计算机图形学14：三维图形的投影变换

作者：非妃是公主
专栏：《计算机图形学》
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个性签：顺境不惰，逆境不馁，以心制境，万事可成。——曾国藩

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三维图形的几何变换	计算机图形学13——三维图形几何变换
三维图形的投影变换	计算机图形学14——三维图形投影变换

序

计算机图形学（英语：computer graphics，缩写为CG）是研究计算机在硬件和软件的帮助下创建计算机图形的科学学科，是计算机科学的一个分支领域，主要关注数字合成与操作视觉的图形内容。虽然这个词通常被认为是指三维图形，事实上同时包括了二维图形以及影像处理。

---

一、三维图形的投影变换

三维图形的投影变换可分为两类：平行投影和透视投影。

---

二、平行投影

平行投影可分为两类：正投影和斜投影。

---

1. 正投影

其中正投影中又可以分为：三视图和正轴测图。

---

Ⅰ. 三视图

① 主视图

主视图是逆着y轴方向去看，所以y轴的坐标为0，进而变化矩阵如下：

T z o x = [ 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 ]   T_{zox}=\begin{bmatrix} 1&0&0&0\\ 0&0&0&0\\ 0&0&1&0\\ 0&0&0&1\\ \end{bmatrix}\ Tzox​= ​1000​0000​0010​0001​ ​ 

由于主视图已经落在了xoz平面上，所以不需要其它操作。
代码实现如下：

/// 

/// 将点转化为其次坐标
/// 
/// 点
/// 齐次坐标
Matrix vertex3D2qici(VERTEX3D vertex3D) {
	Matrix qiciVertex(4, 1);
	qiciVertex.matrix[0][0] = vertex3D.x;
	qiciVertex.matrix[1][0] = vertex3D.y;
	qiciVertex.matrix[2][0] = vertex3D.z;
	qiciVertex.matrix[3][0] = 1;
	return qiciVertex;
}

VERTEX3D qici2vertex3D(Matrix qici) {
	VERTEX3D res;
	res.x = qici.matrix[0][0];
	res.y = qici.matrix[1][0];
	res.z = qici.matrix[2][0];
	return res;
}

VERTEX3D mainViewTransform3D(VERTEX3D vertex3D) {
	Matrix qiciVertex = vertex3D2qici(vertex3D);

	Matrix transform;		 // 去掉y坐标变换矩阵
	transform.matrix[0][0] = 1;
	transform.matrix[1][1] = 0;
	transform.matrix[2][2] = 1;
	transform.matrix[3][3] = 1;

	Matrix qicires = dotMatrix(transform, qiciVertex);

	VERTEX3D res = qici2vertex3D(qicires);	 
	return res;
}

---

② 俯视图

俯视图逆着z轴的方向来看，因此需要将z轴上的坐标置为0，第一步变换矩阵如下：

T x o y = [ 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 ]   T_{xoy}=\begin{bmatrix} 1&0&0&0\\ 0&1&0&0\\ 0&0&0&0\\ 0&0&0&1\\ \end{bmatrix}\ Txoy​= ​1000​0100​0000​0001​ ​ 

同时由于最终要是的三个视图落在一个平面内(xoz平面)，因此还需要对视图进行旋转，使得俯视图绕着x轴旋转-90度，第二度变换矩阵如下：

T R x = [ 1 0 0 0 0 c o s θ − s i n θ 0 0 s i n θ c o s θ 0 0 0 0 1 ] = [ 1 0 0 0 0 0 1 0 0 − 1 0 0 0 0 0 1 ] T_{Rx}=\begin{bmatrix} 1&0&0&0\\ 0&cos\theta&-sin\theta&0\\ 0&sin\theta&cos\theta&0\\ 0&0&0&1\\ \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 1&0&0&0\\ 0&0&1&0\\ 0&-1&0&0\\ 0&0&0&1\\ \end{bmatrix} TRx​= ​1000​0cosθsinθ0​0−sinθcosθ0​0001​ ​= ​1000​00−10​0100​0001​ ​
此处 $\theta =-90^{\circ }$

