2019-05-24 Seminar (Exact World-sheet S-matrix)

讲完Bethe ansatz，回到讲义，这次讲exact world-sheet S-matrix，其实本质是coordinate bethe ansatz，虽然算是比较轻车熟路了，但是还是有几个有意思的地方。

对于可积理论我们己经介绍了两种formalism，一种是传统的从Hamiltonian的角度出发，另外一种就是Lax operator，R-matrix。前一种很物理，遵循我们的物理直觉，但是不好求解，后一种很抽象，很数学，少了物理的一点乐趣但是多了很多数学的乐趣，而且可以求解。S-matrix的角度有点像是介于这种情况之间，而且S-matrix 也提供了另外一个量子可积的判据：就是理论的S-matrix可以分解为two-particle scattering 的乘积。

考虑两个粒子的散射的时候，利用state-operator 的对应，我们就可以认为，这个散射定义了一个代数，称为ZF algebra，对于自由系统，这个代数就是一个Abelian的，散射振幅可以理解为代数的structure constants。代数的自洽性也就是Jacobian就是s-matrix要满足Yang-Baxter equation，这应该是开始Yang研究1维问题是所用到的Yang-Baxter equation了吧。值得注意的是，这个代数的operator是依赖动量还有其他quantum number的，在不考虑动量的量子化的时候，我们可以认为代数的operator是依赖一个连续的变量的，这也很好理解，就和场论里面量子化，动量空间的creation 和annihilation operator 差不多。

把S-matrix formalism的语言套用到到我们SYM理论是这样的：in-state或者out-state 对应了single trace composite operators，在量子修正下，composite operator的互相混合强度就对应了 散射矩阵。

从S-matrix角度出发另一个好处是，如果系统有对称性的话，对称性会帮助我们确定S-matrix 的形式。有的时候，对称性会完全把S-matrix唯一确定下来，这似乎与可积性没有直接关系，但是可能会有潜在的关系，比如对于同样的对称群，只有在fundamental representation下，S-matrix才可以有对称性唯一确定，其他的representation则不行。一个观察是在fundamental representation
下的S-matrix的对称性会加强到yangian symmetry，这里并不是这个yangian symmetry起到了决定性的作用。这是一个hint，就是什么时候S-matrix可以由对称性完全确定下来，似乎需要对称性可以加强到yangian symmetry才可以，这也是Nima他们做散射振幅的人比较熟悉的。

最后讲了一个s-matrix不是一个简单的phase的coordinate bethe ansatz的例子，比起ABA就复杂了很多，但是物理图像也清晰了很多，比如很直观的理解为什么transfer matrix 叫transfer matrix。