稀疏矩阵(Sparse Matrix)

1.背景

  在数据科学和深度学习等领域常会采用矩阵格式来存储数据,但当矩阵较为庞大且非零元素较少时, 如果依然使用dense的矩阵进行存储和计算将是极其低效且耗费资源的。所以,通常我们采用Sparse稀疏矩阵的方式来存储矩阵,提高存储和运算效率。下面将对SciPy中七种常见的存储方式(COO/ CSR/ CSC/ BSR/ DOK/ LIL/ DIA)的概念和用法进行介绍和对比总结。

2.稀疏矩阵简介

2.1 稀疏矩阵

  • 稀疏矩阵
    • 在数值分析中,是其元素大部分为零的矩阵。
    • 在矩阵中,若数值0的元素数目远多于非0元素的数目,并且非0元素分布没有规律
  • 矩阵的稠密度
    • 非零元素的总数比上矩阵所有元素的总数。
      稀疏矩阵(Sparse Matrix)_第1张图片

2.2 压缩存储

  存储矩阵的一般方法是采用二维数组,其优点是可以随机地访问每一个元素,因而能够容易实现矩阵的各种运算, 如转置运算、加法运算、乘法运算等。

  对于稀疏矩阵,它通常具有很大的维度,有时甚大到整个矩阵(零元素)占用了绝大部分内存。

  采用二维数组的存储方法既浪费大量的存储单元来存放零元素,又要在运算中浪费大量的时间来进行零元素的无效运算。因此必须考虑对稀疏矩阵进行压缩存储(只存储非零元素)。

from scipy import sparse
help(sparse)

'''
Sparse Matrix Storage Formats
There are seven available sparse matrix types:

       1. csc_matrix: Compressed Sparse Column format
       2. csr_matrix: Compressed Sparse Row format
       3. bsr_matrix: Block Sparse Row format
       4. lil_matrix: List of Lists format
       5. dok_matrix: Dictionary of Keys format
       6. coo_matrix: Coordinate format (aka IJV, triplet format)
       7. dia_matrix: Diagonal format
       8. spmatrix: Sparse matrix base clas
'''

其中一般较为常用的是csc_matrixcsr_matrixcoo_matrix

2.3 矩阵属性

from scipy.sparse import csr_matrix

### 共有属性
mat.shape  # 矩阵形状
mat.dtype  # 数据类型
mat.ndim  # 矩阵维度
mat.nnz   # 非零个数
mat.data  # 非零值, 一维数组

### COO 特有的
coo.row  # 矩阵行索引
coo.col  # 矩阵列索引

### CSR\CSC\BSR 特有的
bsr.indices    # 索引数组
bsr.indptr     # 指针数组
bsr.has_sorted_indices  # 索引是否排序
bsr.blocksize  # BSR矩阵块大小

2.4 通用方法

import scipy.sparse as sp

### 转换矩阵格式
tobsr()、tocsr()、to_csc()、to_dia()、to_dok()、to_lil()
mat.toarray()  # 转为array
mat.todense()  # 转为dense
# 返回给定格式的稀疏矩阵
mat.asformat(format)
# 返回给定元素格式的稀疏矩阵
mat.astype(t)  

### 检查矩阵格式
issparse、isspmatrix_lil、isspmatrix_csc、isspmatrix_csr
sp.issparse(mat)

### 获取矩阵数据
mat.getcol(j)  # 返回矩阵列j的一个拷贝,作为一个(mx 1) 稀疏矩阵 (列向量)
mat.getrow(i)  # 返回矩阵行i的一个拷贝,作为一个(1 x n)  稀疏矩阵 (行向量)
mat.nonzero()  # 非0元索引
mat.diagonal()   # 返回矩阵主对角元素
mat.max([axis])  # 给定轴的矩阵最大元素

### 矩阵运算
mat += mat     # 加
mat = mat * 5  # 乘
mat.dot(other)  # 坐标点积


resize(self, *shape)
transpose(self[, axes, copy])

3.稀疏矩阵的分类

3.1 COO-coo_matrix

3.1.1Coordinate Matrix 对角存储矩阵

定义详解

  • 采用三元组(row, col, data)(或称为ijv format)的形式来存储矩阵中非零元素的信息 ;
  • 三个数组 row 、col 和 data 分别保存非零元素的行下标、列下标与值(一般长度相同 );
  • 故 coo[row[k]][col[k]] = data[k] ,即矩阵的第 row[k] 行、第 col[k] 列的值为 data[k]

