数据结构与算法-C++实现
前沿
1.数据结构和算法的理解
答：
我们如何把现实中大量而复杂的问题，以特定的数据类型和特定的存储结构保存到主存储器（内存）中。
（注：数据结构解决了数据存储的问题，比如要存储一个班级50人的成绩，可以使用数组直接在内存开辟出整块空间用于存储；但是当要存储一个学校5000人的成绩时，由于内存没有这么大整块空间用于存储，此时不能用数组，转而可以用链表方式。诸如此类的数据存储问题，都属于数据结构问题。）
以及在此基础上（数据被存储到内存后），为实现某个功能（比如查找某个元素，删除某个元素，对元素进行排序等）而执行的相应操作，这个相应的操作也叫算法。
数据结构 = 个体的存储 + 个体与个体的关系存储
（如数组，个体间的关系是连续存储；链表，上一个个体指向下一个个体的存储地址）
算法 = 对存储数据的操作
（相同的数据，采用存储数据方式不一样，对应的某个功能算法就不一样）
2.数据结构的地位
答：
数据结构是软件中最核心的课程
程序 = 算法 + 数据结构 = 数据的存储 + 数据的操作 + 可以被计算机执行的语言
3.数据结构的主要内容
答：
一、基础知识
1.数据、数据对象、数据元素、数据项 的概念和关系?
答：
2.数据结构的定义？研究数据结构的意义？逻辑结构和物理结构的概念？两者区别？
答：
数据结构，就是数据之间的关系。计算机中，不同数据元素，彼此之间不是孤立的，而是存在某种特定关系，这种关系叫结构。
当我们编写的程序，能更好地处理具有某种特定关系的数据对象，那么这就是一个“好程序”，也是研究数据结构的意义。
逻辑结构：指数据对象中数据元素之间的关系，是逻辑意义上的关系。细分为集合结构、线性结构、树形结构、图形结构
物理结构：指数据的逻辑结构关系，在计算机上的存储形式。细分为顺序存储结构、链式存储结构。
区别：逻辑结构是面向问题的，而物理结构就是面向计算机的，其基本的目标就是将数据及其逻辑关系存储到计算机的内存中。.
3.数据类型和抽象数据类型的概念？
答：
数据类型：描述对数据的取值范围、数据的结构、以及对数据合法的操作。
可见数据类型包括了对数据结构的描述，不过由于数据结构是属于底层的知识，因此数据类型更强调对数据合法的操作。
举例：在使用整数这一数据类型时，我们不需要了解这种数据类型在计算机内存中是怎样存储的，怎样表示的，也不需要知道它在内存中执行加减乘除的运算细
节，而只需要知道这种数据类型具有逻辑上的加减乘除运算即可，所以有了数据类型，我们把注意力集中在这种数据类型所具有逻辑上的抽象特征。因此，引入数
据类型，实现了数据物理存储细节的屏蔽。这也是我们后来引入抽象数据类型的原因。
抽象数据类型：在数据结构这门课中，我们需要接触到各种不同的数据结构，我们不需要为了实现一个简单的操作，就每次关注他的底层细节。因此，我们通过定义该数据结构的抽象数据类型，屏蔽它的底层实现细节，关注对它的合法操作。因此抽象数据类型包括了数据的结构，也包括了基于这种数据结构存在的合法操作。
从我们编写的程序或者算法来说，底层算法就是抽象数据类型，它当相当于一个接口，对下封装了底层实现细节，对上提供各种操作。
（如线性表的顺序存储结构，我们通过定义一个类，类中的包括查找，插入删除等操作，就是这种数据结构的底层实现细节）
顶层算法中，在调用这种数据结构时，就只需要关注他的合法操作即可。
（我们程序在使用线性表顺序存储结构下的查找功能时，只需要调用类中查找函数即可，不需要再关心底层操作）
总结：
数据结构强调数据之间的关系，属于底层细节。
数据类型强调对数据的合法操作，也包括对数据结构的描述。
抽象数据类型，屏蔽各种数据的结构底层细节，强调对其合法的操作。其实就是C++中讲的结构体，类。
简单数据结构：整数的结构，字符的结构，数组的结构。
复杂数据结构：线性表，栈和队列，树，图
简单数据类型：整型，字符型，数组
复杂数据类型（抽象数据类型）：结构体，类
可见，数据结构和数据类型从两个方面描述了数据，一个是底层，强调物理和逻辑的细节；一个是高层，强调功能操作。数据类型是对数据结构进行了接口化包装
4.算法的基本概念？定义、特性、设计要求、度量方法？
答：
算法定义：对具有某种数据结构的数据，进行功能操作（比如查找某个元素，删除某个元素，对元素进行排序等），这个操作就叫算法。
然对于不同数据结构的数据，进行相同功能的操作，算法是不同的。
算法特性：有输入，有输出，步骤的有穷性，步骤的确定性，步骤的可行性。
算法设计要求：算法正确性，算法可读性，算法健壮性，时间效率高，存储容量低。
算法的度量方法：即算法执行的时间，就是输入规模n与算法需要的基本操作数量f(n)之间的关系。如f(n)=1，f(n)=n…
5.算法时间复杂度的定义？推导时间复杂度？
答：
n是问题输入规模，f(n)是对应的算法基本操作数量，记作O(f(n))。
推导时间复杂度：给一个程序，要会推导它的时间复杂度，见书上例子。
常见时间复杂度：
二、线性表
1.线性表的定义？（逻辑结构上的定义，属于底层）
答：
由零个或者多个数据元素构成的有限序列，就是线性表。序列是有顺序的，并且有限的。
2.线性表的抽象数据类型是什么意思？（底层的接口化，供上层调用）
答：
线性表的抽象数据类型，就是针对线性表这种数据结构，定义一个类，方便程序对线性表的使用。
线性表的抽象数据类型包括两个方面：一个是数据结构本身的定义，一个是定义在该数据结构上的合法操作的具体实现，这里包括创建和初始化列表、判断线性表是否为空、清空线性表、查找元素位置、判断元素是否存在、插入元素、删除元素、线性表长度等操作。
注：对于更复杂的线性表操作，就是更灵活地组合这些基本操作。
比如，我们需要将线性表A和B进行合并，就是把存在B中但不存在A中的元素，插入到A中。
操作算法为，循环B中每个元素，判断其是否属于A，若不属于，将其插入A中。
3.线性表的顺序存储结构？顺序存储结构下的常用操作：创建，查找，插入，删除等操作？
答：
顺序线性表的定义：
1）顺序存储结构线性表的创建
答：
线性表的顺序存储结构，其实就是用数组进行实现的。当然，线性表的顺序存储结构与数组有一点区别。
顺序存储结构的线性表包括三个属性：起始存储地址、线性表最大存储容量、线性表当前长度
区别数组长度和线性表长度：
数组长度是在创建线性表时，分配给数组的存储空间长度，就是线性表的最大存储容量，一般后面不再改变。
线性表的长度，是当前线性表中元素的个数，随着线性表的插入和删除操作，这个值一直在变化。
显然，数组长度要大于等于线性表长度。
存储位置关系（地址关系）：
假设线性表每个数据元素占用C个存储单元，那么线性表第i+1和第i个数据元素之间的存储位置关系为：
LOC是获取存储地址的函数。
注：顺序线性表的存取操作，时间复杂度为O(1)
C++实现顺序线性表的创建：
bool SqList::CreatList()//创建一个线性表：线性表中的数据元素进行手动输入
{
cout << "输入顺序线性表的长度：" << endl;
cin >> length;//手动输入创建线性表的长度
if (length < 0 || length > MaxSize)
{
cout << "创建失败！线性表的长度不符合要求！" << endl;
length = 0;
return false;
}
cout << "开始创建！" << endl;
for (int i = 1; i <= length; i++)
{
cout << "输入线性表的第" << i << "个元素：";
cin >> data[i-1];
}
cout << "创建完成!" << endl;
return true;
}
2）查找顺序线性表的第i个元素
答：
算法思路：如果线性表不为空，且位置索引i在[1,length]范围，取得第i个元素；否则，获取失败
C++实现获取顺序线性表第i个元素：
bool SqList::GetElem( int i, ElemType *e)//获取线性表的第i个元素 地址传递GetElem( int i, ElemType *e) 引用传递GetElem( int i, ElemType &e)
{
if (i < 1 || i > length || length == 0) //如果线性表为空，或者索引超出范围，获取失败
{
cout << "索引超出线性表范围或者线性表为空" << endl;
return false;
}
else
{
*e = data[i-1]; //类内访问 地址传递是用*e，引用传递时用e
cout << "第" << i << "个元素为：" << *e << endl;
return true;
}
}
3）顺序线性表的插入操作
答：
功能：在线性表的第i个位置插入新元素e
C++实现顺序线性表在第i个位置插入新元素e：
bool SqList::ListInsert(int i, ElemType &e)
{
if (length == MaxSize)
{
cout << "失败！顺序线性表已满！" << endl;
return false;
}
else if (i < 1 || i > MaxSize) // i索引位置，从1开始
{
cout << "失败！插入位置超出线性表索引范围！" << endl;
return false;
}
else
{
for ( int j = length-1; j >= i-1; j--) //j索引下标，从0开始
{
data[j+1] = data[j]; //元素后移一位
}
data[i - 1] = e;//第i个位置，对应的下标为i-1，插入元素
length++; //插入成功后，线性表长度加1
return true;
}
}
4）顺序线性表的删除操作
答：
功能：删除线性表的第i个位置元素，并获取被删除的元素
C++实现顺序线性表删除第i个位置元素：
bool SqList::ListDelete(int i, ElemType &e)//顺序线性表的删除操作
{
if (length == 0)
{
cout << "线性表为空，无法删除元素！" << endl;
return false;
}
else if (i < 1 || i > length)
{
cout << "删除位置超出线性表长度范围！" << endl;
return false;
}
else
{
e = data[i - 1];//获取删除元素的值
for ( int j = i; j < length; j++)//j索引下标，从0开始
{
data[j - 1] = data[j];
}
length--;
return true;
}
}
注：顺序线性表的插入和删除操作，时间复杂度为O(n)
5）查找顺序线性表是否有某元素，并返回位置i
答：
算法思路：遍历整个顺序线性表，如果当前索引位置的元素与查找元素相同，返回其索引位置i；如果没有，说明无此数据元素
**区分：只返回第一个查找到的元素位置。返回所有查找到的元素位置。**▲▲
C++实现查找顺序线性表是否有元素e，并返回第一个索引位置：
int SqList::LocateElem(ElemType &e)//查找元素，返回索引位置i（只返回查找的第一个位置）
{
for (int i = 1; i <= length; i++)
{
if (data[i - 1] == e)
{
return i; //i表示索引位置，从1开始
}
}
return 0;
}
6）获取线性表的长度
答：
思路：返回当前线性表的length即可。
C++实现获取线性表的长度：
int SqList::ListLength()//获取线性表的长度
{
return length;
}
7）判断线性表是否为空，为满
答：
思路：length =0 表为空；length = MaxSize表为满
C++实现判断线性表是否为空，为满：
bool SqList::ListEmpty()//判断线性表是否为空
{
if (length == 0)
return true;
return false;
}
bool SqList::ListFull()//判断线性表是否为满
{
if (length == MaxSize)
return true;
return false;
}
8）清空顺序表
答：
思路：让length = 0即可
C++实现清空顺序表：
void SqList::ClearList()//清空顺序表
{
length = 0; //让线性表长度为0，即可清空
}
9）显示顺序表
答：
思路：遍历顺序表，打印输出每个元素值
C++实现显示顺序表：
void SqList::DispList()//显示当前顺序表
{
for (int i = 1; i <= length; i++)
{
cout << data[i - 1] << " ";
}
cout << endl;
}
10）合并两个顺序表
1.合并顺序表a和顺序表b =>表c
答：
算法思路：
遍历表a的值，将其全部赋值给c；如果表c的长度超出容量，则合并错误；
否则遍历表b中所有值，如果不属于表a，将其赋值给表c，表c每增加1个元素，长度加1。
C++实现合并顺序表a和顺序表b =>表c：
bool SqList::UnionList(SqList &La, SqList &Lb)//合并表a和表b：对象Lb作为函数参数
