Python生成正态分布的随机数

正态分布

正态分布，最早由棣莫弗在二项分布的渐近公式中得到，而真正奠定正态分布地位的，却是高斯对测量误差的研究。测量是人类与自然界交互中必不可少的环节，测量误差的普遍性，确立了正态分布作用范围的广泛性，或许正因如此，正态分布才又被称为Gauss分布。

np.random中提供了高斯分布、对数高斯分布、标准高斯分布以及逆高斯分布的一元随机数生成器，此外还有多元正态分布生成器。

其中，正态分布、对数正态分布以及逆高斯分布的概率密度函数如下表

normal([loc, scale])	$\frac{1}{\sqrt{2\pi {\sigma }^2}}\exp [-\frac{(x-\mu {)}^2}{2{\sigma }^2}]$	正态分布
lognormal([mean, sigma])	$\frac{1}{\sigma x\sqrt{2\pi }}{e}^{-\frac{(\ln (x)-x{)}^2}{2{\sigma }^2}}$	对数正态分布
wald(mean, scale)	$\sqrt{\frac{\lambda }{2\pi x^3}}\exp [-\frac{\lambda (x-\mu {)}^2}{2{\mu }^{2}x}]$	逆高斯分布

逆高斯分布的说法容易引发歧义，实际上，逆高斯分布和高斯分布相当于布朗运动研究中的两个视角。在布朗运动中，高斯分布描述的是某一固定时刻距离的分布；而逆高斯分布则是达到固定距离所需时间的分布。

从分布的形式来看，当$\lambda$趋近于无穷大时，逆高斯分布趋向于高斯分布。

特别地，当$\mu =\lambda =1$时，逆高斯分布又被称为Wald分布，其概率密度函数表达式为

$$p(x)=\sqrt{\frac{1}{2\pi x^3}}\exp [-\frac{(x-1{)}^2}{2x}]$$

Python生成高斯分布和逆高斯分布

接下来绘制一下高斯分布和逆高斯分布。

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
labels = ["Gaussian distribution",
"Inverse Gaussian distribution"]
dists = [np.random.normal,
np.random.wald]
fig = plt.figure()
for i in range(2):
    ax = fig.add_subplot(1,2,i+1)
    xs = dists[i](2,1,size=1000)
    ax.set_title(labels[i])
    plt.hist(xs,100)

plt.show()

效果如下

Python生成多元Gauss分布

多元高斯分布的主要参数仍为期望和方差，但所谓多元分布，在坐标层面的表现就是坐标轴的个数，也就是向量维度。所以N个元素对应N维向量，也就有N个期望；而方差则进化为了协方差矩阵，下面可以画个图演示一下

mean = [0, 0]
cov = [[0, 1], [10, 0]]
x, y = np.random.multivariate_normal(mean, cov, 5000).T

def scatter_hist(x, y, ax_histx, ax_histy):
    ax_histx.tick_params(axis="x", labelbottom=False)
    ax_histy.tick_params(axis="y", labelleft=False)
    binwidth = 0.25
    xymax = max(np.max(np.abs(x)), np.max(np.abs(y)))
    lim = (int(xymax/0.25) + 1) * 0.25
    bins = np.arange(-lim, lim + binwidth, binwidth)
    ax_histx.hist(x, bins=bins)
    ax_histy.hist(y, bins=bins, orientation='horizontal')

fig = plt.figure()
gs = fig.add_gridspec(2, 2,  
    width_ratios=(4, 1),  
    height_ratios=(1, 4))

ax = fig.add_subplot(gs[1, 0])
ax.scatter(x, y, marker='x')

ax_histx = fig.add_subplot(gs[0, 0], sharex=ax)
ax_histy = fig.add_subplot(gs[1, 1], sharey=ax)
scatter_hist(x, y, ax_histx, ax_histy)
plt.show()

效果如下