n个结点的二叉树的形状数目(动态规划)

一、题目描述

给定$n$个结点，求二叉树的形状数目。

二、想法

已知最简单的情况是$n=0$ 和 $n=1$时, 树只有一种形状。

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$n=2$ , 若左子树有0个节点，右子树则有1个节点，此时左右子树各只有一种情况。
由于左右子树的情况是可以对称的，所以$n=2$共有 $1\ast 2$ 种情况

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$n=3$
先保持左子树形状不变进行分析右子树的形状

• 若左子树有0个节点，右子树则有$(3-1)$个节点, 右子树的形状个数 等价于 $n=2$ 时的解, 即2种情况。
• 若左子树有1个节点，右子树则有$(3-2)$个节点, 此时左右子树节点个数一致，右子树的形状个数 等价于 $n=1$ 时的解，即只有1种情况。

保持右子树形状不变进行分析左子树的形状
… …由于左右子树的情况是可以对称的，不需要赘述了

综上所述, $n=3$时，解为 $2\times 2+1\times 1=5$

… …

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$n=k$
我们假设f(k)为节点数为n的二叉树形状个数
对于一颗有$n$个结点的二叉树，现在我们假设左子树拥有$k$个节点$(0\le k\le n-1)$

• 保持其右子树不变，改变左子树形态，此时有$f(k)$种可能($k\in N$),
• 然后，保持其左子树不变，改变其右子树形态，此时有$f(n-k-1)$种可能

若左右子树节点个数相同, 即 $n-k-1=k$时，则有$f(n-k-1)\times f(k)$种可能否则，有$f(n-k-1)\times f(k)\times 2$种可能。(当左右子树节点数相同时，由于左右子树存在镜像对称的情况，因此不必×2)

三、代码实现

由于分治法会重复计算小问题的解，不妨用动态规划来实现

def get_cnt_of_tree_shape(n: int):
    l = [0] * (n + 1)
    # l[k]表示k个节点时二叉树形状个数
    l[0] = l[1] = 1
    for i in range(2, n + 1):
        # j取值上界为(i-1)//2,避免重复求解
        for j in range(0, (i-1)//2 + 1):
            if j == i - j - 1:
                l[i] += l[j] * l[i - j - 1]
            else:
                l[i] += l[j] * l[i - j - 1] * 2

    return l[n]