{
int i;
for (i = 1; i <= La.length; i++) //允许使用La,Lb的私有属性，因为属于类内访问
{
data[i - 1] = La.data[i - 1];//将表a的数据元素都保存下来
length++;
}
for (int j = 1; j <= Lb.length; j++)
{
if (La.LocateElem(Lb.data[j - 1]) == 0)//如果表a中没有表b的元素
{
if (i < MaxSize)
{
data[i - 1] = Lb.data[j - 1];//只将表b中不同于表a的元素记录下来
length++;
i++;
}
else
{
cout << "表满了，不能再合并！" << endl;
return false;
}
}
}
return true;
}
2.合并顺序表a和顺序表b =>表a
答：
算法思路：
如果表a的长度超出容量，则合并错误；否则遍历表b中所有值，如果不属于表a，将其赋值给表a。
表a每增加1个元素，长度加1。
C++实现合并顺序表a和顺序表b =>表a：
bool SqList::UnionList2(SqList &Lb)//合并表a和表b => 表a：对象Lb作为函数参数
{
for (int i = 1; i <= Lb.length; i++)
{
if(LocateElem(Lb.data[i - 1]) == 0)//如果表a中没有表b的元素 定义成员函数时，可以使用已定义的其他成员函数LocateElem▲▲
{
if (length < MaxSize)
{
data[length] = Lb.data[i - 1];//只将表b中不同于表a的元素记录下来
length++;
}
else
{
cout << "表满了，不能再合并！" << endl;
return false;
}
}
}
return true;
}
3.合并顺序表a和顺序表b =>表b
答：
算法思路：
如果表b的长度超出容量，则合并错误；否则遍历表a中所有值，如果不属于表b，将其赋值给表b。
表b每增加1个元素，长度加1。
C++实现合并顺序表a和顺序表b =>表b：
bool SqList::UnionList1(SqList &Lb)//合并表a和表b => 表b：同一个类，对象Lb作为函数参数，可以使用成员属性▲▲
{
for (int i = 1; i <=length; i++)
{
if (Lb.LocateElem(data[i - 1]) == 0)//如果表b中没有表a的元素
{
if (Lb.length < MaxSize)
{
Lb.data[Lb.length] = data[i - 1];//只将表a中不同于表b的元素记录下来
Lb.length++;
}
else
{
cout << "表满了，不能再合并！" << endl;
return false;
}
}
}
return true;
}
4.线性表的链式存储结构（单链表）？单链表下的常用操作，创建，查找，插入，删除等操作？
答：
单链表定义：
线性表的链式存储结构：使用一段连续或者不连续的存储单元，来存储线性表中的数据元素。存储每个数据元素时，同时存储下一个数据元素的地址。通过地址的连续性表达线性表中数据元素的连续逻辑结构。
单链表的详细理解：头指针、头结点、头结点的数据域和指针域、第一个结点、最后一个结点、最后一个结点的指针域
头指针和头结点的区别：
几个单链表的逻辑结构图：
结点 = 数据域 （当前数据元素值）+ 指针域 （下一个数据元素的存储地址）
这里的数据元素ai是指结点，不仅仅包含数据元素ai的数据域，还包括下一个结点的指针
前奏：
将单链表数据结构，进行抽象数据类型，即定义一个类，用于接口化单链表。包括单链表数据结构的实现、单链表常见合法操作的实现。
**单链表数据结构的实现，就是类的成员属性。单链表常见合法操作的实现，就是类的成员函数。**▲▲▲▲
1）单链表的创建
1.头插法创建单链表
答：
算法思路：
首先建立带头结点的空链表，输入要创建数据元素的个数。
其次循环：创建新结点，对新结点的数据域进行赋值。
插入新结点，首先将新结点的指针域赋值为头结点的指针域，以便将新结点的指针域指向第一个结点。再将头结点的指针域指向新结点，这样便在头结点后面插入了新结点。
最后，头结点的数据域值增加1。
图示：
C++实现头插法创建单链表：
template
void LinkList::CreatListHead(int n) //头插法创建单链表
{
for (int i = 1; i <= n; i++)
{
cout << "输入第" << i << "个元素：";
Node *p = new Node; //创建当前结点：每存储一个数据，就要创建一个节点（为什么要在堆区创建数据？？？）
cin >> p->data; //手动输入
p->next = head->next; //先将插入结点和第一个结点进行连接（如果先连接头结点和插入结点，会丢失第一个节点的地址）
head->next = p; //再将头结点和插入结点进行连接
head->data++; //单链表长度加1
}
}
2.尾插法创建单链表
答：
算法思路：
首先建立带头结点的空链表，输入要创建数据元素的个数。
然后，生成一个结构体指针end，用于指向当前单链表的表尾结点，如果为空表，则指向头结点。
其次循环：创建新结点，对新结点的数据域进行赋值。插入新结点，先将新结点的指针域指向NULL(end->next)；再将当前表尾结点的指针域指向新结点（end->next = p）；最后，表尾结点就是新结点。
最后，头结点的数据域值增加1。
图示：
C++实现尾插法创建单链表：
template
void LinkList::CreatListEnd(int n)
{
Node *end = head; //结构体指针end，控制插入结点与当前尾结点之间的物理结构关系
for (int i = 1; i <= n; i++)
{
cout << "输入第" << i << "个元素：" << endl;
Node *p = new Node; //如果使用Node *p;导致并没有向内存创建结构体变量，报错p是未初始化得到局部变量
cin >> p->data;
p->next = end->next; //end->next其实是NULL：先将end(链表最后一个节点)的指针域保存下来
end->next = p; // 再将链表end节点的指针域，指向插入的“节点的地址”
end = p; //将插入结点变成end（最后一个节点）：end是结构体指针，和p指向相同的结点
head->data++;
}
}
2）遍历单链表（显示单链表）
答：
算法思路：
首先，生成一个结构体指针ph，指向当前单链表的头结点。先访问头结点的数据域，取出链表长度，再将结构体指针ph赋值为头结点的指针域，从而指向第一个结点。
循环：只要结构体指针ph的值不为NULL，取出当前指针ph指向的数据域，并将当前指针ph指向下一个节点。
（正常说某个指针指向谁，是说，该指针指向的内容，即数据。除非说，该指针的指向，这就是说该指针本身的值，即地址。当说指针指向的内容时，就是说数据）
C++实现遍历单链表：
template
void LinkList::TraverseList() //遍历单链表
{
Node *ph = head; //头指针:先访问头结点
cout << "单链表长度为：" << ph->data << endl;
ph = ph->next; //访问完头结点，指针指向第一个节点
cout << "单链表中的数据元素为：" << endl;
for (;ph != NULL;ph=ph->next)
{
cout << ph->data << " ";
}
cout << "遍历结束" << endl;
}
3）查找单链表的第i个元素
答：
算法思路：由于不知道第i个元素的地址，只知道头结点的地址，因此需要从头开始找
首先，生成一个结构体指针ph，指向当前单链表的头结点。
然后，判断查找索引值i是否超过单链表长度，如果超过，则查找错误。否则，通过循环，将结构体指针ph指向下一个节点，直到获取第i个数据元素的地址（结构体指针ph指向第i个结点）
最后，通过指针获取数据域。
C++实现查找单链表的第i个元素：
template
bool LinkList::GetElem(int i, ElemType &e)//4.查找单链表的第i个元素
{
Node *ph = head;
//借助head->data
if(i < 1 || i > head->data)
{
cout << "索引位置超出单链表长度范围！" << endl;
return false;
}
else
{
for (int j = 1; j <= i; j++)
{
ph = ph->next;
}
cout << "第" << i << "个元素为：" << ph->data << endl;
e = ph->data;
return true;
}
//不借助head->data
//for (int j = 0; j < i; j++)
//{
// ph = ph->next;
// if (ph==NULL)
// {
// cout << "索引位置超出单链表长度范围！" << endl;
// return false;
// }
//}
//cout << "第" << i << "个元素为：" << ph->data << endl;
//e = ph->data; //当i为0时，返回的是头结点数据域，即链表长度
//return true;
}
注：单链表的查找第i个元素的时间复杂度为O(n)
4）单链表的插入操作（在第i个节点位置插入元素e）
答：
要求：插入元素e的结点为s，插入的位置介于结点p和结点p->next之间。
图示：
解决思路：先让结点p->next变成结点s的后继结点，再让结点s变成结点p的后继结点。（就是更改结点s和结点p的指针域）
图示：
注意：本质就是采用头插法，对于表头和表尾处理相同。（此时是不需要额外的结构体指针指向表尾）
C++实现在第i个节点位置插入元素e：（插入位置i不可以是0）
template
bool LinkList::ListInsert(int i, ElemType &e) //5.单链表的插入操作：第i个节点位置插入元素e
{
Node *p = head; //创建一个结构体指针p,指向头结点，以便遍历单链表
for (int j = 1; j < i; j++) //j < i是为了使得p最终指向第i-1个结点，符合理论
{
p = p->next; //p是当前第j个结点的地址（不包括头结点）
if (p==NULL)//如果p为空，说明p是
{
cout << "插入位置i超出单链表范围！" << endl;
return false;
}
}
Node *s = new Node; //创建新结点
s->data = e;
s->next = p->next; //插入新结点
p->next = s;
head->data++;
cout << "在单链表第i个结点位置，插入成功！" << endl;
return true;
}
5）单链表的删除操作(删除第i个元素)：
答：
功能：存储元素ai的结点是p，需要将其删除。
思路：类似于单链表的插入操作，但判断NULL不同，因为表尾下一个位置可以插入元素，但表尾下一个位置不能删除元素。
C++实现删除第i个节点位置的元素，并保存给e：（插入位置i不可以是0）
template
bool LinkList::ListDelete(int i, ElemType &e) //6.单链表的删除操作：删除第i个结点位置的元素
{
Node *p = head;
Node *cur; //由于结点都在堆区开辟，需要手动删除，因此需要中间变量结构体指针，用于暂存待删除结点的地址
for (int j = 1; j < i; j++)
{
p = p->next;
if (p->next==NULL) //如果p->next==NULL，说明p是最后一个节点了。如当链表长度为2，要删除的位置为3是，p-next=NULL在j=2时成立，删除位置超出索引范围
{
cout << "删除位置超出索引范围！" << endl;
return false;
}
}
cur = p->next; //待删除结点的地址
e = cur->data; //删除的元素值
cout << "删除的第i个位置的元素值为：" << e << endl;
p->next = p->next->next; //改变p结点指针域，使其指向下下个结点
head->data--;
delete cur;
return true;
}
6）查找单链表是否有某元素e，并返回索引位置
答：
算法思路：
首先创建一个Node结构体指针p，初始化指向头结点。
循环：先使得p = p->next，当p不为空，判断p指向结点的数据域是否等于元素e，若相等，返回当前结点的索引位置。如果不相等，更改p为下一个节点的地址。
C++实现查找单链表是否有元素e,并返回索引位置i：