最后还要将主视图和俯视图分开，保持一定间距，还要让俯视图向下平移一个单位向量 $-z_0$。

T T z = [ 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 − z 0 0 0 0 1 ] T_{Tz}=\begin{bmatrix} 1&0&0&0\\ 0&1&0&0\\ 0&0&1&-z_0\\ 0&0&0&1\\ \end{bmatrix} TTz​= ​1000​0100​0010​00−z0​1​ ​

所以总变换矩阵如下：

$$p^{\prime }=T_{Tz}\cdot T_{Rx}\cdot T_{xoy}\cdot p$$

VERTEX3D topViewTransform3D(VERTEX3D vertex3D) {
	Matrix qiciVertex = vertex3D2qici(vertex3D);

	Matrix transform1;		// 去掉z坐标变换矩阵
	transform1.matrix[0][0] = 1;
	transform1.matrix[1][1] = 1;
	transform1.matrix[2][2] = 0;
	transform1.matrix[3][3] = 1;

	Matrix qicitmp = dotMatrix(transform1, qiciVertex); // 去掉z坐标
	VERTEX3D tmp = qici2vertex3D(qicitmp);
	tmp = rotationForXTransform3D(tmp, -90);		// 沿x轴旋转90度
	tmp = transTransform3D(tmp, 0, 0, -100);		// 向下平移-1个单位
	return tmp;
}

---

③ 侧视图

侧视图为逆着x轴看，所以要将x方向的坐标置为0：

T y o z = [ 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 ] T_{yoz}=\begin{bmatrix} 0&0&0&0\\ 0&1&0&0\\ 0&0&1&0\\ 0&0&0&1\\ \end{bmatrix} Tyoz​= ​0000​0100​0010​0001​ ​

同理，为了与主视图画在一个平面内，使侧视面绕z轴旋转$90^{\circ }$，如下：

T R x = [ c o s θ − s i n θ 0 0 s i n θ c o s θ 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 ] = [ 0 − 1 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 ] T_{Rx}=\begin{bmatrix} cos\theta&-sin\theta&0&0\\ sin\theta&cos\theta&0&0\\ 0&0&1&0\\ 0&0&0&1\\ \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 0&-1&0&0\\ 1&0&0&0\\ 0&0&1&0\\ 0&0&0&1\\ \end{bmatrix} TRx​= ​cosθsinθ00​−sinθcosθ00​0010​0001​ ​= ​0100​−1000​0010​0001​ ​
然后与主视图有一定间距，向x轴负方向平移$-x_0$，如下：
T T x = [ 1 0 0 − x 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 ] T_{Tx}=\begin{bmatrix} 1&0&0&-x_0\\ 0&1&0&0\\ 0&0&1&0\\ 0&0&0&1\\ \end{bmatrix} TTx​= ​1000​0100​0010​−x0​001​ ​

所以总变换矩阵如下：

$$p^{\prime }=T_{Tx}\cdot T_{Rz}\cdot T_{yoz}\cdot p$$

实现代码如下：

VERTEX3D sideViewTransform3D(VERTEX3D vertex3D) {
	Matrix qiciVertex = vertex3D2qici(vertex3D);

	Matrix transform1;		// 去掉x坐标变换矩阵
	transform1.matrix[0][0] = 0;
	transform1.matrix[1][1] = 1;
	transform1.matrix[2][2] = 1;
	transform1.matrix[3][3] = 1;

	Matrix qicitmp = dotMatrix(transform1, qiciVertex); // 去掉x坐标
	VERTEX3D tmp = qici2vertex3D(qicitmp);
	tmp = rotationForZTransform3D(tmp, 90);	// 沿x轴旋转90度
	tmp = transTransform3D(tmp, -100, 0, 0);		// 向x负方向平移-1个单位
	return tmp;
}

---

④ 三视图效果展示

测试效果代码：

void testThreeView() {
	VERTEX3D vertex3D_1 = { 100,100,100 };
	VERTEX3D vertex3D_2 = { 0,100,0 };
	VERTEX3D vertex3D_3 = { 200,100,0 };
	VERTEX3D vertex3D_4 = { 200,0,0 };

