数据结构_图优化-最小费用最大流MCMF（python解）
一、原理
线性规划问题有一个有趣的特性，即所有求极大的问题都有一个与其匹配的求极小的线性规划问题。我们通过求解一个问题的对偶问题，再加以转化就可以得到原始问题的解
1.1 最基本的思想
- 这里的原始对偶算法是一种最小费用路算法，因而它最基本的思想便是贪心
- 我们保证程序运行的任意时刻，当前流量为r，那么花费时流量r时最小的费用。这样不断增大流量直至最大。就得到了最小费用最大流
1.2 SPFA实现伪代码
- 创建具有反向边的图
G(V, E) - 设置起终点
- 通过SPFA(
shortest Path Fast Algorithim)寻找cost最小的一个路径
a. 最终返回终点的cost是否是小于最大值。 - 更新图
a. 寻找路径上的最小流量minFlow
b. 将路径上的流量均减去minFlow, 同时对应反向边加上minFlow - 循环3和4 直到3返回为
False - 将每次的路径
minFlow相加就是最终的maxFlow, 将每次的路径的费用相加即为最小费用。
二、实现
2.1 python实现
算法核心：
- 图结构
G(V, E)GVector内部类-节点Edge内部类-边 保存 from, to, cap, cost, antiIndex(反向边在所在节点位置)Graph:{vIdex: List[Edge]}邻接表 vIdex和v_list相对应v_list:List[GVector]节点列表
- spfa：沿着允许弧进行扩增，允许边
cap > 0 and cost_list[t] > cost_list[now] + cst- 辅助空间：
visted_list: 记录节点是否被访问，防止死循环，以及有效进行扩增cost_list: 记录起点到当前节点路径的累积costpre_vector: 路径节点记录，pre_vector[now]:表示为到达now节点的上个节点pre_vector_edge：路径边记录，pre_vector_edge[now]:表示为通过该边到达now节点
- solve: 寻找路径最小流量，更新边的权重（注意对应边流量
-minflow，对应边反向边流量+minflow）
完整代码见笔者github: MCMF.py (记得顺手点star哦)
from collections import defaultdict, deque
from typing import List, Union, Any, AnyStr, Dict
import math
from rich.console import Console
cs = Console()
class MCMF:
....
def spfa(self) -> bool:
st = self.st_idx
ed = self.ed_idx
# 记录起点到当前节点路径的累积cost
cost_list = [math.inf] * self.num_nodes
# 记录节点是否访问
visted_list = [False] * self.num_nodes
# 刷新辅助记录栈
self.pre_vector = [-1] * self.num_nodes
self.pre_vector_edge = [-1] * self.num_nodes
# 辅助queue, 进行fbs
queue = deque()
queue.append(st)
cost_list[st] = 0
visted_list[st] = True
while len(queue):
now = queue.popleft()
visted_list[now] = False
for e_idx, edge_i in enumerate(self.graph[now]):
f = edge_i.f
t = edge_i.to
cst = edge_i.cost
cap = edge_i.cap
if cap > 0 and cost_list[t] > cost_list[now] + cst:
cost_list[t] = cost_list[now] + cst
self.pre_vector[t] = now
self.pre_vector_edge[t] = e_idx
if ~visted_list[t]:
visted_list[t] = True
queue.append(t)
return cost_list[ed] < math.inf
def solve(self):
out = {
'flowPath': [],
'maxFlow': 0,
'minCost': 0
}
while self.spfa():
tmp = self.ed_idx
min_flow = math.inf
# 寻找路径流量
while tmp != self.st_idx:
# 反向轨迹
pre_v = self.pre_vector[tmp]
pre_v_e = self.pre_vector_edge[tmp]
min_flow = min(min_flow, self.graph[pre_v][pre_v_e].cap)
tmp = pre_v
tmp = self.ed_idx
path_min_cost = 0
# 更新图
while tmp != self.st_idx:
# 反向轨迹
pre_v = self.pre_vector[tmp]
pre_v_e = self.pre_vector_edge[tmp]
# 正向边
self.graph[pre_v][pre_v_e].cap -= min_flow
# 反向边
now_v_e = self.graph[pre_v][pre_v_e].antiIndex
self.graph[tmp][now_v_e].cap += min_flow
# 路径的cost
path_min_cost += self.graph[pre_v][pre_v_e].cost
tmp = pre_v
out['maxFlow'] += min_flow
out['minCost'] += path_min_cost * min_flow
out['flowPath'] = self.find_path()
return out
def find_path(self):
"""
找出最终有cost且有流量的边
"""
out = []
for v, e_list in self.graph.items():
for e in e_list:
if e.cost > 0 and e.cap != e.cap_org:
out.append(f'{e.f}->{e.to}')
return out
if __name__ == '__main__':
fList = [0, 0, 1, 1, 1, 2, 2, 3, 4]
toList = [1, 2, 2, 3, 4, 3, 4, 4, 2]
