1228. 油漆面积

Powered by:NEFU AB-IN

Link

1228. 油漆面积

• 题意

  X星球的一批考古机器人正在一片废墟上考古。
  该区域的地面坚硬如石、平整如镜。
  管理人员为方便，建立了标准的直角坐标系。
  每个机器人都各有特长、身怀绝技。
  它们感兴趣的内容也不相同。
  经过各种测量，每个机器人都会报告一个或多个矩形区域，作为优先考古的区域。
  矩形的表示格式为 (x1,y1,x2,y2)，代表矩形的两个对角点坐标。
  为了醒目，总部要求对所有机器人选中的矩形区域涂黄色油漆。
  小明并不需要当油漆工，只是他需要计算一下，一共要耗费多少油漆
  其实这也不难，只要算出所有矩形覆盖的区域一共有多大面积就可以了。
  注意，各个矩形间可能重叠。

• 思路

  离散线段树 完成扫描线算法
  之前写过这个题的题解，用的是y总讲的扫描线的模板，但每次都记不住…
  这次是用的董老师的模板，直接套用离散线段树，不用二分find，直接在build的时候就放入y坐标值了，非常好用！！这是视频链接 link

  ---

  概念解释

  扫描线: 就是一根线,从左往右扫,以每个矩形的左右边为界,可以把n个矩形组成的区域分割成2n-1个区块，每个区块的宽就是扫过的距离,每个区块的有效高度一直在变化。
  有效高度: 就是区块内矩形的高度的并,每当扫到一个矩形的左边时，就加入该矩形高的贡献;而当扫到该矩形的右边时，就减去该矩形高的贡献。
  线段树的作用：有效高度不断变化,可以通过线段树维护区间的修改。但是,所给矩形的Y坐标“值域大(10^{9)数量少(10}5)".需要离散化。可以使用离散线段树直接维护Y坐标。

  ---

  算法流程

  1. 用扫描线切分区块
  2. 用离散线段树维护Y坐标和区块的有效高度，自顶向下分裂区间，自底向上拼凑有效高度（上面概念介绍有说），标记加入或减去一个矩形对有效高度的贡献
  3. 矩形面积并= sum(区块宽度×区块有效高度)

  ---

  下面是董老师视频中的截图，对比了普通线段树和离散线段树的区别
  

  下面我会放不带注释和带注释的代码，建议要真正理解思想

• 代码

  不带注释

  /*
  * @Author: NEFU AB-IN
  * @Date: 2023-03-28 20:04:18
  * @FilePath: \Acwing\1228\1228.cpp
  * @LastEditTime: 2023-03-28 20:50:10
  */
  #include 
  using namespace std;
  #define int long long
  
  #define SZ(X) ((int)(X).size())
  #define ALL(X) (X).begin(), (X).end()
  #define IOS                                                                                                            \
      ios::sync_with_stdio(false);                                                                                       \
      cin.tie(nullptr);                                                                                                  \
      cout.tie(nullptr)
  #define DEBUG(X) cout << #X << ": " << X << '\n'
  typedef pair<int, int> PII;
  #define ls p << 1
  #define rs p << 1 | 1
  const int N = 1e5 + 10, INF = 0x3f3f3f3f;
  
  struct Tree
  {
      int l, r, len, cnt;
  } tr[N << 3];
  
  struct Line
  {
      int x, y1, y2, flag;
  
      bool operator<(Line &a) const
      {
          return x < a.x;
      }
  } seg[N];
  
  int n, xs[N];
  
  void pushup(int p)
  {
      if (tr[p].cnt)
          tr[p].len = tr[p].r - tr[p].l;
      else
          tr[p].len = tr[ls].len + tr[rs].len;
  }
  
  void build(int p, int l, int r)
  {
      tr[p] = {xs[l], xs[r], 0, 0};
      if (r == l + 1)
          return;
      int mid = l + r >> 1;
      build(ls, l, mid);
      build(rs, mid, r);
  }
  
  void update(int p, int L, int R, int v)
  {
      if (tr[p].l >= R || tr[p].r <= L)
          return;
      if (tr[p].l >= L && tr[p].r <= R)
      {
          tr[p].cnt += v;
          pushup(p);
          return;
      }
      update(ls, L, R, v);
      update(rs, L, R, v);
      pushup(p);
  }
  
  signed main()
  {
      IOS;
      int n;
      cin >> n;
      for (int i = 1; i <= n; ++i)
      {
          int x1, x2, y1, y2;
          cin >> x1 >> y1 >> x2 >> y2;
          seg[i] = {x1, y1, y2, 1};
          seg[i + n] = {x2, y1, y2, -1};
          xs[i] = y1;
          xs[i + n] = y2;
      }
      n *= 2;
  
      sort(seg + 1, seg + 1 + n);
      sort(xs + 1, xs + 1 + n);
  
      build(1, 1, n);
      int ans = 0;
      for (int i = 1; i < n; ++i)
      {
          update(1, seg[i].y1, seg[i].y2, seg[i].flag);
          ans += (seg[i + 1].x - seg[i].x) * tr[1].len;
      }
      cout << ans << '\n';
      return 0;
  }
  

