浅谈字符串问题

字符串同余

我们定义 字符串的模运算 : $T\mathrm{mod}P$ 结果为 $T$ 的最长后缀 , 且同时为 $P$ 的最长前缀.

例如 $P=\text{aba}$

$\text{a}\mathrm{mod}P=\text{a}$
$\text{b}\mathrm{mod}P=\varnothing$
$\text{ab}\mathrm{mod}P=\text{ab}$
$\text{ba}\mathrm{mod}P=\varnothing$
$\text{baa}\mathrm{mod}P=\text{a}$
$\text{aba}\mathrm{mod}P=\text{aba}$
$\cdots$

若 $T\mathrm{mod}P$ 等于 $P$ 本身 , 则 $P$ 在 $T$ 末尾处出现一次.

---

根据定义, 我们可以得出以下性质:

记 $a$ 是一个字符 , $S$ 是一个字符串 , $P$ 给定.

1. $a$ 拼在 $S$ 前面 :

   $aS\mathrm{mod}P=\{\begin{array}{l}aS\\ S\mathrm{mod}P\end{array}$

2. $a$ 拼在 $S$ 后面 :

   

   $Sa\mathrm{mod}P=((S\mathrm{mod}P)+a)\mathrm{mod}P$
   ( $+$ 也表示拼接)

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考虑到对 $P$ 取模后结果是 $P$ 的前缀 , 我们也可以用数字表示对 $P$ 取模后的前缀长度. 如 $k$ 就表示 $P[\mathrm{0...}k)$.

现我们已知一个字符串 $T$ , $T\mathrm{mod}P=k$ 和一个字符 $c$, 我们想知道 $Tc\mathrm{mod}P$ 的结果.

$Tc\mathrm{mod}P=((T\mathrm{mod}P)+c)\mathrm{mod}P$ （性质 2）

$=(P[\mathrm{0...}k)+c)\mathrm{mod}P$

• 定义函数 $\text{go(k,c)}$ 来求解 $(P[\mathrm{0...}k)+c)\mathrm{mod}P$.

• 定义 $f(k)$ 表示 $P[\mathrm{1...}k)\mathrm{mod}P$ 的结果. 即 $P[\mathrm{1...}k)\mathrm{mod}P$ 等于 $P[\mathrm{0...}f(k))$. 容易发现 , 因为 $P[\mathrm{1...}k)$ 只有 $k-1$ 位 , 所以 $f(k)$ 严格小于 $k$.

对于 $\text{go(k,c)}$ , 分几种情况：

1. $P[\mathrm{0...}k)+c=k(P[k]=c)$

   答案为 $P[\mathrm{0...}k]$ , 即 $P[\mathrm{0...}k+1)$ , 即前缀长度为 $k+1$ .

2. $P[\mathrm{0...}k)+c\ne k(P[k]\ne c)$
   $P[0]$ 对于运算是多余的 （结合上述图片理解）

   那么答案为 $(P[\mathrm{1...}k)+c)\mathrm{mod}P$ , 也就是 $(P[\mathrm{0...}f(k))+c)\mathrm{mod}P$ , 即 $\text{go(f(k),c)}$. 而 $f(k)<k$ , 相当于是去求解一个子问题.

找出 $pattern$ 在 $text$ 中出现的位置

题目

本题还要求出 $pattern[\mathrm{0...}i)$ 的 $border$ 长度 ($border$ 定义见题面).

而 $P[\mathrm{0...}i)\mathrm{mod}P=f(i)=P[\mathrm{0...}f(i))$ , 根据字符串取模的定义 , $f(i)$ 即为 $P[\mathrm{0...}i)$ 的 $border$ 长度.

#include
using namespace std;
const int MAXN = 1e6 + 5;
string text, pattern;
int f[MAXN];
int go(int k, char c)
{
	if(pattern[k] == c) return k + 1;
	else if(k > 0) return go(f[k], c);
	else return 0;
}
int main()
{
	cin >> text >> pattern; 
	f[1] = 0; // P[1,1) mod P == 0
	for(int i=1; i<pattern.size(); i++)
		f[i + 1] = go(f[i], pattern[i]);
	int res = 0;
	for(int i=0; i<text.size(); i++)
	{ 
		res = go(res, text[i]);
		if(res == pattern.size()) cout << i -pattern.size() + 2 << "\n";
	}
	for(int i=0; i<pattern.size(); i++)
		cout << f[i + 1] << " ";
	return 0;
}

---

例题1 ： 无限猴子

题目

记 $E(S)$ 表示当前字符串为 $S$ , 停止时长度的期望.