  • row[0] = 1 , column[0] = 1 时, data[0] = 2 ,故 coo[1][1] = 2
  • row[3] = 0 , column[3] = 2 时, data[3] = 9 ,故 coo[0][3] = 9

3.1.2 应用场景

  • 主要用来创建矩阵,因为coo_matrix无法对矩阵的元素进行增删改等操作
  • 一旦创建之后,除了将之转换成其它格式的矩阵,几乎无法对其做任何操作和矩阵运算

3.1.3 优缺点

优点:

  • 转换成其它存储格式很快捷简便(tobsr()tocsr()to_csc()to_dia()to_dok()to_lil()
  • 能与CSR / CSC格式的快速转换
  • 允许重复的索引(例如在1行1列处存了值2.0,又在1行1列处存了值3.0,则转换成其它矩阵时就是2.0+3.0=5.0)

缺点:

  • 不支持切片和算术运算操作
  • 如果稀疏矩阵仅包含非0元素的对角线,则对角存储格式(DIA)可以减少非0元素定位的信息量
  • 这种存储格式对有限元素或者有限差分离散化的矩阵尤其有效

3.1.4 实例化

  • coo_matrix(D):D代表密集矩阵;
  • coo_matrix(S):S代表其他类型稀疏矩阵;
  • coo_matrix((M, N), [dtype]):构建一个shape为M*N的空矩阵,默认数据类型是d
  • coo_matrix((data, (i, j)), [shape=(M, N)])) :三元组初始化
    • i[:] : 行索引
    • j[:] : 列索引
    • A[i[k], j[k]]=data[k]

4.1.5 特殊属性

  • data:稀疏矩阵存储的值,是一个一维数组
  • row:与data同等长度的一维数组,表征data中每个元素的行号
  • col:与data同等长度的一维数组,表征data中每个元素的列号

4.1.6 案例演示

# 数据
row = [0, 1, 2, 2]
col = [0, 1, 2, 3]
data = [1, 2, 3, 4]

# 生成coo格式的矩阵
# 
coo_mat = sparse.coo_matrix((data, (row, col)), shape=(4, 4),  dtype=np.int)

# coordinate-value format
print(coo)
'''
(0, 0)        1
(1, 1)        2
(2, 2)        3
(3, 3)        4
'''

# 查看数据
coo.data
coo.row
coo.col

# 转化array
# 
coo_mat.toarray()
'''
array([[1, 0, 0, 0],
       [0, 2, 0, 0],
       [0, 0, 3, 4],
       [0, 0, 0, 0]])
'''

3.2 CSR - csr_matrix

3.2.1 Compressed Sparse Row Matrix 压缩稀疏行格式

  • csr_matrix是按行对矩阵进行压缩的;
  • 通过 indices, indptrdata 来确定矩阵。
  • data 表示矩阵中的非零数据
  • 对于第 i 行而言,该行中非零元素的列索引为 indices[indptr[i]:indptr[i+1]]
  • 可以将 indptr 理解成利用其自身索引 i 来指向第 i 行元素的列索引
  • 根据[indptr[i]:indptr[i+1]],就得到该行中的非零元素个数,如
    • index[i] = 3index[i+1] = 3 ,则第 i 行的没有非零元素
    • index[j] = 6index[j+1] = 7 ,则第 j 行的非零元素的列索引为 indices[6:7]
  • 得到了行索引、列索引,相应的数据存放在: data[indptr[i]:indptr[i+1]]

  • 对于矩阵第0行,需要先得到其非零元素列索引
    • indptr[0] = 0indptr[1] = 2 可知,第 0 行有两个非零元素。
    • 它们的列索引为 indices[0:2] = [0, 2] ,且存放的数据为 data[0] = 8data[1] = 2
    • 因此矩阵第 0 行的非零元素 csr[0][0] = 8csr[0][2] = 2
  • 对于矩阵第4行,同样需要先计算其非零元素列索引
    • indptr[4] = 3indptr[5] = 6 可知,第 4 行有3个非零元素。
    • 它们的列索引为 indices[3:6] = [2, 3,4] ,且存放的数据为 data[3] = 7data[4] = 1data[5] = 2
    • 因此矩阵第 4 行的非零元素 csr[4][2] = 7csr[4][3] = 1csr[4][4] = 2

