【Leetcode】877. Stone Game

题目地址：

https://leetcode.com/problems/stone-game/

给定一个正整数数组，设一个两人游戏，甲乙轮流走。甲可以先从数组中的两端取一个数，加到自己的分数上，同时取过的就从数组中删掉；然后乙接着从数组中的两端取，这样一直直到整个数组被取完。初始两人分数都是$0$，问最后谁能获胜。题目保证平局的情况不会出现。

法1：数学。因为有偶数堆石子，所以先手必胜。具体可以参照https://blog.csdn.net/qq_46105170/article/details/104091040。代码如下：

class Solution {
 public:
  bool stoneGame(vector<int>& a) {
    return true;
  }
};

时空复杂度$O(1)$。

法2：动态规划。用一个整数二维数组$f[i][j]$表示在原数组只剩下$s[i,...,j]$的时候，先走方能赢后手方多少分（也就是最后的先后手分差是多少）。显然如果$i=j$，那么分差就是$s[i]$。否则$$f[i][j]=\max \{s[i]-f[i+1][j],s[j]-f[i][j-1]\}$$两种情况分别对应先手方取左端点和右端点。这样就把问题转化为规模更小的问题了。代码如下：

class Solution {
 public:
  bool stoneGame(vector<int>& a) {
    int n = a.size(), f[n][n];
    memset(f, 0, sizeof f);
    for (int len = 1; len <= n; len++)
      for (int l = 0; l + len - 1 < n; l++) {
        int r = l + len - 1;
        if (len == 1) f[l][r] = a[l];
        else f[l][r] = max(a[l] - f[l + 1][r], a[r] - f[l][r - 1]);
      }

    return f[0][n - 1] > 0;
  }
};

时空复杂度$O(n^2)$。