到最短距离点
            if(mindist[i] < m){
                m = mindist[i];
                k = i;
            }
	    }
        sum += mindist[k];//最小权值累加
        book[k] = true;//标记
        for(int i = 1;i < MAXN;i++){//更新mindist
			if(!book[i] && mp[k][i] < mindist[i]){
                mindist[i] = mp[k][i];
            }
        }
    }
    
    for(int i = 1;i < MAXN;i++) if(mindist[i] == INF) cout << -1,return 0;//失败输出-1
    cout << sum;//成功输出最小权值
    return 0;
}

4.最小生成树相关练习

做到一个补一个~