视觉SLAM14讲第三章习题作业

这是本人的解答，并非官方解答

验证旋转矩阵是正交矩阵

在第44页中，旋转矩阵的引入是这样的：

所以，我们需要验证矩阵
R = [ e 1 T e 1 ′ e 1 T e 2 ′ e 1 T e 3 ′ e 2 T e 1 ′ e 2 T e 2 ′ e 2 T e 3 ′ e 3 T e 1 ′ e 3 T e 2 ′ e 3 T e 3 ′ ] R = \begin{bmatrix} e_1^{T}e_1^{'}&& e_1^{T}e_2^{'} && e_1^{T}e_3^{'}\\ e_2^{T}e_1^{'}&& e_2^{T}e_2^{'} && e_2^{T}e_3^{'}\\ e_3^{T}e_1^{'}&& e_3^{T}e_2^{'} && e_3^{T}e_3^{'}\\ \end{bmatrix} R= ​e1T​e1′​e2T​e1′​e3T​e1′​​​e1T​e2′​e2T​e2′​e3T​e2′​​​e1T​e3′​e2T​e3′​e3T​e3′​​ ​

是正交矩阵，
那么我们只需要验证矩阵 R 的转置是他的逆就可以了。
R T = [ e 1 ’ T e 1 e 1 ‘ T e 2 e 1 ’ T e 3 e 2 ‘ T e 1 e 2 ‘ T e 2 e 2 ‘ T e 3 e 3 ’ T e 1 e 3 ’ T e 2 e 3 ’ T e 3 ] R^T=\begin{bmatrix} e_1^{’T}e_1^{}&& e_1^{‘T}e_2^{} && e_1^{’T}e_3^{}\\ e_2^{‘T}e_1^{}&& e_2^{‘T}e_2^{} && e_2^{‘T}e_3^{}\\ e_3^{’T}e_1^{}&& e_3^{’T}e_2^{} && e_3^{’T}e_3^{}\\ \end{bmatrix} RT= ​e1’T​e1​e2‘T​e1​e3’T​e1​​​e1‘T​e2​e2‘T​e2​e3’T​e2​​​e1’T​e3​e2‘T​e3​e3’T​e3​​ ​

R T R = [ e 1 ’ T e 1 e 1 T e 1 ’ + e 1 ’ T e 2 e 2 T e 1 ’ + e 1 ’ T e 3 e 3 T e 1 ’ e 1 ’ T e 1 e 1 T e 2 ’ + e 1 ’ T e 2 e 2 T e 2 ’ + e 1 ’ T e 3 e 3 T e 2 ’ − − − − − − − ] R^{T}R=\begin{bmatrix} e_1^{’T}e_1^{}e_1^{T}e_1^{’}+ e_1^{’T}e_2^{}e_2^{T}e_1^{’}+ e_1^{’T}e_3^{}e_3^{T}e_1^{’}&& e_1^{’T}e_1^{}e_1^{T}e_2^{’}+ e_1^{’T}e_2^{}e_2^{T}e_2^{’}+ e_1^{’T}e_3^{}e_3^{T}e_2^{’} && -\\ -&& - && -\\ -&& - && -\\ \end{bmatrix} RTR= ​e1’T​e1​e1T​e1’​+e1’T​e2​e2T​e1’​+e1’T​e3​e3T​e1’​−−​​e1’T​e1​e1T​e2’​+e1’T​e2​e2T​e2’​+e1’T​e3​e3T​e2’​−−​​−−−​ ​
需要证明：
$$e_1^{’T}{e}_1^{}{e}_1^T{e}_1^{’}+e_1^{’T}{e}_2^{}{e}_2^T{e}_1^{’}+e_1^{’T}{e}_3^{}{e}_3^T{e}_1^{’}=1\text{\hspace{1em}(1)}$$

根据向量內积的性质，有：

$$e_1^{’T}{e}_1^{}{e}_1^T{e}_1^{’}+e_1^{’T}{e}_2^{}{e}_2^T{e}_1^{’}+e_1^{’T}{e}_3^{}{e}_3^T{e}_1^{’}={\cos }^{2}a+{\cos }^{2}b+{\cos }^{2}c$$
其中 $a,b,c$ 分别为向量 $e_1^{{}^{\prime }}$ 与坐标系的三个基底$e_1^{},e_2^{},e_3^{}$所成夹角。由接下来的这张图，易得式（1）成立。

下面要证明：
$$e_1^{’T}{e}_1^{}{e}_1^T{e}_2^{’}+e_1^{’T}{e}_2^{}{e}_2^T{e}_2^{’}+e_1^{’T}{e}_3^{}{e}_3^T{e}_2^{’}=0\text{\hspace{1em}(2)}$$

不妨令：
e 1 = [ 1 0 0 ] e 2 = [ 0 1 0 ] e 3 = [ 0 0 1 ] e_1 =\begin{bmatrix} 1 \\ 0\\ 0\\ \end{bmatrix} e_2 =\begin{bmatrix} 0 \\ 1\\ 0\\ \end{bmatrix} e_3 =\begin{bmatrix} 0 \\ 0\\ 1\\ \end{bmatrix} e1​= ​100​ ​e2​= ​010​ ​e3​= ​001​ ​
则
$$e_1^{’T}{e}_1^{}{e}_1^T{e}_2^{’}+e_1^{’T}{e}_2^{}{e}_2^T{e}_2^{’}+e_1^{’T}{e}_3^{}{e}_3^T{e}_2^{’}=e_1^{’T}(e_1^{}{e}_1^T+e_2^{}{e}_2^T+e_3^{}{e}_3^T)e_2^{’}$$
而
$$e_1^{}{e}_1^T+e_2^{}{e}_2^T+e_3^{}{e}_3^T=I$$
所以 式（2）左边
$$=e_1^{’T}I{e}_2^{’}=e_1^{’T}{e}_2^{’}=0(正交基旋转之后还是正交基)$$

注意，式（1）的证明也可以用式（2）证明的方法。
同理可证矩阵 $R^{T}R$ 主对角线元素为1，其余元素为0，所以其为单位阵。
同理可证矩阵$R{R}^T$是单位阵。
所以，矩阵 R 是正交矩阵。