template
int LinkList::LocateElem(ElemType &e) //8.查找单链表是否有元素e,并返回索引位置i
{
int i = 0;
Node *p = head;
p = p->next;
while (p!=NULL)
{
i++;
if (e == p->data)
{
return i;
}
p = p->next;
}
cout << "单链表没有元素e！" << endl;
return 0;
}
7）查找单链表中间结点，并返回索引位置以及元素值
答：
功能：给定一个带有头结点 head 的非空单链表，返回链表的中间结点。如果有两个中间结点，则返回第二个中间结点。
算法思路：快慢指针法
当用慢指针 slow 遍历列表时，让另一个指针 fast 的速度是它的两倍。
当 fast 到达列表的末尾时，slow 必然位于中间。
template
int LinkList::FindMiddle(ElemType &e)//查找中间结点，将查找的元素值赋给e，并返回该节点是第几个结点，如果是空表则返回0
{
Node *slow, *fast;
slow = head;
fast = head;
int i = 0;
while (fast != NULL && fast->next !=NULL) //结点个数（不包括头结点）：当判断fast != NULL，但是fast->next =NULL时，单链表的结点个数是偶数个，如0,2,4,6。
{ //当判断fast = NULL时，单链表的结点个数是奇数个，如1,3,5...。
slow = slow->next;
fast = fast->next->next;
i++;
}
if (fast != NULL && fast->next == NULL) //结点个数为偶数个时，中间结点有两个，选择第二个为中间结点
{
slow = slow->next;
i++;
cout << "单链表中间结点的索引位置为：" << i << endl;
e = slow->data;
cout << "单链表中间结点的元素值为：" << e << endl;
return i;
}
else //结点个数为奇数个时，中间结点只有1个
{
cout << "单链表中间结点的索引位置为：" << i << endl;
e = slow->data;
cout << "单链表中间结点的元素值为：" << e << endl;
return i;
}
}
注：时间复杂度为O(n)
8）逆置单链表
答：
功能：让单链表的表尾结点变成首节点，倒数第二个结点变成第二个结点…第二个结点变成倒数第二个，第一个结点变成表尾结点。
算法思路：
遍历单链表，将每个结点进行头插法，重新插入单链表中。
定义两个结构体指针，一个用于遍历所有结点，一个用于暂存待插入结点。
第一步，先用p指针记录待插入结点的地址。
第二步，断开头结点与第一个结点，就是将单链表置空。
第三步，判断p指向的结点是否为空，如果为空，表示后面没有结点要被插入；否则，暂存当前p指向的结点，就是待插入结点。
第四步，p指针后移，指向下一个节点。
第五步，将暂存结点采用头插法插入头结点后面。
C++实现单链表逆置：
template
void LinkList::ReverseList() //9.逆置单链表
{
Node *p = head, *temp;
p = p->next; //p表示第一个结点的地址，从第一个节点开始遍历
head->next = NULL; //断开头结点和剩余结点的连接，然后开始头插法，重新插入结点
while (p != NULL) //当p不为空，说明没有遍历完单链表
{
temp = p; //先将待插入的结点保存下来（从第一个结点开始）
p = p->next; //更改p的值，使p指向下一个待插入结点：先把后继结点记录下来
temp->next = head->next; //头插法： 插入结点
head->next = temp;
}
}
9）清理单链表，置为空表
答：
算法思路：
首先，创建两个Node结构体指针p、q。p初始化指向头结点。
循环：先使得p = p->next，当p不为空，先将p所指向结点的指针域赋值给q，再执行删除p所指向的结点。
最后将q的值赋值给p，如此循环。
结束循环后，将头结点的指针域置空。
C++实现清理单链表，置为空表 ：
template
void LinkList::ClearList() //7.清理单链表，置为空表
{
Node *p = head, *q; //只有new Node才是创建新结点，Node *p只是创建结构体指针，用于指向某个结点
p = p->next;
while (p!= NULL) //表示当前指向的结点，地址不为空
{
q = p->next; //保存待删除结点的下一个节点的地址
delete p; //删除指针p指向的结点
head->data--;
p = q; //新的首节点的地址
}
head->next = NULL; //将头结点的指针域置为NULL
cout << "删除整表成功，已经为空表了！" << endl;
}
总结：单链表一切皆结点，通过结点的地址（指针）来操作结点。创建结点一定会有结点指针，但是创建结点指针不一定会创建新的结点，可能是为了指向已经存在的结点。
5.顺序线性表和单链表优缺点分别是什么？各自适用什么场景？
答：
总结：
顺序线性表，其实就是线性表的数组实现。单链表，其实就是线性表的指针实现。静态链表，就是线性表的游标实现。
顺序线性表优势在于查找方面；单链表的优势在于插入和删除。
另外，如果线性表中的元素变化较大或者不知道有多少元素，用单链表。
6.静态链表的存储结构？静态链表下的常用操作，创建，查找，插入，删除等操作？
答：
静态链表存在意义：对于没有指针或者引用的语言，通过游标来实现单链表功能，显然对于C、C++没什么意义。
静态链表理解：
申请内存时，是一段连续的存储空间，即数组。（数组的下标其实就是地址）
我们定义静态链表的数据结构时，数组的类型是结构体类型，因为数组中的每个元素包括两部分内容，一个是数据，一个是游标。
对于当前的数据元素，它的后继元素可以通过游标指向来找到。
静态链表本质就是把单链表的功能限制在一段连续的存储空间中。
（静态链表是在连续的存储空间内，实现了不连续存储。拥有和单链表一样在插入元素和删除元素的优势，但是不像单链表的内存分配是不受限制，它需要像顺序线性表一样，预先分配一定的内存。）
静态链表定义：
因为有些语言没有指针，所以难以实现普通链表，静态链表就是用来解决这一问题的有力工具，静态链表使用数组来实现链表。
静态链表用游标来代替普通链表的指针域，并且用下标代替普通链表的结点地址。
下面是一个静态链表的示意图
结合上图来分析
（1）静态链表的每个结点包含三个要素：下标、数据、游标。
下标表示当前元素所处的位置，类似于链表的结点地址；
游标存放下一个有效结点的下标，类似于链表的指针域。例如下标为2的元素，存放的数据为B，游标值为3，说明下一个结点就是C。
（2）有效结点：含有数据的结点。
（3）第一个结点和最后一个结点不存放数据。
第一个结点（下标为0）存放备用链表的第一个结点的下标；（未被使用的数组元素称为备用链表）
最后一个结点相当于链表的头结点，该结点的游标存放第一个有效结点的下标，当链表为空的时候，游标为0。其他结点的游标都存放下一个结点的下标。
（4）最后一个有效结点的游标为0，说明下一个结点为空。
静态链表下的常用操作，创建，查找，插入，删除等操作？以及对应的C++实现，参考C++实现静态链表
静态链表的优缺点：
7.循环链表的存储结构？循环链表下的常用操作，创建，查找，插入，删除等操作？
答：
单向循环链表的存储结构：
单向循环链表的两个问题：
8.双向链表的存储结构？双向链表下的常用操作，创建，查找，插入，删除等操作？
答：
双向链表的存在意义：可以反向遍历查找
双向链表的定义：每个结点有两个指针域，一个指向直接前驱，一个指向直接后继。
双向链表的大部分操作与单链表相同：
9.线性表的总结
答：
线性表的分类有：顺序表、单链表、静态链表、单向循环链表（循环链表）、双向链表、双向循环链表。
要求：需要明白各自对应的数据结构特点、优缺点（应用场景）。对于顺序表和单链表，要熟练通过C++实现。
三、栈和队列
栈和队列都属于线性表的一种，只是限制了插入和删除的位置。
第一部分：栈
1.栈的定义？（逻辑结构上的定义，属于底层）
答：
栈是一种先进后出（后进先出）的线性表。
栈（stack）：是仅在表尾进行插入和删除操作的线性表，因此栈中的数据元素满足前驱后继关系，last in first out线性表，LIFO结构。
栈的应用场景：网页后退功能、编辑文档的撤销功能，满足后来先执行操作。
栈顶（top）：允许插入和删除的一端，指线性表的表尾。
栈底（bottom）：不允许插入和删除的一端。
空栈：不包含任何数据元素的栈。
栈的插入操作（push）：进栈、入栈、压栈。
栈的删除操作（pop）：出栈、弹栈。
2.栈的抽象数据类型？（底层的接口化，供上层调用）
答：
由于栈是一种线性表，所以线性表的操作它都具备，但具体操作上不相同，常用包括创建空栈、进栈操作、出栈操作。
3.栈的顺序存储结构？常用操作：创建，插入，删除等操作？
1）创建空栈（包括栈的顺序表数据结构的实现）
答：
思路：
顺序栈使用数组进行实现，数组头为栈底，数组尾为栈顶。包含属性有，栈的存储容量，栈顶指针。
创建空栈时，使得实例化栈对象时，让栈顶指针为-1（在构造函数中实现即可）
//定义顺序栈：抽象数据类型（顺序栈这种数据结构的接口化）
class SqStack
{
public:
SqStack ();
~SqStack ();
private:
ElemType data[MaxSize]; //定义顺序栈的存储结构
int top; //用于栈顶指针（游标作为指针）空栈top=-1，满栈top=MaxSize-1
};
2）进栈操作（插入元素e到栈顶）
答：
思路：
判断是否为满栈，满栈则入栈报错；否则，栈顶指针加1，并将元素插入栈中
C++实现顺序栈的入栈操作：
bool SqStack::push(ElemType &e) //入栈
{
if (top == MaxSize-1) //若满栈，报错
{
return false;
}
else //栈顶指针先+1，再存入元素
{
top++;
data[top] = e;
return true;
}
3）出栈操作（删除栈顶位置的元素）
答：
思路：
判断栈是否为空，若为空，出栈失败；若不为空，删除栈顶元素，用变量e返回删除的元素，栈顶指针减1。
C++实现出栈操作：
bool SqStack::pop(ElemType &e) //出栈
{
if (top == -1) //若栈空，则出栈失败
{
return false;
}
else //若栈不为空，返回删除元素值，栈顶指针减1
{
e = data[top];
top--;
return true;
}
}
总结：
这里说的栈的进栈和出栈操作，其实就是栈的插入和删除操作，但仅仅对当前栈顶位置元素进行的插入和删除。
进栈和入栈的时间复杂度均为O(1)
通过对栈顶指针top的值，可以获取栈中元素个数，是否空栈，满栈等。
4. 两栈共享空间的定义？其顺序表存储结构？常用操作：创建，插入，删除等操作？两栈共享空间的使用场景？
答：
两栈共享空间，即用一个数组存储两个栈。
数组有两个端点，两个栈有两个栈底，让一个栈的栈底为数组的始端，即下标为0；另一个栈的栈底为数组的末端，即下标为n-1。两个栈增加元素时，向数组中间延伸。
使用思路：
栈1的栈顶指针top1，栈2的栈顶指针top2
栈1空：top1=-1
栈2空：top2 = n
栈1空，栈2满：top1=-1, top2=0
栈2空，栈1满：top1=n-1, top2=n
栈满： top1+1=top2，只要满足此式，表示两栈空间满了。
1）创建（包括两栈共享空间的顺序表数据结构的实现）
答：
实例化对象时，通过构造函数创建空栈
// 两栈共享空间：两栈的数据结构的接口化->抽象数据类型
class SqDoubleStack
{
public:
SqDoubleStack();
~SqDoubleStack();
private:
ElemType data[MaxSize]; //两栈共用一个数组
int top1; //栈1栈顶指针
int top2; //栈2栈顶指针
};
//构造函数：两栈为空
SqDoubleStack::SqDoubleStack()
{
top1 = -1;
top2 = MaxSize;
}
2）进栈操作（插入元素e到栈顶）
答：
算法思路：
首先，判断栈是否满，满则不允许插入。不满，判断元素e插入的栈号，再进行元素插入。
C++实现两栈插入操作：
bool SqDoubleStack::push(int StackNumber, ElemType &e)
{
if (top1+1 == top2)
{
return false; // 栈满
}
else
{
if (StackNumber==1) //将元素e插入到栈1
{
top1++;
data[top1] = e;
return true;