cost = [4, 4, 2, 2, 6, 1, 3, 2, 3]
cap = [15, 8, 20, 4, 10, 15, 4, 20, 5]
mcmf_opt = MCMF(fList, toList, cap, cost, 0, 4)
out = mcmf_opt.solve()
cs.print(out)
求解结果如下
--------------------------------------------------
[
normal(0-idx:0),
normal(1-idx:1),
normal(2-idx:2),
normal(3-idx:3),
normal(4-idx:4)
]
--------------------------------------------------
defaultdict(, {
1: [R(1 <- 0)[0/-4], F(1 -> 2)[20/2], F(1 -> 3)[4/2], F(1 -> 4)[10/6]],
0: [F(0 -> 1)[15/4], F(0 -> 2)[8/4]],
2: [
R(2 <- 0)[0/-4],
R(2 <- 1)[0/-2],
F(2 -> 3)[15/1],
F(2 -> 4)[4/3],
R(2 <- 4)[0/-3]
],
3: [R(3 <- 1)[0/-2], R(3 <- 2)[0/-1], F(3 -> 4)[20/2]],
4: [R(4 <- 1)[0/-6], R(4 <- 2)[0/-3], R(4 <- 3)[0/-2], F(4 -> 2)[5/3]]
})
--------------------------------------------------
{
'flowPath': ['1->2', '1->3', '0->1', '0->2', '2->3', '2->4', '3->4'],
'maxFlow': 23,
'minCost': 187
}
2.2 使用ortools实现
ortools 具两个优化器
SimpleMaxFlow最大流SimpleMinCostFlow流对应的最小费用
只需要将两者以线性相结合就可以得到我们的最小费用最大流（MCMF）。
maxFlow 与 minCost maxFlow 比对
最小费用最大流的一般求解方法：
- 通过增广路径，扩增允许边寻找最小费用的路径 （SPFA-扩增同样也用BFS，只是约束不一样，具有唯一性），若无，则结束
- 然后用边上的流量来更新图
- 寻找到没有路径为止
解的边集是唯一的
最大流的求一般解方法：
- 在寻找增广路径时，可以用BFS来找，并且更新残留网络的值(涉及到反向边)
- 反复寻找源点s到汇点t之间的增广路径，若有，找出增广路径上每一段[容量-流量]的最小值delta(BFS等)，若无，则结束。
- 用边上的流量来更新图
- 寻找到没有路径为止
解的边集不是唯一的
所以，只要限制寻找的路径流量，寻找最小费用，那么也可以得到最小费用最大流。
只要限制的值是最大流（流量是唯一的，边集合不一定唯一），去寻找最小费用的边集
那么最终结果也将是一致。即组合SimpleMaxFlow与SimpleMinCostFlow 就可得到最终的MCMF求解器
from ortools.graph import pywrapgraph
def ortoolsMCMF(from_list, to_list, caps, costs, start_node_idx, end_node_idx):
# 1- 初始化最大流优化器
max_flow = pywrapgraph.SimpleMaxFlow()
# 2- 最大流-图构建
for i in range(len(from_list)):
_ = max_flow.AddArcWithCapacity(
from_list[i], to_list[i], caps[i]
)
# 3- 最大流-求解
if max_flow.Solve(start_node_idx, end_node_idx) == max_flow.OPTIMAL:
max_flow_res = max_flow.OptimalFlow()
print('Max flow:', max_flow_res)
else:
return None
# 4- 初始化最小费用优化器
min_cost = pywrapgraph.SimpleMinCostFlow()
# 5- 最小费用图构建
for i in range(len(fList)):
_ = min_cost.AddArcWithCapacityAndUnitCost(
from_list[i], to_list[i], caps[i], costs[i]
)
supplies = [0] * len(from_list)
supplies[start_node_idx] = max_flow_res
supplies[end_node_idx] = -max_flow_res
for i in range(len(supplies)):
_ = min_cost.SetNodeSupply(i, supplies[i])
res_path = []
# 6- 求解
if min_cost.Solve() == min_cost.OPTIMAL:
min_cost_res = min_cost.OptimalCost()
print('Minimum cost:', min_cost_res)
print('')
print(' Arc Flow / Capacity Cost')
for i in range(min_cost.NumArcs()):
cost = min_cost.Flow(i) * min_cost.UnitCost(i)
if min_cost.Flow(i) > 0 and cost > 0:
res_path.append("%s->%s" % (min_cost.Tail(i), min_cost.Head(i)) )
print('%1s -> %1s %3s / %3s %3s' % (
min_cost.Tail(i),
min_cost.Head(i),
min_cost.Flow(i),
min_cost.Capacity(i),
cost))
else:
return
return {"flowPath": res_path, 'maxFlow': max_flow_res, "minCost": min_cost_res}
fList = [0, 0, 1, 1, 1, 2, 2, 3, 4]
toList = [1, 2, 2, 3, 4, 3, 4, 4, 2]
cost = [4, 4, 2, 2, 6, 1, 3, 2, 3]
cap = [15, 8, 20, 4, 10, 15, 4, 20, 5]
ortoolsMCMF(fList, toList, cap, cost, 0, 4)