【蓝桥杯-筑基篇】基础数学思维与技巧(2)
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目录
1.判断素数
2.大整数
3.求n的约数个数
4.数学归纳法
5.阶乘之和
1.判断素数
素数的定义
素数又称质数，一个大于1的自然数，除了1和它自身外，不能被其他自然数整除的数叫做素数，否则称为合数（规定1既不是素数也不是合数）
方法1：
遍历从2到n-1的所有数字，判断是否有可以被n整除的数，如果没有，则为素数。
import java.util.Scanner;
public class A {
public static void main(String[] args) {
Scanner sc = new Scanner(System.in);
System.out.println("请输入要判断的数字：");
int n = sc.nextInt();
int i = 0;
for ( i = 2; i <= n-1 ; i++) {
if(n % i == 0){
System.out.println(n+"不是素数");
break;
}
}
if(i == n){
System.out.println(n+"是素数");
}
}
}方法2：
判定的范围改为[2 -,n/2]。当 i>n/2 时，则判定为素数。
import java.util.Scanner;
public class A {
public static void main(String[] args) {
Scanner sc = new Scanner(System.in);
System.out.println("请输入要判断的数字：");
int n = sc.nextInt();
int i = 0;
for ( i = 2; i <= n/2 ; i++) {
if(n % i == 0){
System.out.println(n+"不是素数");
break;
}
}
if(i > n/2){
System.out.println(n+"是素数");
}
}
}方法3：
在Java中判定素数的范围也可以到sqrt(n),(对n开平方)。对应的函数为：Math.sqrt(n)
public static void main(String[] args) {
Scanner sc = new Scanner(System.in);
System.out.println("请输入要判断的数字：");
while(sc.hasNext()) {
int n = sc.nextInt();
int i = 2;
for(;i <= Math.sqrt(n);i++){
if(n % i == 0){
System.out.println(n+"不是素数");
break;
}
}
if(i >Math.sqrt(n)){
System.out.println(n+"是素数");
}
}
}方法4：埃氏筛法
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方法5：欧拉筛法
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2.大整数
在java中范围最大的基本数据类型是long，它可表示的范围是-2的63次方 到 2的63次方-1。当我们遇到要表示的数超过了该范围时就必须使用BigInteger类。
比如我们要计算n的阶乘。
BigInteger类的创建：
BigInteger bigInteger = new BigInteger("1");
自定义进制：
BigInteger bigInteger = new BigInteger("1001",2);//2为二进制
System.out.println(bigInteger);//输出9BigInteger类的运算：
加法：
BigInteger a = new BigInteger("10");
BigInteger b = new BigInteger("2");
BigInteger add = a.add(b);// 加法
System.out.println(add);//12
减法：
BigInteger subtract = a.subtract(b); // 减法
System.out.println(subtract);//98
乘法：
BigInteger multiply = a.multiply(b); // 乘法
System.out.println(multiply);//200
除法：
BigInteger divide = a.divide(b); // 除法
System.out.println(divide);//50
取余：
BigInteger mod = a.mod(b); // 取余（只返回正数）
System.out.println(mod);//0
3.求n的约数个数
例如：求36 的约数
因为：1*36=36，2*18=36，3*12=36，4*9=36，6*6=36
故36的约数为：1，36，2，18，3，12，4，9，6
总共：9个
方法1：暴力枚举
public static void main(String[] args) {
Scanner scanner=new Scanner(System.in);
while(scanner.hasNext()) {
int n=scanner.nextInt();
int count=0;
for (int i = 1; i <= n; i++) {
if(n%i==0) {
count++;
}
}
System.out.println(count);
}
}方法2：
由原来i=1 到 i=n 列举 ，变为 i=1 到 i=n/2。
以36举例，36/2=18 18之后的 19 20 21 22 一直到35 都不是36的约数，只有36是。
故此 只需要求出 n/2之前的 约数数量 然后加1 即可。
图示：
public static void main(String[] args) {
Scanner scanner=new Scanner(System.in);
while(scanner.hasNext()) {
int n=scanner.nextInt();
int count=0;
for (int i = 1; i <= n/2; i++) {
if(n%i==0) {
count++;
}
}
System.out.println(count+1);
}
}
4.数学归纳法
嘿嘿嘿，和高中数学很像。
其核心思想：一个个列举，找出规律，然后用代码实现。
5.阶乘之和
输入一个数，判断这个数能不能用互不相等的非负整数的阶乘的和来表示，例如9=1!+2!+3!.
思路：
把0到10的阶乘都算出来 然后用数组存取，从10的阶乘开始，一直的比较然后不断的相减，看最后number 是否等于0，为0则是可以的，否则就不行。
public static void main(String[] args) {
int arr[]= new int[10];//arr数组用于存阶乘
int fac=1;
for (int i = 1; i <=10; i++) {
fac=fac*i;
arr[i-1]=fac;
}
// System.out.println(Arrays.toString(arr));
Scanner scanner=new Scanner(System.in);
while(scanner.hasNext()) {
int number=scanner.nextInt();
if(number<0) {
System.out.print("no");
break;
}
for (int i =arr.length-1 ; i >=0 ; i--) {
if(number>=arr[i]) {
number=number-arr[i];
}
}
if(number==0) {
System.out.println("yes");
}
else System.out.println("无解");
}
}