}
else if (StackNumber==2) //将元素插入到栈2
{
top2--;
data[top2] = e;
return true;
}
else
{
cout << "栈号输入错误！" << endl;
return false;
}
}
}
3）出栈操作（删除栈顶位置的元素）
答：
算法思路：
首先，根据出栈栈号，判断该栈是否空，空则不允许出栈。不空，则用元素e接收栈顶元素，再将栈顶指针减1
bool SqDoubleStack::pop(int StackNumber, ElemType &e) //出栈操作：元素e接收栈号StackNumber的栈顶元素
{
if (StackNumber==1) //栈1出栈
{
if (top1==-1)
{
cout << "栈1空，无法出栈" << endl;
return false;
}
else
{
e = data[top1];
top1--;
return true;
}
}
else if (StackNumber==2) //栈2出栈
{
if (top2==MaxSize)
{
cout << "栈2空，无法出栈！" << endl;
return false;
}
else
{
e = data[top2];
top2--;
return true;
}
}
else
{
cout << "栈号输入错误！！！" << endl;
return false;
}
}
4）两栈共享空间的使用场景？
答：
事实上,使用两栈共享空间这样的数据结构，通常都是当两个栈的空间需求有相反关系时，也就是一个栈增长时另一个栈在缩短的情况。就像买卖股票一样，你买入时，一定是有一个你不知道的人在做卖出操作。这样使用两栈共享空间存储方法才有比较大的意义。否则两个栈都在不停地增长，那很快就会因栈满而溢出了。
当然，这只是针对两个具有相同数据类型的栈的一个设计上的技巧，如果是不相同数据类型的栈，这种办法不但不能更好地处理问题，反而会使问题变得更复杂，必须要注意这个前提。
5.栈的链式存储结构？常用操作，创建，查找，插入，删除等操作？
答：
链栈：栈顶放在单链表的头部，不需要头结点。对于链栈而言，头指针合并到栈顶指针作用中。
C++实现链栈的数据结构（底层）以及定义一些合法操作：
typedef int ElemType;
class LinkStack //链栈不需要考虑空间
{
public:
struct StackNode //定义新的数据类型：结点作为一个整体，即存储当前数据，也要存储下一个节点的地址，所以用新的数据类型进行封装
{
ElemType data;
StackNode *next;
};
LinkStack();
~LinkStack();
void push(ElemType &e); //1.入栈操作
bool pop(ElemType &e); //2.出栈操作
private:
StackNode *top;
int count; //对于链栈，无法通过栈顶指针获取当前栈数据元素的数量，因此额外添加一个变量count，用于计数
};
1）创建空链栈
答：在实例化对象时，在构造函数中实现
LinkStack::LinkStack() //构造函数：实例化对象，调用构造函数时，创建一个空链栈
{
top = NULL; //top=NULL表示链栈为空（▲在单链表中，头指针为头结点的地址，因此top(head)不为空，因为其指向头结点。而在链栈 中，不存在头结点）
}
2）入栈
答：
算法思路：
不需要判断链栈的空间是否满这个问题。因此创建一个新结点后，将数据存放在这个结点即可，并改变栈顶指针的指向
C++实现入栈：
void LinkStack::push(ElemType &e) //1.入栈操作
{
StackNode *p = new StackNode; //向链栈中插入元素时，需要创建一个新的结点,并返回该节点的地址
p->data = e;//新的栈顶元素
p->next = top;//新栈顶的指针域，指向旧栈顶
top = p; //新的栈顶，为插入结点的地址
}
3）出栈
答：
算法思路：
先判断栈是否空top=NULL，若不空，先改变栈顶指针指向，再删除栈顶结点。
C++实现出栈操作：
bool LinkStack::pop(ElemType &e) //2.出栈操作
{
if (top==NULL)
{
return false;
}
else
{
StackNode *p = top->next; //预存当前栈顶下一个结点的地址（指针）
e = top->data; //获取待删除的数据
cout << e << endl;
delete top; // 释放栈顶空间：手动释放栈顶结点
top = p; //新栈顶
return true;
}
}
4）释放链栈空间
答：
算法思路：
由于链栈中数据元素存放在堆区，需要手动删除
LinkStack::~LinkStack() //手动释放链栈所有结点空间
{
StackNode *p; //预存栈顶下一个节点的地址
while (top!=NULL)
{
p = top->next;
delete top;
top = p;
}
}
6.栈的作用和应用
1）栈的作用
答：
对于栈这种数据结构，如果我们不进行封装，而是每次使用时，都用数组进行实现，那么每次都需要考虑数组下标增减等问题，而忽略了我们使用栈的本意。这对所有数据结构都是类似的道理。
2）栈的应用—递归
1.什么是递归？
答：
斐波那契数列：前面两项之和，等于后一项
（递归的其中一个经典例子）
实现上述功能，可以有两者方法，分别是迭代和递归。
迭代：
递归：
2.递归函数
答：
定义：
注意：递归函数一定要确保不会陷入无限递归中，即当满足一定条件时，不再调用自己，而是返回值退出。
3.递归和迭代的区别
答：
4）栈在递归中的使用
答：
3）栈的应用—四则运算表达式
答：
计算机在对数学表达式进行四则运算时，主要使用后缀表达式。
第一步，先将我们常表示的数学运算式子（中缀表达式：数字在符号两边），转化为后缀表达式（符号在数字后面，并且消除括号）。
第二步，对后缀表达式进行运算。
以上两步，均用栈进行实现。
第二部分：队列
1.队列的定义？（逻辑结构上的定义，属于底层）
答：
队列是一种先进先出的线性表，first in first out，简称FIFO。
队尾：只允许插入
队头：只允许删除
2.队列的抽象数据类型？（数据结构的接口化，供上层调用）
答：
3.队列的顺序存储结构？常用操作：创建，插入，删除等操作？
答：
队列的顺序存储结构，其实使用数组来实现队列这种数据结构。正常情况下，会存在两个问题：
1）如果我们规定队头始终是数组下标为0的位置，那么在进行删除操作时，每删除队头元素，后面所有元素都要向前面移动一位，因此时间复杂度为O(n)，所以我们规定队头不一定是数组下标为0的位置。
2）如果我们不规定队头不一定是下标为0的位置，那么当数组前面位置空闲时，我们再次插入元素，此时数组后面已经没有空闲位置了，因此产生假溢出现象。所以，我们将队列的头尾相连接，产生循环队列。
front：指向队头元素位置（游标实现的指针）
rear：若队列不空，指向队尾元素下一个位置（游标实现的指针）
当队列满时，数组中还有一个空闲单元
使用：
1）判断队列空：front == rear
2）判断队列满：（rear+1)%QueueSize = front %是取模或者取余数的意思，Queue是队列所占存储空间
3）求队列长度公式：（rear-front+QueueSize)%QueueSize
4）队尾每插入一个元素时，尾指针rear变动为：rear =（rear+1）%QueueSize，而不是简单的rear=rear+1
4）队头每删除一个元素时，头指针front变动为：front =（front+1）%QueueSize，而不是简单的front=front+1
顺序队列的抽象数据类型（顺序队列的数据结构的接口化）
class SqQueue
{
public:
SqQueue();
~SqQueue();
private:
ElemType data[MaxSize]; //队列存储空间，数组
int front; //头指针：指向队头
int rear; //尾指针：若队列不空，指向队尾下一个位置。若队列空，和front指向同一位置
};
1）创建空队列（初始化顺序队列）
答：
可以在构造函数中，实现创建空队列
SqQueue::SqQueue()
{
front = 0;
rear = 0;
}
2）求队列当前长度
答：
求队列的长度，使用公式（rear-front+QueueSize)%QueueSize
C++实现求队列当前长度：
int SqQueue::QueueLength() //求队列长度
{
return (rear - front + MaxSize) % MaxSize;
}
3）入队列操作
答：
算法思路：
若队列不满，将数据元素e插入队尾；否则，不允许插入。
C++实现入队列：
bool SqQueue::EnQueue(ElemType &e)//enter Queue入队列操作
{
if ((rear+1)%MaxSize == front) //先判断队列是否满
{
return false;
}
else
{
data[rear] = e;
rear = (rear + 1) % MaxSize; //尾指针后移一位：若rear到数组最后，可以通过取余转到数组头部
return true;
}
}
4）出队列操作
答：
算法思路：
若队列不空，删除队头元素，用e返回其值；若队列空，不允许删除。
C++实现出队列操作：
bool SqQueue::DeQueue(ElemType &e) //出队列操作
{
if (front == rear)
{
return false;
}
else
{
e = data[front];
front = (front + 1) % MaxSize;//头指针后移一位：若front到数组最后，可以通过取余转到数组头部
return true;
}
}
总结：
如果不用上面的循环队列实现队列，而是使用简单的顺序表实现队列，删除操作的时间复杂度为O（n），而采用了循环队列后，插入和删除的时间复杂度均为O（1）。
当然，由于循环队列限制了存储空间，所以我们有必要研究不用担心队列长度的链式存储结构。
4.队列的链式存储结构？常用操作，创建，查找，插入，删除等操作？
答：
队列的链式存储结构，就是线性表的单链表，但只能尾进头出，称为链队列。
队头指针，指向链队列的头结点。队尾指针，指向终端结点。（这里和顺序队列是不一样的）
空队列时，front和rear都指向头结点。
注意：
链队列有头结点，而链栈没有头结点，因此在初始化空链栈和空链队列时，是不同的。
一个需要生成头结点，一个不需要生成头结点。生成新结点是需要申请内存空间的。
链队列的抽象数据类型（链队列的数据结构的接口化）
class LinkQueue
{
public:
struct QNode //定义链队列结点的数据类型
{
ElemType data; //结点的数据域
QNode *next; //结点的指针域
};
LinkQueue();
~LinkQueue();
private:
QNode *front; //队头指针
QNode *rear; //队尾指针
};
1）创建空队列（链队列的初始化）
答：
思路：创建头结点，并使得队头指针和队尾指针指向头结点。
C++实现链队列的初始化：
void LinkQueue::InitQueue() //初始化链队列
{
QNode *head = new QNode; //在堆区创建头结点,head指针指向该结点
head->data = 0; //头结点的数据域：计数，结点个数
head->next = NULL;
front = head;
rear = head;
}
2）入队列操作
答：
入队列操作，其实就是在链队列的尾部插入结点。由于是链式存储结构，不用考虑溢出问题。
算法思路：创建新节点，更改队尾指针指向，队头指针不用变动。
C++实现入队列操作：
void LinkQueue::EnQueue(ElemType &e) //入队列操作：每次插入一个结点
{
QNode *p = new QNode; //创建新结点
p->next = NULL; //终端结点的指针域为空
p->data = e; //数据存放在结点的数据域
rear->next = p; //插入该结点
rear = p; //更改队尾指针，指向该结点
}
3）出队列操作
答：
出队列操作时，就是将头结点的后继结点删除。
算法思路：
首先，判断链队列是否为空，当front=rear时，链队列为空，出队列失败，返回false。
其次当链队列不为空，且只有最后一个结点时，删除结点后，需要将队尾指针指向头结点，即rear = front。
最后，当链队列不为空，且不只有一个结点时，先创建结点指针p，暂存待删除结点的地址；然后更改队头指针，指向待删除结点的后继结点；最后，删除结点。队尾指针不用变动。
C++实现链队列的出队操作：
bool LinkQueue::DeQueue(ElemType &e) //出队列操作
