蓝桥杯算法训练---印章

印章

题目:共有n种图案的印章,每种图案的出现概率相同。小A买了m张印章,求小A集齐n种印章的概率。

样例输入n和m:2 3

样例输出(保留四位小数:0.7500

数据规模和约定:1≤n,m≤20

解题思路:p = 1/n.

动规步骤:

  • dp定义:dp[i] [j] : i张印章凑齐j种印章数的概率。
  • 递推公式:
    • i < j : 不可能凑齐,dp[i] [j] = 0
    • j = 1时(只需要凑齐一种即可,n种里面的随意一种:
      • i = 1时,dp[i] [j] = 1;
      • i > 1时,每个图案是dp[i] [j] = p ^ i; 有n种图案,则是p ^ i * n, 化简为p ^ (i - 1);
    • 其他情况:
      • 有重复的:前面的i- 1张就已经凑齐了j种,第i张就是重复前面的印章,这个时候前面已经出现过的j种印章再次出现的时候,就是j * p,这个时候就是dp[i] [j] = dp[i-1] [j] * (j/n) = dp[i-1] [j] *(j*p)
      • 无重复的:前面的i- 1张就已经凑齐了j - 1种,第i张就是新凑齐的一种,只需要乘以以前没有出现的印章出现的概率,剩下没出现的印章数是n - (j - 1)种,概率就是(n - j + 1) * p,这个时候dp[i] [j] = dp[i-1] [j-1]*(n-(j-1))/n = dp[i-1] [j-1]*(n-j+1)*p

代码

import java.util.Scanner;

public class Main {
    public static void main(String[] args) {
        Scanner sc = new Scanner(System.in);
        int n = sc.nextInt();
        int m = sc.nextInt();
        //小心越界
        double[][] dp = new double[m + 1][n + 1];

        double p = 1.0 / n;
        dp[0][0] = 0;
        for(int i = 1; i <= m; i++){
            for(int j = 1; j <= n; j++){
                if(i < j){ //这样找不出来 概率为0
                    dp[i][j] = 0;
                }else if(j == 1){ //表示某一种印章出现了i次
                    dp[i][j] = Math.pow(p, i - 1);
                }else{ //包括重复的和不重复的
                    dp[i][j] = dp[i - 1][j] * (j * p) + dp[i - 1][j - 1] * ((n - j + 1) * p);
                }
            }
        }
        System.out.println(String.format("%.4f", dp[m][n]));
        //System.out.printf("%.4f", dp[m][n]);
    }
}

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