若 $P=101$

$E(\varnothing )=\frac{1}{2}E(0)+\frac{1}{2}E(1)+\mathrm{１}$
$E(1)=\frac{1}{2}E(10)+\frac{1}{2}E(11)+\mathrm{１}$
$E(10)=\frac{1}{2}E(100)+\frac{1}{2}E(101)+1$
$E(101)=0$
…

这样显然应该有无限项 , 但如果字符串 $A,B$ 满足 $A\equiv B(\mathrm{mod}P)$ , 有 $E(A)=E(B)$ , 因此我们只关注字符串 $S\mathrm{mod}P$ 后的结果.

记 $E(S)$ 表示当前字符串 $\mathrm{mod}P$ 结果为 $S$ , 停止时长度的期望.

那么便只有:

$E(\varnothing )=\frac{1}{2}E(\varnothing )+\frac{1}{2}E(1)+\mathrm{１}$
$E(1)=\frac{1}{2}E(10)+\frac{1}{2}E(1)+\mathrm{１}$
$E(10)=\frac{1}{2}E(\varnothing )+\frac{1}{2}E(101)+1$
$E(101)=0$

用数字表示前缀，同时将式子左右同乘以 $2$ :

$2E(0)=E(0)+E(1)+2$
$2E(1)=E(2)+E(1)+2$
$2E(2)=E(0)+E(3)+2$
$E(3)=0$

写成一般形式 : $2E(i)=E(i+1)+E(g_i)+2$

其中 $g_i$ 表示 $(P[\mathrm{0...}i)+c)\mathrm{mod}P$ , 其中 $c$ 为 $\overline{P_i}$ （$P_i$ 取反）, 即 $g_i=go(i,\overline{P_i})$

由第一个式子，我们可以将 $E(1)$ 表示为 $a_1\times E(0)+b_1$

以此类推 , 将 $E(i)$ 表示为 $a_i\times E(0)+b_i$ :

$2E(i)=E(i+1)+E(g_i)+2$

$E(i+1)=2E(i)-E(g_i)-2$

$a_{i+1}\times E(0)+b_{i+1}=(2a_i-a_{g_i})\ast E(0)+(2b_i-b_{g_i}-2)$

得 $a_{i+1}=2a_i-a_{g_i},b_{i+1}=2b_i-b_{g_i}-2$

由于 $E(0)=E(0)$ , 即 $a_0=1$ , 剩下的 $a_{i+1}=2a_i-a_{g_i}$ 类推均为 $1$ , 得 $a$ 永远为 $1$.

最终带入 $E(n)=a_n\times E(0)+b_n=E(0)+b_n=0$ , 求解 $E(0)=-b_n$ .

#include
#define int long long
using namespace std;
const int MAXN = 5e5 + 5;
const int mod = 1e9 + 7;
int n, p[MAXN], f[MAXN], g[MAXN], a[MAXN], b[MAXN];
int go(int k, int c)
{
	if(p[k] == c) return k + 1;
	else if(k > 0) return go(f[k], c);
	else return 0;
}
signed main()
{
	cin >> n;
	for(int i=0; i<n; i++)
	{
		char c; cin >> c;
		p[i] = c - '0';
	}
	
	f[1] = 0;
	for(int i=1; i<n; i++)
		f[i + 1] = go(f[i], p[i]);
	
	for(int i=0; i<n; i++)
		g[i] = go(i, p[i] ^ 1);
	
	for(int i=0; i<n; i++)
		b[i + 1] = ( 2 * b[i] - b[g[i]] - 2 ) % mod;
	
	cout << ( -b[n] + mod ) % mod;
	return 0;
}

---

例题2 ： 清除模式

题目

首先介绍暴力算法：before 表示已经处理完的，after 表示待处理的.