{
if (front==rear) //首先，判断链队列是否为空，若为空，返回false
{
return false;
}
else if (front->next == rear) //其次，判断链队列是否只有一个结点(需要变动队尾指针rear)
{
e = rear->data; //front->next->data
delete rear; //删除最后一个结点 delete front->next
rear = front; //队头指针和队尾指针相同
front->next = NULL;
return true;
}
else//最后，若链队列不只有一个结点(不需要变动队尾指针rear)
{
QNode *p; //先创建一个结点指针p，暂存待删除结点的地址
p = front->next;
e = p->data;
front->next = p->next; //然后，更改头结点的后继结点
delete p; //最后，删除结点
return true;
}
}
4）队列的判空
答：
思路：当队头指针front和队尾指针rear相等时，链队列为空。
C++实现链队列的判空：
bool LinkQueue::IsEmpty() //链队列判空
{
if (front==rear)
{
return true;
}
else
{
return false;
}
}
5）显示队列
答：
算法思路：
首先，判断链队列是否为空，若为空，打印提示队列空语句。
若不为空，定义一个结点指针p，用于遍历所有结点。
C++实现链队列的显示：
void LinkQueue::DispQueue() //显示队列
{
if (front == rear)
{
cout << "链队列是空的！" << endl;
}
else
{
QNode *p;
p = front->next;
while (p != NULL)
{
cout << p->data << endl; //打印当前结点数据域存储的数值
p = p->next; //地址后移
}
cout << "链队列显示完成！" << endl;
}
}
6）查询队列是否有数据元素e，有便返回第一个e的位置
答：
算法思路：
首先，判断链队列是否为空，若为空，打印提示队列空语句。
若不为空，定义一个结点指针p，用于遍历所有结点，若某个结点数据域的值等于查询元素e，返回其位置。
C++实现查询队列是否有数据元素e：
int LinkQueue::LocateElem(ElemType &e) //查询队列是否有数据元素e，有便返回第一个e的位置
{
if (front == rear)
{
cout << "链队列是空的！" << endl;
return 0;
}
else
{
QNode *p;
p = front->next;
int i = 1;
while (p != NULL)
{
if (p->data == e)
{
cout << "链队列有数据元素e，位置为：" << i << endl;
return i;
}
i++;
}
cout << "链队列没有数据元素e!" << endl;
return 0;
}
}
7）计算队列长度
答：
算法思路：
若队列不为空，创建临时结点指针，遍历所有结点，统计结点个数。
C++实现链队列长度计算：
int LinkQueue::GetLength() //获取队列长度
{
if (front == rear)
{
cout << "链队列是空的！" << endl;
return 0;
}
else
{
QNode *p;
p = front->next;
int i = 1;
while (p->next != NULL)
{
i++;
p = p->next;
}
return i;
}
}
8）销毁队列
答：
析构函数：消除链队列的所有结点
思路：
首先，判断链队列是否为空；若不为空，分两次删除，先删除最后一个结点以外的结点，再删除最后一个结点。
LinkQueue::~LinkQueue()
{
if (front == rear) //首先，判断链队列是否为空，若为空，返回false
{
cout << "链队列为空，不用删除！" << endl;
}
else
{
while (front->next != rear) //当链队列不只有1个结点时
{
QNode *p; //先创建一个结点指针p，暂存待删除结点的地址
p = front->next;
front->next = p->next; //然后，更改头结点的后继结点
delete p; //最后，删除结点
}
//删除最后一个结点
delete rear; //删除最后一个结点 delete front->next
rear = front; //队头指针和队尾指针相同
front->next = NULL;
cout << "结点删除完成！" << endl;
}
}
循环队列和链队列的区别和使用场景：
四、串（string）
答：
C++中的string，本质是一个类，本章介绍串的底层封装，是如何形成我们常用的string类。
因此串是一种数据结构，地位等同于顺序表、单链表、顺序栈、链栈、循环队列、链队列等。
小知识点： C语言中的char，char*。C++中的char，char*，string；
解答：
https://www.jianshu.com/p/4db7a5eedc42
C语言中没有字符串这种数据类型，但有两种方法可以表示字符串。
一种是用字符数组，char a[] = “linux”;
一种是字符指针，char *p = “linux”.
char *p=“liunx”; p本身是一个字符指针，占4个字节；“linux”分配在代码段，占6个字节。实际上总共耗费了10个字节。这10个字节，4字节的指针p叫做字符串的指针用来指向字符串（理解为字符串的引子，本身不是字符串）；5字节字符内存，才是真正的字符串；最后一个用来存‘\0’的内存是字符串结尾标示（本质也不属于字符串）。
C++实现字符串有两种方法，一种使用C语言中的字符数组，一种是使用string类。
string是一个类，类内部封装了char*，使用字符指针管理这个字符串，是一个char*型的容器。
1.串的定义？（逻辑结构上的定义，属于底层）
答：
串，又叫字符串，string，是有零个或多个字符组成的有限序列。串是一种数据结构。
2.串的抽象数据类型？（数据结构的接口化，供上层调用）
答：串这个数据结构，关注子串的插入，删除、替换、查找等功能，不太关注串中的单个字符。
3.串的顺序存储结构（用数组实现串）
答：
串的顺序存储结构，使用一组地址连续的存储单元，来存储串中的字符序列的。根据预定义的串最大长度MaxSize，每次定义一个串变量（串对象）时，为其分配一个固定的连续的存储单元区域。（这里用定长数组实现）
注：可以使用字符串指针的方式，动态分配字符串的存储空间。char *str = “linux”，str是字符串"linux"的首地址，linux也是顺序存储的，可以通过指针进行访问字符串中的每个数据元素。
顺序串的抽象数据类型：
class SqString //顺序串：串的顺序存储结构，用数组进行实现
{
public:
SqString();
~SqString();
void Assign(char *s); //初始化，为顺序串赋值
void Show(); //显示字符串：依次输出字符数组每个元素
private:
//两个内置的变量：一个存储字符串的数组 、一个显示数组长度的变量
char str[MaxSize]; //字符数组，用于储存各种ASCII编码的各种字符，如字母、数字、标点符号等
int length; //长度：表示当前数组长度
};
1）顺序串的初始化
答：
串的初始化，就是为串赋值。
C++实现顺序串的初始化：
void SqString::Assign(char *s) //初始化，为顺序串赋值
{
for (int i = 0; s[i] != '\0'; i++) //这里注意：要找到传入的字符串数组中的最后一个元素
{
str[i] = s[i];
length++; //数组长度加1
}
}
2）显示顺序串
答：依次打印字符数组中的每个数据元素
C++实现显示顺序串：
void SqString::Show() //显示字符串：依次输出字符数组每个元素
{
for (int i = 0; i < length; i++)
{
cout << str[i] << " ";
}
cout << endl;
//cout << str << endl; //str最后一个元素不是\0
}
3）获取字符串的长度
答：
string类中的成员属性length，便记录当前字符串的长度。
C++实现获取字符串的长度：
int SqString::GetLength() //获取字符串当前的长度
{
return length;
}
4）删除子串，返回剩余串
从数组中第i个元素开始，删除长度为j的子串（i为子串的首元素），返回剩下的字符串
（其实就是删除字符串中的“第i~第i+j-1"字符,并返回剩余字符串。i的范围为[1,length],j的范围是[1,length-i+1]）
第i个元素 = str[i-1]
length = 20 ，字符数组的下标范围为1~19
答：
算法思路：
首先，判断位置i以及长度j，是否满足删除要求。
其次，定义一个字符串对象，用于存储第i位置之前的元素，以及第i+j-1之后的元素。
C++实现截取字符串功能：
SqString SqString::DeleteStr(int i, int j) //删除"第i~第i+j-1"的字符串，返回剩余字符串
{
SqString temp; //用于存储剩余的字符串
if (i > 0 && i<= length && j > 0 && i+j-1 <= length) //i的范围为[1,length],j的范围是[1,length-i+1]
{
int k;
for (k=0; k < i-1; k++) //保留第i元素之前的字符
{
temp.str[k] = str[k];
}
for (k; k + j < length; k++) //保留第i+j-1之后的字符串
{
temp.str[k] = str[k+j]; //忽略k~k+j中的这j个元素
}
temp.length = length - j;
return temp;
}
else
{
cout << "输入不合法" << endl;
return temp;//返回空串
}
}
5）字符串复制
将一个字符串中的所有元素拷贝到另一个字符串数组中
答：
void SqString::StrCopy(SqString &s) //拷贝字符串s，到当前字符串对象中
{
for (int i = 0; i < s.length; i++)
{
str[i] = s.str[i];
}
length = s.length;
}
6）判断两个字符串是否相等
答：
算法思路：
首先，判断两个字符串的长度是否相等，若不相等，返回false。
其次，判断两个字符串的每个数据元素是否相等，有任何一个不相等，返回false。否则，返回true。
C++实现判断两个字符串是否相等：
bool SqString::IsSame(SqString &s) //比较当前字符串和s字符串是否相等
{
if (length != s.length) // 先判断两个字符串的长度 （为什么可以使用s的私有属性）
{
return false;
}
else
{
for (int i = 0; i < length; i++) //再依次判断字符串的每个字符
{
if (str[i] != s.str[i])
{
return false;
}
return true;
}
}
}
7）连接两个字符串
答：
算法思路：
首先，判断两个字符串的长度之和是否超过字符串预定义的最大长度，若超过，提示连接失败。
其次，实例化一个新的空字符串，将这两个字符串依次存储到这个空字符串中，返回新字符串。
C++实现连接两个字符串：
SqString SqString::Concat(SqString &s) //连接两个字符串
{
SqString temp;
if (length + s.length > MaxSize)
{
cout << "超过最大长度！" << endl;
return temp;
}
else
{
int i = 0;
for ( ; i < length; i++)
{
temp.str[i] = str[i];
}
for (int j = 0; j < s.length; j++)
{
temp.str[i + j] = s.str[j];
}
temp.length = length + s.length;
return temp;
}
}
8）获取子串
（获取数组中第i个元素开始，长度为j的子串）
答：
第i个元素，指的是第i个位置，从1开始，即对应字符数组下标[i-1]
算法思路：
首先，判断子串首末位置是否在当前串中。（i<0 || i>length; j<0 || i+j-1>length 四个条件中任何一个满足，获取子串失败，返回空串）
