【数据结构】树和二叉树的概念及结构

目录

1.树概念及结构

1.1 树的概念

1.2 树的相关概念

1.3树的表示

1.4 树在实际中的应用

2.二叉树概念及结构

2.1 概念

2.2 特殊的二叉树

2.2.1 满二叉树

2.2.2 完全二叉树

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1.树概念及结构

1.1 树的概念

树是一种非线性的数据结构，它是由n(n>=0) 个有限节点组成一个具有层次关系的集合。把它叫做树是因为它看起来像一棵倒挂的树，也就是说它是根朝上，而叶朝下。

1.1.1有一个特殊的节点，称为根节点，根节点没有前驱节点

1.1.2除根节点外，其余节点被分成M(M>0)个互不相交的集合T1、T2......、Tm,其中每一个集合Ti(1<=i<=m)又是一颗结构与树类似的子树。每颗子树的根节点有且只有一个前驱，可以有0个或多个后继

1.1.3因此，树是递归定义的。

                                        

A：根
三颗子树，类似结构

任何一颗树，可以分解为根和N(N>=0)颗子树

注意：树型结构中子树之间不能有交集，否则就不是树形结构。

                                       

1.2 树的相关概念

                                                  

 节点的度：一个节点含有的子树的个数称为该节点的度；如上图A节点的度为6

叶节点：度为0的节点；如上图B、C、H、I等节点为叶节点

分支节点：度不为0的节点；如上图D、E、J、F、G为分支节点

双亲结点或父节点：若一个节点含有子节点，则这节点称为其子节点的父节点；如上图，A是B的父节点 

子节点：一个节点含有的子树的根节点称为该节点的子节点；如上图B是A的子节点

兄弟节点：具有相同父节点的节点互称为兄弟节点（亲兄弟）；如上图B、C是兄弟节点

树的度：一棵树中，最大的节点的度成为树的度；如上图，树的度为6

节点的层次：从根开始定义，根为第1层，根的子节点为第二层，以此类推

树的高度或深度：树中节点的最大层次。如上图，树的高度为4

堂兄弟节点：双亲在同一层的节点互称为堂兄弟节点；如上图，H和I为堂兄弟节点

节点的祖先：从根到该节点所经分支上所有节点；如上图，A是所有节点的祖先

子孙：以某节点为根节点的子树中任意节点都称为该节点的子孙；如上图，所有节点都是A的子孙

森林：由m(m>0)颗互不相交的树的集合称为森林

注意：节点的层次可以定义根为第0层，这里建议定义根为第1层。

1.3树的表示

                              

一般的定义：

struct TreeNode 
{
  int data;
  struct TreeNode* child1;
  struct TreeNode* child2;
  struct TreeNode* child3;
//.....
};
//可能存在很多指针浪费
//不确定树的度的情况下不好用
//上图树的度是确定为3

比较好的定义：

//孩子兄弟表示法
struct TreeNode 
{
    int data;
    struct TreeNode * child;
    struct TreeNode* brother;
};

孩子兄弟表示法的结构:

     

其中，A的孩子节点指向B节点，B的兄弟节点指向C，C的兄弟节点指向D，D的兄弟节点指向NULL;（相当于A的子节点只4指向一个，然后A的其余的子节点由它的兄弟节点‘管理’,这样可以避免了指针的浪费。）

1.4 树在实际中的应用

windows文件系统  一个森林

2.二叉树概念及结构

2.1 概念

一棵二叉树是一个节点的有限集合，该集合为：空或者由一个根节点加上两棵别称为左子树和右子树的二叉树构成。

   

 可以看出，二叉树不存在度大于2的节点，二叉树的子树有左右之分，次序不能颠倒，因此二叉树是有序树。

 2.2 现实中的二叉树

                     满二叉树                                                                    完全二叉树

2.2 特殊的二叉树

2.2.1 满二叉树

一个二叉树，如果每一层的节点数都达到最大值，则这个二叉树就是满二叉树，也就是说，如果一个二叉树的层数为k,且结点数总是2^k-1，则它就是满二叉树。

                               

 第k层满了结点数:2^(k-1)

高度为h的满二叉树总结点 = 2^0 + 2^ 1 + .......+2^(h-1) = 2^h -1

 假设满二叉树有N个节点，则 2^h -1 = N, h = log2(N+1)

2.2.2 完全二叉树

完全二叉树是效率很高的数据结构；对深度为k，有n个结点的二叉树，当且仅当其每一个结点都与深度为K的满二叉树中编号从1至n的结点一一对 应时称之为完全二叉树。 要注意的是满二叉树是一种特殊的完全二叉树。（前N-1层是满的，最后一层可以不满，但必须从左到右是连续的）

                         

假设完全二叉树的高度是h,总结点数：(错位相减法可以算出)

最多：2^0 + 2^ 1 + .......+2^(h-1) = 2^h -1

最少：2^0 + 2^ 1 + .......+2^(h-2) + 1 = 2^(h-1）

对任何一棵二叉树, 如果度为0其叶结点个数为n0 , 度为2的分支结点个数为n2 ,则有n0 ＝ n2＋1