#include
using namespace std;
string pattern, text;
int dfs(string before, string after)
{
	if(before.size() >= pattern.size())
		if(before.substr(before.size() - pattern.size()) == pattern) return 1e9;
	if(after == "") return 0;
	int r1 = dfs(before + after[0], after.substr(1));
	int r2 = dfs(before, after.substr(1)) + 1;
	return min(r1, r2);
}
int main()
{
	cin >> pattern >> text;
	cout << dfs("", text);
	return 0;
}

记 after’ 为 after 串开始的位置：

#include
using namespace std;
string pattern, text;
int dfs(string before, int after)
{
	if(before.size() >= pattern.size())
		if(before.substr(before.size() - pattern.size()) == pattern) return 1e9;
	if(after == text.size()) return 0;
	char c = text[after];
	int r1 = dfs(before + c, after + 1);
	int r2 = dfs(before, after + 1) + 1;
	return min(r1, r2);
}
int main()
{
	cin >> pattern >> text;
	cout << dfs("", 0);
	return 0;
}

记 before’ 为 before 串 $\mathrm{mod}P$ 的结果

#include
using namespace std;
const int MAXN = 1e4 + 5;
string pattern, text;
int f[MAXN];
int go(int k, char c)
{
	if(pattern[k] == c) return k + 1;
	else if(k > 0) return go(f[k], c);
	else return 0; 
}
int dfs(int before, int after)
{
	if(before == pattern.size()) return 1e9;
	if(after == text.size()) return 0;
	char c = text[after];
	int r1 = dfs(go(before, c), after + 1);
	int r2 = dfs(before, after + 1) + 1;
	return min(r1, r2);
}
int main()
{
	cin >> pattern >> text;
	
	for(int i=1; i<pattern.size(); i++)
		f[i+1] = go(f[i], pattern[i]);
	
	cout << dfs(0, 0);
	return 0;
}

加上记忆化搜索：

#include
using namespace std;
const int MAXN = 1e4 + 5;
const int MAXM = 5005;
string pattern, text;
int f[MAXN];
int go(int k, char c)
{
	if(pattern[k] == c) return k + 1;
	else if(k > 0) return go(f[k], c);
	else return 0; 
}
bool mem[MAXM][MAXN];
int cache[MAXM][MAXN];
int dfs(int before, int after)
{
	if(before == pattern.size()) return 1e9;
	if(after == text.size()) return 0;
	if(mem[before][after]) return cache[before][after];
	mem[before][after] = true;
	char c = text[after];
	int r1 = dfs(go(before, c), after + 1);
	int r2 = dfs(before, after + 1) + 1;
	return cache[before][after] = min(r1, r2);
}
int main()
{
	cin >> pattern >> text;
	
	for(int i=1; i<pattern.size(); i++)
		f[i+1] = go(f[i], pattern[i]);
	
	cout << dfs(0, 0);
	return 0;
}

此时 , 还有一个点超时 , 原因为 $go$ 函数并非 $O(1)$ , 考虑预处理出所有 $go$ 函数的值.

#include
using namespace std;
const int MAXN = 1e4 + 5;
const int MAXM = 5005;
string pattern, text;
int f[MAXN], g[MAXM][26];
int go(int k, char c)
{
	if(pattern[k] == c) return k + 1;
	else if(k > 0) return go(f[k], c);
	else return 0; 
}
bool mem[MAXM][MAXN];
int cache[MAXM][MAXN];
int dfs(int before, int after)
{
	if(before == pattern.size()) return 1e9;
	if(after == text.size()) return 0;
	if(mem[before][after]) return cache[before][after];
	mem[before][after] = true;
	int c = text[after] - 'a';
	int r1 = dfs(g[before][c], after + 1);
	int r2 = dfs(before, after + 1) + 1;
	return cache[before][after] = min(r1, r2);
}
int main()
{
	cin >> pattern >> text;
	
	for(int i=1; i<pattern.size(); i++)
		f[i+1] = go(f[i], pattern[i]);
	
	for(int c=0; c<26; c++)
		for(int i=0; i<pattern.size(); i++)
			g[i][c] = go(i, c + 'a');
		
	cout << dfs(0, 0);
	return 0;
}