其次，将该子串存储到新的字符串对象中，并返回。
C++实现获取子串：
SqString SqString::GetSub(int i,int j) //获取字符串s中的子串
{
SqString temp;
if (i<0 || i>length || j<0 || i+j-1 > length)
{
cout << "子串不在要求位置！" << endl;
}
else
{
for (int k=0; k < j; k++)
{
temp.str[k] = str[k + i - 1];
temp.length++; //长度要记得累加
}
}
return temp;
}
9）插入字符串
（在字符串第i个位置，插入一个新的字符串，返回插入后的字符串）
答：
算法思路：
首先，判断待插入字符串长度和当前串长度之和，是否超过最大串长度。若超过，提示插入失败，返回空串。
否则，在新的字符串对象中，存储当前字符串和待插入串，并返回新串。
C++实现插入字符串：
SqString SqString::InsertStr(int i, SqString &s)//字符串插入：将字符串s插入到当前串中
{
SqString temp;
if (length + s.length > MaxSize)
{
cout << "超过串最大长度！" << endl;
}
else
{
for (int k = 0; k < length + s.length; k++)
{
if (k < i) //0~i-1 （在第i个元素位置之后插入，说明前面有i个元素）
{
temp.str[k] = str[k];
}
else if (k < i+s.length) //插入字符串s
{
temp.str[k] = s.str[k - i];
}
else
{
temp.str[k] = str[k - s.length]; //插入剩余字符串
}
temp.length++;
}
}
return temp;
}
10）替换子串
（将数组中的第i个元素开始，长度为j的子串，替换成指定字符串t）
答：
算法思路：
首先，判断子串首末位置是否在当前串中（i<0 || i>length; j<0 || i+j-1>length ），以及插入字符t后是否超过串最大长度（t.length + length - j > MaxSize），有一个条件满足，替换失败
其次，将当前串的指定位置替换为字符串t，并返回新串。
C++实现替换子串：
SqString SqString::ReplaceStr(int i, int j, SqString &t) //替换子串:将数组中的第i个元素开始，长度为j的子串，替换成指定字符串t
{
SqString temp;
if (i<0 || i>length || j<0 || i + j - 1 > length || length-j+t.length > MaxSize)
{
cout << "替换失败！" << endl;
}
else
{
for (int k = 0; k < length-j+t.length; k++)
{
if (k < i)
{
temp.str[k] = str[k];
}
else if(k < i+t.length)
{
temp.str[k] = t.str[k - i];
}
else
{
temp.str[k] = str[k - t.length + j];
}
temp.length++;
}
}
return temp;
}
11）索引子串位置
答：
在主串s第pos个位置之后，若主串s中存在某个子串等于串值T，返回其在pos位置之后，第一次出现的索引值，即串T首字符在主串中的索引位置。（索引从1开始）
详细见“串的模式匹配”问题。
朴素方法算法思路：
首先，判断pos位置是否符合主串T的范围，以及pos位置之后，主串的剩余长度是否大于子串T的长度。
其次，以pos位置后第一个元素开始，与子串T进行匹配，只要一个字符不相等，开始下一次匹配。
（对主串pos后面的每个字符作为大循环，以每个字符往后T长度作为小循环，直到匹配成功或遍历结束。）
C++实现顺序串的朴素方法解决子串索引问题：
int SqString::IndexSub(int pos, SqString &s) //搜索主串中pos位置之后，与串s相等的子串位置。
{
if (pos<0 || pos >length || pos+s.length > length) //pos = 1~length
{
cout << "超过索引范围！" << endl;
return 0;
}
for (int i = pos; i < length - s.length; i++) //大循环
{
for (int j = 0; j < s.length; j++) //小循环
{
if (str[i + j] != s.str[j])
{
break;//匹配过程中，只要有1个字符不相等，就开始下一次匹配（跳出小循环，大循环继续）
}
if (j == s.length - 1) //当j的值等于s.length-1，说明每个字符都相等，匹配成功
{
cout << "匹配成功！" << endl;
return i + 1; //返回索引位置
}
}
}
return 0; //大循环结束后，仍然没有搜索到
}
12）字符串比较大小
答：
算法思路：
首先，比较两个字符串长度，谁长谁大。当前串大，返回1，串s大，返回-1。
其次，依次比较每个字符的ASCII码，当前串大，返回1；串s大，返回-1；两串相等，返回0。
C++实现字符串比较：
int SqString::StrCompare(SqString &s) //比较字符串大小
{
if (length > s.length)
{
return 1;
}
else if (length < s.length)
{
return -1;
}
else
{
for (int i = 0; i < length; i++)
{
if (int(str[i]) > int(s.str[i]))
{
return 1;
}
else if(int(str[i]) < int(s.str[i]))
{
return -1;
}
}
return 0;
}
}
总结：关于子串的操作，如 4, 8，9, 10，11思路类似，其实11是重中之重。
4.串的链式存储结构（用指针实现串）
答：
串的链式存储结构，每个结点的数据域是字符，一个结点可以存放一个字符，也可以存放多个字符。
最后一个结点如果没有占满，可以用“#”补全。
串的链式存储结构，其实指的就是封装好的字符串类型string。
串的顺序存储结构，其实是我们常见的字符数组char[]
5.串的模式匹配（字符串查找）：解决子串的定位问题
1）朴素方法
答：
时间复杂度高，算法低效。
主串S，子串T，找到子串在主串中的位置。
2）KMP方法
答：推导过程见大话数据结构。
算法原理：
主串S，子串T两者在匹配时，主串的索引位置i不会回溯，即不会减小。
而子串的索引位置j，当发生不匹配时，根据当前子串的索引位置，由next数组确定下一次开始的地方。
问题的关键是确定子串中，是否有与首字符重复的字符，并确定其位置。
实现过程：
1.先求出模式串（子串）的next数组
2.在主串和模式串进行匹配时，根据next数组进行回溯。
五、树
1.树的定义
答：
结点分类：
结点间关系：
总结：
根据树的定义，可见对于树这种结构，使用顺序存储和链式存储这种一对一线性存储方式，很难实现树的一对多结构。
为此，提出三种新的存储结构：双亲表示法、孩子表示法、孩子兄弟表示法
2.树的抽象数据类型
答：主要介绍树这种数据结构，其底层的存储结构是什么，以及常用的操作有哪些。
3.树的存储结构（底层的存储结构）
答：主要介绍思路（结合顺序存储结构和链式存储结构方法）
1）双亲表示法
答：
思路：每个结点都有唯一的双亲，因此在记录结点时，可以同时记录该结点双亲的位置。
（定义新的数据类型，结点数据类型，由数据域和指针域组成，指针域是当前结点的双亲位置，用数组下标表示。
这里用一组连续地址空间存储结点，因此记录双亲位置的指针域，用数组下标记录。本质上是顺序存储方式）
结构图、底层结构代码表示、改进方法、优缺点（见书本）。
2）孩子表示法
答：
思路：记录结点中数据域的同时，记录该结点的每个孩子的位置，即有多个指针域。
（顺序存储+链式存储）
结构图、底层结构代码表示、改进方法、优缺点（见书本）。
3）孩子兄弟表示法
答：
思路：记录结点中数据域的同时，记录结点的第一个孩子和右兄弟这两个位置，即包含两个指针域。
（将复杂树变成二叉树，充分利用二叉树的特性和算法）
（链式存储）
结构图、底层结构代码表示、改进方法、优缺点（见书本）。
4.二叉树的定义
答：
特殊二叉树：
1）斜树：每一层都只有1个结点
2）满二叉树：所有分支结点都存在左子树和右子树，并且所有叶子都在同一层上。
3）完全二叉树：对于某个二叉树，其结点编号和满二叉树结点编号相同，它就是完全二叉树
5.二叉树的性质
答：理解并记忆
n0 = n2 + 1 (利用分支连接线总数和结点数的关系进行推到)
（利用完全二叉树的结点数目，少于同样深度数k的满二叉树，但大于同样深度数k-1的满二叉树）
看图理解性质5：
6.二叉树的存储结构
1）顺序存储
答：
由于完全二叉树的结点编号是连续的，因此可以用数组进行存储。
对于非完全二叉树，不连续结点占领存储空间，但不存储实际数据。
2）链式存储(重点)
答：
对于二叉树每个结点，最多只有两个孩子，因此每个结点设计一个数据域和两个指针域，两个指针域分别指向左孩子和右孩子地址，此种存储方式叫二叉链表。如果在指针域，再增加一个指向双亲位置的指针，就叫三叉链表了。
7.二叉树的遍历
主要讲解原理
1）什么是二叉树的遍历
答：
访问就是对所有结点的一种操作，比如打印所有结点存储的数据信息。
次序就是，树结构不同于线性结构，其不止一种前驱后继的关系，因此不同的次序，使得访问结点的顺序不一样。
还有一个重要信息，就是无论采用什么遍历方式，都是从根节点开始找各个节点。即便对于后序，也是通过根节点找到其他结点，先处理其他结点，最后再处理根节点。对于二叉树的建立，同样如此，无论采用前中后哪种次序建立二叉树，都要从根节点出发，来找到其他结点。
之所以可以使用这种方式，是因为采用递归的方式进行了解决。
以前序为例：一开始传入的是根节点，我们先处理根节点，然后处理左孩子结点，最后处理右孩子结点。在处理左孩子结点时，遵从和处理根节点相同的道理，先处理当前结点，再处理其左孩子结点，最后处理右孩子结点。当处理的某个结点的地址为NULL时，表示不需要再处理他的左孩子右孩子了。
对于根节点来说，其实就是一个函数，先处理自己，再处理他的左孩子结点，再处理右孩子结点。只不过在处理两个孩子结点时，使用了同样的函数，即递归。
以中序为例：一开始传入的是根节点，我们先处理左孩子结点，然后处理根节点，最后处理右孩子结点。只不过在处理左孩子结点时，再次使用当前定义的函数，先处理左，再中，最后右，如此嵌套。
2）二叉树的遍历方法
1.前序遍历
答：
首先，访问根节点开始；
其次，遍历根节点的左子树（从上到下，所有结点的左优先，再访问右结点，然后回溯）。
最后，遍历根节点的右子树
2.中序遍历
答：
首先，从根节点的左子树开始（从最左边叶子结点开始，从下往上，然后访问右结点）
其次，访问根节点
最后，遍历根节点的右子树
3.后序遍历
答：
首先，从根节点的左子树开始（从最左边叶子结点开始，然后访问右结点，从下往上）
其次，遍历根节点的右子树
最后，访问根节点
4.层序遍历
答：
首先，从根节点开始。
其次，从上往下，逐层访问（每一层按从左到右顺序）
总结：不同遍历方法的意义？
答：
二叉树的遍历，将树结构中的结点变成线性序列，方便程序处理
3）遍历算法实现
答：
由于二叉树的定义，使用递归的方式，因此要完成对二叉树的遍历，使用递归函数实现。过程见书本
前序
中序
后序
总结：根据两种遍历顺序，确定二叉树结构，从而得到另外一种遍历顺序（推导见书本）
前序+中序 => 后序
后序+中序 => 前序
前序+后序 ！=> 不能确定二叉树结构，从而得不到中序
8.二叉树的建立
答：
使用二叉链表这种数据结构实现二叉树的建立，对于使用前序，中序，后序，创建二叉树的的代码略有区别。
（二叉链表：一个数据域，两个指针域）
思路：
首先将二叉树扩展为均有左右孩子，对于二叉树中每个结点的空指针，引出一个虚结点，其存储的值为“#”。对于这种扩展二叉树，一个遍历顺序就可以确定一棵树的结构。
建立二叉树，也使用了递归原理，只是将原来打印结点的地方，改成创建结点并赋值的操作。
9.二叉树的链式存储结构？创建，查找，插入，删除等操作？
1）二叉链表的抽象数据类型（数据结构的接口化，供上层调用）
答：
typedef char ElemType;
class LinkBiTree
{
public:
struct BiTreeNode //定义新的数据类型：二叉链表的结点
{
ElemType data; //当前结点的数据域
BiTreeNode *lchild, *rchild; //当前结点的指针域：指向左孩子和右孩子
};
LinkBiTree();
~LinkBiTree();