3.2.2 适用场景

​  常用于读入数据后进行稀疏矩阵计算,运算高效

3.2.3 优缺点

优点:

  • 高效的稀疏矩阵算术运算
  • 高效的行切片
  • 快速地矩阵矢量积运算

缺点:

  • 较慢地列切片操作(可以考虑CSC)
  • 转换到稀疏结构代价较高(可以考虑LIL,DOK)

3.2.4 实例化

  • csr_matrix(D):D代表密集矩阵;
  • csr_matrix(S):S代表其他类型稀疏矩阵
  • csr_matrix((M, N), [dtype]):构建一个shape为M*N的空矩阵,默认数据类型是d
  • csr_matrix((data, (row_ind, col_ind)), [shape=(M, N)]))
    • 三者关系:a[row_ind[k], col_ind[k]] = data[k]
  • csr_matrix((data, indices, indptr), [shape=(M, N)])
    • 第i行的列索引存储在其中indices[indptr[i]:indptr[i+1]]
    • 其对应值存储在中data[indptr[i]:indptr[i+1]]

3.2.5 特殊属性

  • data :稀疏矩阵存储的值,一维数组
  • indices :存储矩阵有有非零值的列索引
  • indptr :类似指向列索引的指针数组
  • [has_sorted_indices] : 索引 indices 是否排序

3.2.6 案例演示

# 生成数据
indptr = np.array([0, 2, 3, 3, 3, 6, 6, 7])
indices = np.array([0, 2, 2, 2, 3, 4, 3])
data = np.array([8, 2, 5, 7, 1, 2, 9])

# 创建矩阵
csr = sparse.csr_matrix((data, indices, indptr))

# 转为array
csr.toarray()
'''
array([[1, 0, 2],
       [0, 0, 3],
       [4, 5, 6]])
'''
# 按row行来压缩
# 对于第i行,非0数据列是indices[indptr[i]:indptr[i+1]] 数据是data[indptr[i]:indptr[i+1]]
# 在本例中
# 第0行,有非0的数据列是indices[indptr[0]:indptr[1]] = indices[0:2] = [0,2]
# 数据是data[indptr[0]:indptr[1]] = data[0:2] = [1,2],所以在第0行第0列是1,第2列是2
# 第1行,有非0的数据列是indices[indptr[1]:indptr[2]] = indices[2:3] = [2]
# 数据是data[indptr[1]:indptr[2] = data[2:3] = [3],所以在第1行第2列是3
# 第2行,有非0的数据列是indices[indptr[2]:indptr[3]] = indices[3:6] = [0,1,2]
# 数据是data[indptr[2]:indptr[3]] = data[3:6] = [4,5,6],所以在第2行第0列是4,第1列是5,第2列是6

3.3 CSC - csc_matrix

3.3.1 Compressed Sparse Column Matrix 压缩稀疏列矩阵

  • csc_matrix是按列对矩阵进行压缩的

  • 通过 indices, indptr,data 来确定矩阵,可以对比CSR

    • data 表示矩阵中的非零数据
    • 对于第 i 列而言,该行中非零元素的行索引为indices[indptr[i]:indptr[i+1]]
    • 可以将 indptr 理解成利用其自身索引 i 来指向第 i 列元素的列索引
    • 根据[indptr[i]:indptr[i+1]],我就得到了该行中的非零元素个数,如:
      • index[i] = 1index[i+1] = 1 ,则第 i 列的没有非零元素
      • index[j] = 4index[j+1] = 6 ,则第 j列的非零元素的行索引为 indices[4:6]
    • 得到了列索引、行索引,相应的数据存放在: data[indptr[i]:indptr[i+1]]

  • 对于矩阵第0列,需要先得到其非零元素行索引
    • indptr[0] = 0indptr[1] = 1 可知,第 0列行有1个非零元素。
    • 它们的行索引为 indices[0:1] = [0] ,且存放的数据为 data[0] = 8
    • 因此矩阵第 0 行的非零元素 csc[0][0] = 8
  • 对于矩阵第3列,同样需要先计算其非零元素行索引
    • indptr[3] = 4indptr[4] = 6 可知,第 4 行有2个非零元素。
    • 它们的行索引为 indices[4:6] = [4, 6] ,且存放的数据为 data[4] = 1data[5] = 9
    • 因此矩阵第 i 行的非零元素 csr[4][3] = 1csr[6][3] = 9

