6自由度机械臂建模与仿真

一些概念

矩阵变变换 坐标变换

自由度

所谓的3自由度，6自由度，有多少个转动关节就有多少自由度？

关节符号

绕不同轴旋转的符号的异同

如何建立坐标系

坐标系到底是固连坐标系到底是固定在关节上还是连杆上？？

基座标系Or-XrYrZr

与台桌货地面固连，不运动

关节坐标系O1-X1Y1Z1 ~ On-XnYnZn

虽然称为关节坐标系，但是表示的却是连杆的位姿。

参考文献

[1]马江. 六自由度机械臂控制系统设计与运动学仿真[D].北京工业大学,2009.
[2]任崇轩. 五自由度机械臂运动和控制仿真分析[D].华南理工大学,2012.

建立连杆坐标系的 D-H 方法

为了描述机械臂的每个连杆与相邻连杆之间的相对位置关系，需要在每个连杆上定义一个固连的坐标系。
首先，为各连杆和关节编号。其方法为：基座为连杆 0，从基座起依次向上为连杆1、连杆 2、…；关节 i 连接连杆 i-1 和 i。
然后，建立与连杆固连的坐标系 Oi Xi Yi Zi ,（如图 3-1），具体步骤如下：

坐标系OiXiYiZi即与连杆i 固连，一般设定原点Oi在靠近基座的这端。
第 1 步：确定Zi 轴。基本原则是：Zi轴沿关节 i 的轴向。
第 2 步：确定原点Oi 。基本原则是：Oi 在过Zi 和Zi+1轴的公垂线上。
第 3 步：确定Xi 轴。基本原则是：Xi 沿过Zi 和Zi+1轴的公垂线方向，从Zi 指向Zi+1；如果Zi 和
Zi+1轴相交，Xi 轴垂直于Zi 和Zi+1轴所在的平面。
第 4 步：确定Yi 轴。基本原则是：使坐标系为右手坐标系。

从而，基于 D-H 方法的连杆参数定义如下：
连杆长度ai 定义为：沿Xi 轴，从Zi 移动到Zi+1的距离。
连杆转角αi 定义为：沿Xi 轴，从Zi 旋转到Zi+1的角度。
关节偏距di 定义为：沿Zi 轴，从Xi−1移动到Xi 的距离。
关节转角θi 定义为：沿Zi 轴，从Xi−1旋转到Xi 的角度。
上述四个参数被称为 D-H 参数，又常被称为机械臂的运动参数或几何参数。采用不同的 D-H 方法建模，得到的 D-H 参数往往不同。
建立连杆坐标系后，需要导出相邻连杆间坐标系变换的一般形式。通过矩阵运算，可以得到基于 D-H 方法的齐次变换矩阵为：

以5自由度机械臂为例

首先定义参考坐标系，即坐标系{0}，它固定在基座上。当第一个关节变量值θ1 为0 时，坐标系{0}与坐标系{1}对应坐标轴重合或平行，因此建立的坐标系{0}如图 3-2所示。
然后，按照 D-H 方法的四个步骤，分别建立机械臂的其余 5 个坐标系，如图 3-2（图中，li为连杆i的长度）所示。关节 2、3 和 4 的轴线相互平行，关节 1、2 的轴线相互垂直，关节 4、5 的轴线也相互垂直。
根据 D-H 参数的定义，5R 机械臂的 D-H 参数如表 3-1（表中，a1 =l1 ，a2 =l2，a3 =l3 ，d1 =l0 ，d5 =l4 ）所示。其中，ai 为连杆长度，αi 为连杆转角，di 为关节偏距，θi 为关节转角。假设 5R 机械臂的各连杆和关节为刚体，那么连杆长度、连杆转角和关节偏距这三类参数为恒定值，而关节转角为引起机械臂末端位置和姿态改变的变量。

根据式（3-1）得到，机械臂各连杆的齐次变换矩阵依次为：

机械臂运动学模型

机械臂的运动学指机械臂末端的位置、姿态和其关节的角度之间的关系，包括正、逆运动学两个方面的问题。

正运动学模型

机械臂的正运动学问题，指已知各个关节的角度iθ ，求机械臂末端的位置和姿态，即求出齐次变换矩阵T0_5 。
将式（3-2）至式（3-6）相乘，得到 5R 机械臂末端坐标系相对于基坐标系的齐次变换矩阵：

式（3-7）也称为机械臂的运动学方程，它说明如何计算机械臂坐标系{5}相对于坐标系{0}的位姿。

逆运动学方程

机械臂的逆运动学问题，指已知机械臂的末端位姿，即已知齐次变换矩阵T0_5 ，求
解各转动关节的角度θi 。





在求解运动学方程的过程中遇到多重解的问题，表明机械臂到达目标位置和姿态的途径可能有多种。对
于多重解的问题，通常由于关节运动范围的限制要将其中的一些解（甚至全部）舍去。在余下的有效解中，通常选取一个最接近于当前机械臂的解。

运动学仿真

本节将分别采用 MATLAB、ADAMS 两种软件，对 5R 机械臂的正、逆运动学进行仿真，以验证在上节建立的运动学模型。

线性模型（线性化）

机械臂的动力学模型

动力学研究物体的运动与受力之间的关系。机器人的动力学研究机器人各关节的关节位置、关节速度、关节加速度与各关节执行器驱动力矩之间的关系。