void Init_PreCreateBiTree(); //前序创建二叉树接口模块：调用私有成员函数，前序建立二叉树函数(由于二叉树建立使用了类的私有成员属性，因此这里在类内定义接口，调用私有成员函数创建二叉树)
void De_PreReleaseBiTree(); //销毁前序创建的二叉树的接口模块：调用私有成员函数，销毁前序创建的二叉树，该函数为接口，功能实现见 PreReleaseBiTree(BiTreeNode *bt)
void Port_PreOrder(); //前序遍历接口模块
void Port_InOrder();//中序遍历接口模块
void Port_PostOrder();//后序遍历接口模块
private: //二叉树在私有权限，和前面提到的数据结构有很大不同，主要原因是用到了递归这种函数
BiTreeNode *root; //头指针，指向根节点
BiTreeNode * PreCreateBiTree(BiTreeNode *bt); //使用前序建立二叉树：输入二叉树的前序序列，创建结点用于存储(返回值是创建结点的地址)
void PreReleaseBiTree(BiTreeNode *bt); //销毁前序创建的二叉树
void PreOrder(BiTreeNode *bt);//前序遍历二叉树
void InOrder(BiTreeNode *bt);//中序遍历二叉树
void PostOrder(BiTreeNode *bt);//后序遍历二叉树
};
2）二叉树的建立
答：在创建二叉链表时，根据采用前序、中序、后序创建二叉树的不同，二叉树结构对应的序列也需要按照相同方式输入。
如采用前序创建二叉树时，键盘输入的序列是二叉树的前序遍历才行。
1.前序创建二叉树
答：
前提：按照二叉树的前序遍历形成的字符序列输入
算法思路：
1，判断当前输入的字符是否为#，是则表示当前结点为虚结点，结点地址（指针）为NULL，不用创建结点空间；
2，若不是，则创建结点空间，存下数据。
3，使用1和2创建其左孩子，再创建右孩子。如此嵌套。
4，最后返回该结点的指针。
C++实现前序创建二叉树：功能实现放在类的私有权限，接口实现放在公共权限，以便调用。
LinkBiTree::BiTreeNode * LinkBiTree::PreCreateBiTree(BiTreeNode *bt) //使用前序建立二叉树：输入二叉树的前序序列，创建结点用于存储
{
ElemType elem; //输入的字符
cin >> elem;
if (elem == '#') //如果当前结点存储的数据域为#，那么此结点为虚结点，指向该结点的指针为空指针
{
cout << "当前结点为虚结点！" << endl;
bt = NULL; //如使用函数PreCreateBiTree(root)，如果输入的第一个字符为#，那么根节点为虚结点，即头指针为空指针
}
else
{
bt = new BiTreeNode;//如果当前结点存储的数据域地址不为#，是字符，创建结点空间
bt->data = elem; //存下数据
cout << "打印当前结点的数据域：" << bt->data << endl;
bt->lchild = PreCreateBiTree(bt->lchild); //当前结点的左孩子地址：如果左孩子是虚结点，即输入#，那么bt->lchild = NULL;如果左孩子不是虚结点，假设输入b，递归函数会创建一个新的结点，存储b，并返回该结点指针（地址），如此循环递归
bt->rchild = PreCreateBiTree(bt->rchild);
//对于前序，先根节点，在左子树，后右子树
}
return bt;
}
void LinkBiTree::Init_PreCreateBiTree()//调用私有成员函数：前序建立二叉树函数
{
PreCreateBiTree(root); //头指针始终存在，不管有没有根结点。当根节点存在时，创建根节点存储空间，并用头指针指向它
cout << "前序创建二叉树完成！" << endl;
}
2.中序创建二叉树
3.后序创建二叉树
3）二叉树的销毁
答：根据创建二叉树采用的遍历顺序不同，采用相应的销毁顺序。
1.销毁前序遍历创建的二叉树
答：
思路：当前结点不是虚结点时（即该结点的指针不是NULL），销毁其左孩子，再销毁其右孩子。最后，销毁该结点。
C++实现销毁前序遍历创建的二叉树：
void LinkBiTree::PreReleaseBiTree(BiTreeNode *bt) //销毁前序创建的二叉树
{
if (bt != NULL)
{
PreReleaseBiTree(bt->lchild);
PreReleaseBiTree(bt->rchild);
delete bt;
}
}
void LinkBiTree::De_PreReleaseBiTree() //调用私有成员函数://销毁前序创建的二叉树，该函数为接口
{
PreReleaseBiTree(root);
cout << "销毁前序创建的二叉树！" << endl;
}
2.销毁中序遍历创建的二叉树
3.销毁后序遍历创建的二叉树
4）二叉树的前序遍历
答：
思路：
先根结点，再左子树，后右子树。（先结点，再左孩子，后右孩子）
void LinkBiTree::PreOrder(BiTreeNode *bt)//前序遍历二叉树
{
if (bt == NULL)
{
cout << "#" << endl;
}
else
{
cout << bt->data << endl;
PreOrder(bt->lchild);
PreOrder(bt->rchild);
}
}
void LinkBiTree::Port_PreOrder()
{
PreOrder(root);
cout << "前序遍历结束！" << endl;
}
5）二叉树的中序遍历
答：
思路：
先左子树，再根结点，后右子树。（先左孩子，再结点，后右孩子）
void LinkBiTree::InOrder(BiTreeNode *bt)//中序遍历二叉树
{
if (bt == NULL)
{
cout << "#" << endl;
}
else
{
InOrder(bt->lchild);
cout << bt->data << endl;
InOrder(bt->rchild);
}
}
void LinkBiTree::Port_InOrder()
{
InOrder(root);
cout << "中序遍历结束！" << endl;
}
6）二叉树的后序遍历
答：
思路：
先左子树，再右子树，后根结点。（先左孩子，再右孩子，后结点）
void LinkBiTree::PostOrder(BiTreeNode *bt)//后序遍历二叉树
{
if (bt == NULL)
{
cout << "#" << endl;
}
else
{
PostOrder(bt->lchild);
PostOrder(bt->rchild);
cout << bt->data << endl;
}
}
void LinkBiTree::Port_PostOrder()
{
PostOrder(root);
cout << "后序遍历结束！" << endl;
}
7）二叉树的高度
10.线索二叉树的链式存储结构？创建，查找，插入，删除等操作？
1）什么是线索二叉树？
答：
针对二叉链表实现二叉树时，存在许多空指针域浪费内存空间的问题，提出让结点的lchild指针域指向当前结点的前驱结点位置，让rchild指针指向当前结点的后继结点位置。这种二叉树叫线索二叉树。
（由于将二叉树按照某种遍历方法，形成的序列，此时结点的前驱和后继就唯一了，因此这里结点的前驱和后继不是指树结构中的，而是指树结构以前序或中序或后序遍历形成的序列）
问题：某一个结点的lchild是指向它的左孩子还是前驱？rchild是指向它的右孩子还是后继？
解决：增加两个标志域，ltag和rtag，布尔型变量，0或1.
总结：
线索化的实质，是将二叉链表中的空指针改为指向前驱和后继的线索。
由于前驱和后继是针对二叉树的某个遍历方法而言的，因此线索化的过程，就是在遍历二叉树的过程中，不断修改空指针。
线索二叉树使用场景：使用二叉树这种结构时，当经常遍历或者查找结点的前驱和后继时，采用这种结构。
2）线索二叉树的抽象数据类型（数据结构的接口化，供上层调用）
11.二叉树、树、森林之间的相互转化
答：
具体参考书本，内容包括树=>二叉树，森林=>二叉树，二叉树=>树，二叉树=>森林，以及树和森林的遍历。
12.哈夫曼树
六、图
1.图的定义
2.图的抽象数据类型（定义常用的合法操作）
3.图的存储结构
答：介绍图这种数据结构，它的底层存储结构是如何实现的。
1）邻接矩阵
（两个数组：一个一维数组存储顶点，一个二维数组存储顶点之间的边）
2）邻接表
为了解决邻接矩阵在存储边表存在空间浪费的问题
（一个链表或数组，用于存储顶点和顶点的第一个邻接点地址；另一个链表用于存储当前顶点的所有边）
3）十字链表
对于有向图，为了解决邻接表只关心出度，逆邻接表只关心入度的问题
（将邻接表和逆邻接表，功能整合在一起）
4）邻接多重表
对于无向图，解决关注对边的操作问题，改进邻接表存储结构
5）边集数组
关心对边的操作
（两个数组：一个一维数组存储顶点，一个一维数组存储一条边的起点下标，终点下标，权值）
4.图的遍历
1）深度优先遍历
2）广度优先遍历
图的应用
5.最小生成树
答：包含图中所有顶点，形成一个连通图对于包含权值的网图，我们构造连通图的最小代价生成树，就是最小生成树存在两种算法，分别为普里姆算法和克鲁斯卡尔算法。
1）普里姆算法
2）克鲁斯卡尔算法
6.最短路径
答：求两个顶点之间最短的路径。两种方法
1）迪杰斯特拉算法
2）弗洛伊德算法
7.拓扑排序
答：顶点之间必有优先顺序，对有向图进行顺序构造，就是拓扑排序。
8.关键路径
答：完成项目工程的最短时间
七、查找算法
答：
查找（Search）定义：输入某个值，在查找表中确定一个数据元素（记录），其某个数据项（关键字）等于要查询的值。
（注：数据元素包含多个数据项，对于数据元素只包含一个数据项时，如查找数组中是否有某个数字，我们可以返回其下标位置）
关于查找的几个概念：（参考书）
1.查找表：由同一类型的数据元素（记录）构成的集合。
2.关键字：数据元素中某个数据项的值。=> 关键码，主关键字，主关键码，次关键字，次关键码
3.静态查找表：只允许查找操作的查找表
4.动态查找表：在查找时，插入查找表中原本不存在的数据元素，或者删除查找表中已经存在的数据元素。
5.查找结构：
1.顺序表查找
答：
定义：对于用数组实现的顺序表，从表中第一个数据元素开始查找，直至遍历整个查找表。算法复杂度为O(n)
查找表要求：顺序（数组形式的连续内存），但可以不有序（升序或降序），可以有重复元素
1）基本算法（重点）
int SqList::SqSearch1(ElemType &e)//查找元素，返回索引位置i（只返回查找的第一个位置）
{
for (int i = 1; i <= length; i++)
{
if (data[i - 1] == e)
{
return i; //i表示索引位置，从1开始
}
}
return 0;
}
2）优化算法
思路：设置哨兵：如果a[1]~a[length-1]中有查找值e，返回索引位置。否则，返回0，因为a[0]肯定等于e，表示查找失败。
优点是避免每次判断i是否越界，减少语句i顺序表查找的优缺点：
2.有序表查找
1）二分查找
1.查找条件
答：查找表采用顺序存储（数组存储），并且有序（如从小到大），没有重复的数据元素。
2.查找思路
答：
首先，定义初始查找表范围，每次查找时，判断区间是否存在。
然后，取中间记录作为比较对象，若给定值与中间记录的关键字相等，则查找成功。
若给定值小于中间记录的关键字，更新右边界，并在中间记录的左半区继续查找。
若给定值大于中间记录的关键字，更新左边界，并在中间记录的右半区继续查找。
最后，不断重复上述过程，直到查找成功，若所有查找区域无记录，查找失败为止。
关键：
1.定义好目标值所在的区间，一般为双闭区间
2.更新左边界或右边界
3.算法实现
答：
（重点）：定义查找值target在一个左闭右闭的封闭区间，也就是[left, right]。
class Solution
{
public:
int search(vector& nums, int target)
{
int left = 0;
int right = nums.size() - 1; // 定义target在左闭右闭的区间里，[left, right]
while (left <= right) // 当left==right，区间[left, right]依然有效，所以用 <=
{
int middle = left + ((right - left) / 2);// 防止溢出 等同于(left + right)/2
if (nums[middle] > target)
{
right = middle - 1; // target 在左区间，所以[left, middle - 1]
}
else if (nums[middle] < target)