3.3.2 适用场景

参考CSR

3.3.3 优缺点

对比参考CSR

3.3.4 实例化

  • csc_matrix(D):D代表密集矩阵;
  • csc_matrix(S):S代表其他类型稀疏矩阵
  • csc_matrix((M, N), [dtype]):构建一个shape为M*N的空矩阵,默认数据类型是d
  • csc_matrix((data, (row_ind, col_ind)), [shape=(M, N)]))
    • 三者关系:a[row_ind[k], col_ind[k]] = data[k]
  • csc_matrix((data, indices, indptr), [shape=(M, N)])
    • 第i列的列索引存储在其中indices[indptr[i]:indptr[i+1]]
    • 其对应值存储在中data[indptr[i]:indptr[i+1]]

3.3.5 特殊属性

  • data :稀疏矩阵存储的值,一维数组
  • indices :存储矩阵有有非零值的行索引
  • indptr :类似指向列索引的指针数组
  • [has_sorted_indices] :索引 indices 是否排序

3.3.6 案例演示

# 生成数据
row = np.array([0, 2, 2, 0, 1, 2])
col = np.array([0, 0, 1, 2, 2, 2])
data = np.array([1, 2, 3, 4, 5, 6])

# 创建矩阵
csc = sparse.csc_matrix((data, (row, col)), shape=(3, 3)).toarray()

# 转为array
csc.toarray()
'''
array([[1, 0, 4],
       [0, 0, 5],
       [2, 3, 6]], dtype=int64)
'''

# 按col列来压缩
# 对于第i列,非0数据行是indices[indptr[i]:indptr[i+1]] 数据是data[indptr[i]:indptr[i+1]]
# 在本例中
# 第0列,有非0的数据行是indices[indptr[0]:indptr[1]] = indices[0:2] = [0,2]
# 数据是data[indptr[0]:indptr[1]] = data[0:2] = [1,2],所以在第0列第0行是1,第2行是2
# 第1行,有非0的数据行是indices[indptr[1]:indptr[2]] = indices[2:3] = [2]
# 数据是data[indptr[1]:indptr[2] = data[2:3] = [3],所以在第1列第2行是3
# 第2行,有非0的数据行是indices[indptr[2]:indptr[3]] = indices[3:6] = [0,1,2]
# 数据是data[indptr[2]:indptr[3]] = data[3:6] = [4,5,6],所以在第2列第0行是4,第1行是5,第2行是6

3.4 BSR - bsr_matrix

3.4.1 Block Sparse Row Matrix 分块压缩稀疏行格式

  • 基于行的块压缩,与csr类似,都是通过dataindicesindptr来确定矩阵
  • 与csr相比,只是data中的元数据由0维的数变为了一个矩阵(块),其余完全相同
  • 块大小blocksize
    • 块大小 (R, C) 必须均匀划分矩阵 (M, N) 的形状。
    • R和C必须满足关系:M % R = 0N % C = 0

3.4.2 适用场景

参考CSR

3.4.3 优缺点

优点:

  • 与csr很类似
  • 更适合于适用于具有密集子矩阵的稀疏矩阵
  • 在某些情况下比csr和csc计算更高效。

3.4.4 实例化

  • bsr_matrix(D):D代表密集矩阵;
  • bsr_matrix(S):S代表其他类型稀疏矩阵
  • bsr_matrix((M, N), [blocksize =(R,C), [dtype]):构建一个shape为M*N的空矩阵,默认数据类型是d
  • (data, ij), [blocksize=(R,C), shape=(M, N)]
    • 两者关系:a[ij[0,k], ij[1,k]] = data[k]]
  • bsr_matrix((data, indices, indptr), [shape=(M, N)])
    • 第i行的块索引存储在其中indices[indptr[i]:indptr[i+1]]
    • 其相应块值存储在中data[indptr[i]:indptr[i+1]]