  ---

  带注释

  /*
  * @Author: NEFU AB-IN
  * @Date: 2023-03-28 20:04:18
  * @FilePath: \Acwing\1228\1228.cpp
  * @LastEditTime: 2023-03-28 20:50:10
  */
  #include 
  using namespace std;
  #define int long long
  
  #define SZ(X) ((int)(X).size())
  #define ALL(X) (X).begin(), (X).end()
  #define IOS                                                                                                            \
      ios::sync_with_stdio(false);                                                                                       \
      cin.tie(nullptr);                                                                                                  \
      cout.tie(nullptr)
  #define DEBUG(X) cout << #X << ": " << X << '\n'
  typedef pair<int, int> PII;
  #define ls p << 1
  #define rs p << 1 | 1
  const int N = 1e5 + 10, INF = 0x3f3f3f3f; 
  // 题目给的n是1e4, 如果这么开的话会RE，所以要多开十倍！！！比较保险
  
  struct Tree
  {
      int l, r, len, cnt; // len: 有效高度，cnt: 覆盖次数
  } tr[N << 3]; // 要开8倍空间（这是建立在n是正常开的基础上的，但我们这里n多开了十倍，所以这里也可以开4倍）
  
  struct Line
  {
      int x, y1, y2, flag; // flag 就代表 矩阵左边的线为1，右边的线为-1
  
      bool operator<(Line &a) const  // 其实这里这么写也可以 bool operator<(Line a) 
      {
          return x < a.x;
      } // 按x坐标排序
  } seg[N];
  
  int n, xs[N]; // 离散化数组
  
  void pushup(int p) 
  // 个人理解：和线段树的pushup一样，都叫pushup，而且都是往上传
  // 普通线段树的pushup是一个情况，而这个是分为两种情况，所以两个地方（if中和函数最后）都得pushup
  // 本质上是 len属性的两种情况更新
  // 两种情况：一种是有标记，那么就自己处理len；另一种是没标记，那么就要等于子节点的len和
  {
      if (tr[p].cnt)
          tr[p].len = tr[p].r - tr[p].l;
      else
          tr[p].len = tr[ls].len + tr[rs].len;
  }
  
  void build(int p, int l, int r)
  {
    // 这就是我之前说的，在build的时候就已经离散化了，也就是这里的l,r已经不是普通线段树的l,r了，已经下标对应到真实的y坐标了，具体可根据上图理解
      tr[p] = {xs[l], xs[r], 0, 0};
      if (r == l + 1) // 这里也是不同的地方，因为叶子宽度为2
          return;
      int mid = l + r >> 1;
      build(ls, l, mid);
      build(rs, mid, r); // 一定要注意这里是mid，不是mid+1，这里的下标是允许重合的
  }
  
  void update(int p, int L, int R, int v)
  {
      if (tr[p].l >= R || tr[p].r <= L) // 越界 return，这里也是不同点，也就是我们递归到的区间不在[L, R]中，那就return
          return;
      if (tr[p].l >= L && tr[p].r <= R)
      {
          tr[p].cnt += v; // 打上标记，v的取值是1或-1，cnt的值就不止1了
          pushup(p); // 这里需要pushup!!! 其实类似于普通线段树的区间修改，这里也要更新结点的属性，但是len没更新，我们是把它的更新放到了pushup中
          return;
      }
      update(ls, L, R, v); // 这里也是不同点，由于设置了越界，每个分支都得进，判断交给越界即可
      update(rs, L, R, v);
      pushup(p); // 最后正常pushup
  }
  
  signed main()
  {
      IOS;
      int n;
      cin >> n;
      for (int i = 1; i <= n; ++i)
      {
          int x1, x2, y1, y2;
          cin >> x1 >> y1 >> x2 >> y2;
          seg[i] = {x1, y1, y2, 1};
          seg[i + n] = {x2, y1, y2, -1};
          xs[i] = y1;
          xs[i + n] = y2;
      }
      n *= 2; // n的范围扩大一倍，因为两条边界
  
      //有序！
      sort(seg + 1, seg + 1 + n);
      sort(xs + 1, xs + 1 + n); 
  
      build(1, 1, n);
      int ans = 0;
      for (int i = 1; i < n; ++i) // 只需到n-1即可，因为每当遍历一条边时，它右边的面积就算上了，所以最后的就不用了 (当然写成n也可以)
      {
          // 先更新 再加和
          update(1, seg[i].y1, seg[i].y2, seg[i].flag);
          ans += (seg[i + 1].x - seg[i].x) * tr[1].len;
          // tr[1].len 即当前的有效高度
      }
      cout << ans << '\n';
      return 0;
  }