{
left = middle + 1; // target 在右区间，所以[middle + 1, right]
}
else // nums[middle] == target
{
return middle; // 数组中找到目标值，直接返回下标
}
}
return -1; // 未找到目标值
}
};
定义查找值target在一个左闭右开的区间，也就是[left, right）。即target只能取到right-1
class Solution
{
public:
int search(vector& nums, int target)
{
int left = 0;
int right = nums.size(); // 定义target在左闭右开的区间里，其实仍然在搜索0~nums.size()-1空间，即：[left, right)
while (left < right) // 因为left == right的时候，在[left, right)是无效的空间，所以使用 <
{
int middle = left + ((right - left) >> 1); //mid=(left+right)>>1相当于mid=(left+right)/2，但是比除2运算要快
if (nums[middle] > target)
{
right = middle; // target 在左区间，在[left, middle)中，下一个查询区间不会去比较nums[middle]
}
else if (nums[middle] < target)
{
left = middle + 1; // target 在右区间，在[middle + 1, right)中
}
else // nums[middle] == target
{
return middle; // 数组中找到目标值，直接返回下标
}
}
return -1; // 未找到目标值
}
};
4.优缺点
答：
二分查找的次数最多为树的深度，最少为1次，因此时间复杂度为O(logn)。
优点是显然查找速度相比于顺序查找提高很多。
缺点是查找表需要满足有序且数据元素无重复的要求。
5.使用场景
答：适用静态查找表，不适合动态查找表。
2）插值查找
答：
思路：在二分查找基础上进行改进，将二分查找中的1/2进行更改，使用插值公式（根据最大值、最小值、查找值进行计算得到）
实现：
要求：对于有序且无重复的查找表，数据分布均匀可以使用，效率比二分查找更高，但不均匀分布的数据集合不能使用。
3）斐波那契查找
3.哈希表查找（散列表查找）
1）基本概念
1.哈希表的定义
答：
顺序表和有序表查找：通过比较查找值和查找表中数据元素是否相等，得到索引位置或存储位置
哈希表：根据查找值，通过一个函数，直接映射得到索引位置。存储位置 = f（查找值）
f是哈希函数或者散列函数，哈希表或者散列表的存储地址是连续的，数据元素存储的位置叫散列地址。
2.哈希表的查找步骤
答：其实就两步。
存储时，根据散列函数，计算出数据元素的存储地址进行存储。
查找时，根据散列函数，计算出数据元素的存储地址进行查找。
注：
散列技术既是一种存储技术，也是一种查找技术。
散列表中的数据元素之间，不像线性表、树、图那样存在前驱后继的逻辑关系，数据元素彼此之间没有逻辑关系。
散列表中数据元素（关键字）只与它的存储位置有关系，这个关系就是散列函数。
散列表是一种面向查找的数据结构，O（1）的查找时间复杂度。
3.哈希表查找的优缺点
答：
优点：善于查找与给定值相等的问题。
缺点：若查找值对应多个结果，不适合。范围查找也不适合。
给一个查找表，一个要查找的关键字，哈希表为什么查找会很快？
因为能进行哈希查找的前提是，我们构建了哈希表。也就是我们对原来的查找表进行了重新设计，使得查找表中的元素与索引位置有固定的映射关系。因此，我们牺牲了空间，换来了时间效率。
4.哈希表设计中的关键问题
答：
第一个是散列函数如何设计？
第二个是当不同的关键字，对应相同的存储位置，该如何解决？（冲突问题）
2）散列函数的设计
答：
确定映射关系，根据关键字，可以得到对应的散列地址。（这种映射关系得到的散列地址一定是连续的吗？）
设计散列函数的原则：计算简单、得到的散列地址分布均匀。
几种常用散列函数：
1.直接地址法（重点）
取关键字的某个线性函数值，作为散列地址。f(key) = a*key+b
特点是散列函数简单，得到的散列地址分布均匀，不会产生冲突。但需要事先知道关键字的分布情况，适合查找表较小且连续的情况。
2.数字分析法
抽取关键字的一部分来计算散列地址。
特点是适合处理关键字位数比较大，事先知道关键字的分布且关键字的若干部分分布均匀。
3.平方取中法
对关键字进行平方，然后使用中间部分作为散列地址。
特点是适合不知道关键字的分布，而位数不是很大的情况。
4.折叠法
将关键字从左到右分割成位数相等的几部分(注意最后一部分位数不够时可以短些)，然后将这几部分叠加求和，并按散列表表长，取后几位作为散列地址。
特点是事先不需要知道关键字的分布，适合关键字位数较多的情况。
5.保留余数法（重点）
用关键字除以某个值，得到的余数作为散列地址。对于散列表长为m，f(key) = key mod p ，p<= m，mod是求余数、取模的意思。
若散列表表长为m，通常p为小于或等于表长(最好接近m)的最小质数或不包含小于20质因子的合数。
关键在于p值的确定。
6.随机数法
取关键字的随机函数值作为它的散列地址。f(key) = random(key).
特点是适合关键字长度不等时。
总结：
3）散列冲突的解决办法
答：散列冲突是对于不同的关键字，他们计算得到的散列地址是相同的。如何解决呢？
1.开放定址法（重点）
开放定址法就是一旦发生了冲突，就去寻找下一个空的散列地址，只要散列表足够大，空的散列地址总能找到，并将记录存入。
线性探测法：
二次探测法：
随机探测法：
2.再散列函数法
3.链地址法（重点）
答：
4.公共溢出区法
将所有冲突的关键字，建立一个公共的溢出区存放。
4）散列表查找实现
答：基于数组实现哈希表
主要包括定义哈希表底层数据结构（数组：静态或者动态），初始化哈希表，哈希函数的设计，插入操作的实现（需要解决冲突），查找操作的实现（需要解决冲突），重建哈希表等。
1.构建散列表数据结构
答：
class HashTable //此哈希表中的关键字是字符串，不是单个字符（字符串本身需要数组来存储）
{
public:
private:
int size; //定义散列表长度：
char ** elem; //动态数组的首地址，即散列表的首地址 （可以用静态数组实现：定义一个指针数组）
//定义**elem，表示elem是一个“指向指针”的指针，而定义*elem，表示elem是一个“指向char型”的指针（如果我们的关键字是单个字符，这里用*elem）
//elem是动态分配数组的首地址，该数组中每个元素都是一个指针，指向一个char型数组
};
2.定义哈希函数
答：
int HashTable::hash(char value[]) //构造哈希函数:返回值是关键字value[]对应的散列地址
{
int f_key = 0; //散列地址
//根据关键字的长度、每位数值来生成散列地址
for (int i = 0; i < strlen(value); i++) //strlen()是求出char数组value的长度，即字符串长度
{
f_key = (f_key * 256 + 128 + value[i]) % size; //求出每个字符串在数组中的索引位置（散列表地址）
}
return f_key;
}
2.散列表的初始化
答：
HashTable::HashTable() //初始化哈希表：申请连续存储空间作为散列表
{
size = Maxsize;
elem = new char* [size]; //程序运行时，开始分配内存空间
//在堆区开辟一个大小为size的数组，数组里面的数据类型为char*，即每个数据元素是一个指向char型的指针。返回这个存放“指向char型的指针”数组的首地址
//如果每个数据元素是数字或者单个字符，即 elem = new int [size]; 或elem = new char [size];
for (int i = 0; i < size; i++)
{
elem[i] = NULL; //“指向char型的指针”的数组，每个数据元素都为NULL。
//将来每个elem[i]存储的是某个字符数组的首地址，不过此时由于不知道每个插入字符数组的大小，还没有为其分配内存空间。
}
}
3.散列表的插入操作
答：
思路：
先判断散列表中是否已经有待插入的值，否则，根据哈希函数计算散列地址。
然后判断是否发生冲突，当解决冲突时，插入该值。
（增加功能：若直到散列表最后一个位置都无法解决冲突，就重建哈希表）
bool HashTable::insert(char value[]) //插入函数
{
int pos = 0;
int times = 0;
if (search(value,pos,times))
{
return false; //散列表中已存在待插入的值
}
else //散列表中无该元素，重置pos和times，准备插入元素
{
pos = 0;
times = 0;
}
pos = hash(value); //计算哈希地址
while (elem[pos] != NULL && times < size - pos) //当待存储位置不为空，说明发生了冲突，需要根据线性探测法找下一个位置
{
times++;
pos = (pos + 1) % size;
}
if (elem[pos] == NULL) //找到空闲位置
{
elem[pos] = new char[strlen(value) + 1]; // 由于插入的值是字符串，因此需要根据字符串的长度，创建字符串存储空间，返回字符串的首地址。
elem[pos] = value; //由于value是字符串，这里使用value不是获取地址，而是表示整个字符串（不同于整型数组），因此这里相等于两个字符数组之间的赋值。
return true;
}
else //散列表空间不够，无法解决冲突，需要重建
{
return false;//重建哈希表，并插入成功
}
}
4.散列表的查找实现
答：
思路：
首先，根据哈希函数，得到初步索引位置（散列地址）
其次判断是否发生冲突，如果发生并解决，直到找到最终索引位置
bool HashTable::search(char value[], int &pos, int ×)//查找函数:value[]是被查找的值，pos是最终对应的散列表地址（索引位置），times是冲突次数
{
pos = hash(value); //1.根据哈希函数，得到初步索引位置（散列地址）
//2.判断是否发生冲突，如果发生并解决
times = 0;
while(elem[pos] != NULL && strcmp(elem[pos], value) != 0) //elem[pos]表示某个字符串：当初始散列地址存储的数据不为空，且该数据不与关键字相等，说明发生了冲突。如果elem[pos] != NULL，说明不存在要查找的值，因为其没有初始索引位置
{
times++; //冲突次数加1（times最多为散列表长度）
if (times < size)
{
pos = (pos + 1) % size; //开放定址法中的线性探测法解决冲突，每执行一次，索引位置pos加1
}
else //遍历了散列表数组中的所有索引位置
{
return 0;
}
}
if (elem[pos] != NULL && strcmp(elem[pos], value) == 0) //查找到value
{
return 1; //pos是value在散列表中的索引位置（散列表地址）
}
else //如果elem[pos] != NULL，说明不存在要查找的值，因为其没有初始索引位置
{
return 0;
}
}
5.释放哈希表
答：
思路：手动删除向内存申请的空间
HashTable::~HashTable()
{
for (int i = 0; i < size; i++)
{
if (elem[i] != NULL)
{
delete[] elem[i]; //先删除每个字符数组
}
}
delete[] elem; //最后删除“指向字符数组的指针”的数组
}
5）散列表性能分析
答：
理想查找时间复杂度为O（1）。当发生冲突时，查找性能降低。
散列查找的平均查找长度取决于哪些因素呢?
散列函数是否均匀、处理冲突的方法 、装填因子
6）哈希表的进阶
答：
数组作为哈希表，set容器作为哈希表，map容器作为哈希表
数组作为哈希表：能够确定数组大小，当数组空间够大，但哈希值比较少、特别分散、跨度非常大，使用数组就造成空间的极大浪费。
set容器作为哈希表：unordered_set是一个集合，里面放的元素只能是一个key。但是没有下标。
map容器作为哈希表：map是一种
注：map确实可以解决数组和set的问题，但使用map的空间消耗要比数组、set大一些。所以原则问题是，简单用数组，复杂用set和map.