3.4.5 特殊属性

  • data :稀疏矩阵存储的值,一维数组
  • indices :存储矩阵有有非零值的列索引
  • indptr :类似指向列索引的指针数组
  • blocksize :矩阵的块大小
  • [has_sorted_indices] :索引 indices 是否排序

3.4.6 案例演示

# 生成数据
indptr = np.array([0,2,3,6])
indices = np.array([0,2,2,0,1,2])
data = np.array([1,2,3,4,5,6]).repeat(4).reshape(6,2,2)

# 创建矩阵
bsr = bsr_matrix((data, indices, indptr), shape=(6,6)).todense()

# 转为array
bsr.todense()
matrix([[1, 1, 0, 0, 2, 2],
        [1, 1, 0, 0, 2, 2],
        [0, 0, 0, 0, 3, 3],
        [0, 0, 0, 0, 3, 3],
        [4, 4, 5, 5, 6, 6],
        [4, 4, 5, 5, 6, 6]])

3.5 DOK- dok_matrix

3.5.1 Dictionary of Keys Matrix 按键字典矩阵

  • 采用字典来记录矩阵中不为0的元素
  • 字典的 key 存的是记录元素的位置信息的元组, value 是记录元素的具体值

3.5.2 适用场景

  • 逐渐添加矩阵的元素

3.5.3 优缺点

优点:

  • 对于递增的构建稀疏矩阵很高效,比如定义该矩阵后,想进行每行每列更新值,可用该矩阵。
  • 可以高效访问单个元素,只需要O(1)

缺点:

  • 不允许重复索引(coo中适用),但可以很高效的转换成coo后进行重复索引

3.5.4 实例化

  • dok_matrix(D):D代表密集矩阵;
  • dok_matrix(S):S代表其他类型稀疏矩阵
  • dok_matrix((M, N), [dtype]):构建一个shape为M*N的空矩阵,默认数据类型是d

3.5.5 案例演示

dok = sparse.dok_matrix((5, 5), dtype=np.float32)
for i in range(5):
    for j in range(5):
        dok[i,j] = i+j    # 更新元素

# zero elements are accessible
dok[(0, 0)]  # = 0

dok.keys()
# {(0, 0), ..., (4, 4)}

dok.toarray()
'''
[[0. 1. 2. 3. 4.]
 [1. 2. 3. 4. 5.]
 [2. 3. 4. 5. 6.]
 [3. 4. 5. 6. 7.]
 [4. 5. 6. 7. 8.]]
 '''

3.6 LIL - lil_matrix

3.6.1 Linked List Matrix 链表矩阵

  • 使用两个列表存储非0元素data

  • rows保存非零元素所在的列

  • 可以使用列表赋值来添加元素,如 lil[(0, 0)] = 8

  • lil[(0, -1)] = 4 :第0行的最后一列元素为4
  • lil[(4, 2)] = 5 :第4行第2列的元素为5

3.6.2 适用场景

  • 适用的场景是逐渐添加矩阵的元素(且能快速获取行相关的数据)
  • 需要注意的是,该方法插入一个元素最坏情况下可能导致线性时间的代价,所以要确保对每个元素的索引进行预排序

3.6.3 优缺点

优点:

  • 适合递增的构建成矩阵
  • 转换成其它存储方式很高效
  • 支持灵活的切片

缺点:

  • 当矩阵很大时,考虑用coo
  • 算术操作,列切片,矩阵向量内积操作慢

3.6.4 实例化

  • lil_matrix(D):D代表密集矩阵;
  • lil_matrix(S):S代表其他类型稀疏矩阵
  • lil_matrix((M, N), [dtype]):构建一个shape为M*N的空矩阵,默认数据类型是d

3.6.5 特殊属性

  • data:存储矩阵中的非零数据
  • rows:存储每个非零元素所在的列(行信息为列表中索引所表示)

3.6.6 案例演示

# 创建矩阵
lil = sparse.lil_matrix((6, 5), dtype=int)

# 设置数值
# set individual point
lil[(0, -1)] = -1
# set two points
lil[3, (0, 4)] = [-2] * 2
# set main diagonal
lil.setdiag(8, k=0)

