2022-02-06-01
（来源: 数学奥林匹克小丛书 第二版 高中卷 数列与数学归纳法 冯志刚 选择恰当的归纳对象 P078 例03）
证明:存在无穷多个,使得
证明
满足,下一个满足的正整数,两者之间的关系是.这提示我们用下面的方法来处理.
设是具有性质的正整数,如果能证明:,那么依此递推,可知有无穷多个正整数满足.
注意到在条件下成立.我们通过增加一个要求的方法来处理.
下证:存在无穷多个,使得,并且
注意到具有上述性质.现设具有上面的性质,令,我们证明也具有上述性质.
事实上,由于,而为奇数,故可设,为奇数,则
故,从而,即.
另一方面,由,知为奇数,故为偶数,这样,由,我们可设,这里为奇数(这里用到),于是
即有,也就是说.
综上可知,命题成立.
说明
如果问题是:“证明:存在无穷多个正整数,使得.”我们是否也需要将它加强为命题呢?
2022-02-06-02
（来源: 数学奥林匹克小丛书 第二版 高中卷 数列与数学归纳法 冯志刚 选择恰当的归纳对象 P079 例04）
求所有的函数,使得对任意、、,都有
解
容易看到下面的3个函数
满足题中的条件.
下证:它们是所有满足条件的函数.
取,得,这个关于的三次方程只有一个整数解,所以.再取可得,故为奇函数.而令,得,于是.
下面用数学归纳法证明:
对任意.都有(这样结合的取值,就完成了本题的解答)
对予以归纳,令,得,令又有.这样,结合为奇函数,可知结论对都成立.
现设对,都有.讨论与的情形,由为奇函数,只要证明.
为此,我们需要用到下面的辅助命题.
命题
对任意,,数都可以表示为5个立方数之和,并且5个加项中的每一项的绝对值都小于.
事实上,由
及对不小于9的奇数有
所以,命题对或6及为不小于3的奇数成立.
注意到,对任意,都存在分解式,这里,或6或大于3的奇数.而由前所证,有表示,其中,,于是,且.所以,辅助命题成立.
由上述命题,对任意,可写,,从而由条件知
结合归纳假设,,得
故.
从而结论获证,题目获解.
说明此题本质上是从恒等式出发来编拟的,证明过程中为实现归纳过渡引入辅助命题的思想并非是数学归纳法证题时所独有,再难的数学问题也都是由一些简单结论创造性地融合而成的.