# set entire column
lil[:, 2] = np.arange(lil.shape[0]).reshape(-1, 1) + 1

# 转为array
lil.toarray()
'''
array([[ 8,  0,  1,  0, -1],
       [ 0,  8,  2,  0,  0],
       [ 0,  0,  3,  0,  0],
       [-2,  0,  4,  8, -2],
       [ 0,  0,  5,  0,  8],
       [ 0,  0,  6,  0,  0]])
'''

# 查看数据
lil.data
'''
array([list([0, 2, 4]), list([1, 2]), list([2]), list([0, 2, 3, 4]),
       list([2, 4]), list([2])], dtype=object)
'''
lil.rows
'''
array([[list([8, 1, -1])],
       [list([8, 2])],
       [list([3])],
       [list([-2, 4, 8, -2])],
       [list([5, 8])],
       [list([6])]], dtype=object)
'''

3.7 DIA - dia_matrix

3.7.1 Diagonal Matrix 对角存储格式

  • dia_matrix通过两个数组确定:dataoffsets

    • data :对角线元素的值
    • offsets :第 ioffsets 是当前第 i 个对角线和主对角线的距离
    • data[k:] 存储了 offsets[k] 对应的对角线的全部元素

稀疏矩阵(Sparse Matrix)_第2张图片

  • offsets[0] = 0 时,表示该对角线即是主对角线,相应的值为 [1, 2, 3, 4, 5]
  • offsets[2] = 2时,表示该对角线为主对角线向上偏移2个单位,相应的值为[11, 12, 13, 14, 15]
    • 但该对角线上元素仅有三个 ,于是采用先出现的元素无效的原则
    • 即前两个元素对构造矩阵无效,故该对角线上的元素为 [13, 14, 15]

3.7.2 适用场景

  最适合对角矩阵的存储方式

3.7.3 实例化

  • dia_matrix(D):D代表密集矩阵;
  • dia_matrix(S):S代表其他类型稀疏矩阵
  • dia_matrix((M, N), [dtype]):构建一个shape为M*N的空矩阵,默认数据类型是d
  • dia_matrix((data, offsets)), [shape=(M, N)]))
    • data[k,:] 存储着对角偏移量为 offset[k] 的对角值

3.7.4 特殊属性

  • data:存储DIA对角值的数组
  • offsets:存储DIA对角偏移量的数组

3.7.5 案例演示

# 生成数据
data = np.array([[1, 2, 3, 4], [5, 6, 0, 0], [0, 7, 8, 9]])
offsets = np.array([0, -2, 1])

# 创建矩阵
dia = sparse.dia_matrix((data, offsets), shape=(4, 4))

# 查看数据
dia.data
'''
array([[[1 2 3 4]
        [5 6 0 0]
        [0 7 8 9]])
'''

# 转为array
dia.toarray()
'''
array([[1 7 0 0]
       [0 2 8 0]
       [5 0 3 9]
       [0 6 0 4]])
'''

4.矩阵格式对比

COO DOK LIL CSR CSC BSR DIA Dense
indexing no yes yes yes yes no† no yes
write-only yes yes yes no no no no yes
read-only no no no yes yes yes yes yes
low memory yes no no yes yes yes yes no
PyData sparse yes yes no no no no no n/a

5.稀疏矩阵存取

5.1 存储 - save_npz

# 存储为npz文件
scipy.sparse.save_npz('sparse_matrix.npz', sparse_matrix)

5.2 读取 - load_npz

# 从npz文件中读取
mat = sparse.load_npz('./data/npz/test_x.npz')

5.3 存储大小比较

a = np.arange(100000).reshape(1000,100)
a[10: 300] = 0
b = sparse.csr_matrix(a)

# 稀疏矩阵压缩存储到npz文件
sparse.save_npz('b_compressed.npz', b, True)  # 文件大小:100KB

# 稀疏矩阵不压缩存储到npz文件
sparse.save_npz('b_uncompressed.npz', b, False)  # 文件大小:560KB

# 存储到普通的npy文件
np.save('a.npy', a)  # 文件大小:391KB

# 存储到压缩的npz文件
np.savez_compressed('a_compressed.npz', a=a)  # 文件大小:97KB• 1

对于存储到npz文件中的CSR格式的稀疏矩阵,内容为:

data.npy
format.npy
indices.npy
indptr.npy
shape.npy

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参考:

1.Sparse稀疏矩阵主要存储格式总结

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