	// 主视图
	VERTEX3D res1 = mainViewTransform3D(vertex3D_1);
	VERTEX3D res2 = mainViewTransform3D(vertex3D_2);
	VERTEX3D res3 = mainViewTransform3D(vertex3D_3);
	VERTEX3D res4 = mainViewTransform3D(vertex3D_4);

	glBegin(GL_LINES);
	glVertex2f(-res1.x, res1.z);
	glVertex2f(-res2.x, res2.z);

	glVertex2f(-res1.x, res1.z);
	glVertex2f(-res3.x, res3.z);

	glVertex2f(-res1.x, res1.z);
	glVertex2f(-res4.x, res4.z);

	glVertex2f(-res2.x, res2.z);
	glVertex2f(-res3.x, res3.z);

	glVertex2f(-res2.x, res2.z);
	glVertex2f(-res4.x, res4.z);

	glVertex2f(-res3.x, res3.z);
	glVertex2f(-res4.x, res4.z);
	glEnd();

	// 上视图
	res1 = topViewTransform3D(vertex3D_1);
	res2 = topViewTransform3D(vertex3D_2);
	res3 = topViewTransform3D(vertex3D_3);
	res4 = topViewTransform3D(vertex3D_4);

	glBegin(GL_LINES);
	glVertex2f(-res1.x, res1.z);
	glVertex2f(-res2.x, res2.z);

	glVertex2f(-res1.x, res1.z);
	glVertex2f(-res3.x, res3.z);

	glVertex2f(-res1.x, res1.z);
	glVertex2f(-res4.x, res4.z);

	glVertex2f(-res2.x, res2.z);
	glVertex2f(-res3.x, res3.z);

	glVertex2f(-res2.x, res2.z);
	glVertex2f(-res4.x, res4.z);

	glVertex2f(-res3.x, res3.z);
	glVertex2f(-res4.x, res4.z);
	glEnd();

	// 侧视图
	res1 = sideViewTransform3D(vertex3D_1);
	res2 = sideViewTransform3D(vertex3D_2);
	res3 = sideViewTransform3D(vertex3D_3);
	res4 = sideViewTransform3D(vertex3D_4);

	glBegin(GL_LINES);
	glVertex2f(-res1.x, res1.z);
	glVertex2f(-res2.x, res2.z);

	glVertex2f(-res1.x, res1.z);
	glVertex2f(-res3.x, res3.z);

	glVertex2f(-res1.x, res1.z);
	glVertex2f(-res4.x, res4.z);

	glVertex2f(-res2.x, res2.z);
	glVertex2f(-res3.x, res3.z);

	glVertex2f(-res2.x, res2.z);
	glVertex2f(-res4.x, res4.z);

	glVertex2f(-res3.x, res3.z);
	glVertex2f(-res4.x, res4.z);
	glEnd();
	cout << res1.x << " " << res1.z << endl;
}

// 显示图形
void Display(void) {
	glClear(GL_COLOR_BUFFER_BIT);					//用当前背景色填充窗口
	// 此处需增加调用基本图形生成函数
	glColor3f(0.0f, 0.0f, 0.0f);			//设置当前的绘图颜色为红色
	glBegin(GL_LINES);
	glVertex2d(-400, 0);
	glVertex2d(400, 0);

	glVertex2d(0, 300);
	glVertex2d(0, -300);
	glEnd();

	glColor3f(1.0f, 0.0f, 0.0f);			//设置当前的绘图颜色为红色
	testThreeView();
	
	glFlush();	//处理所有的OpenGL程序
}

// 初始化OpenGL场景
void Initial() {
	glClearColor(1.0f, 1.0f, 1.0f, 1.0f);		//设置窗口背景颜色为白色
	glMatrixMode(GL_PROJECTION);							//设置投影参数
	gluOrtho2D(-400.0, 400.0, -300, 300.0);	// 投影面上的模型坐标范围
}

int main(int argc, char* argv[]) {
	//testTransTransform();
	//testScaleTransform3D();
	//testSymmetryForXTransform3D();
	//testSymmetryForYTransform3D();
	//testSymmetryForZTransform3D();
	//testSymmetryForXOYTransform3D();
	//testSymmetryForYOZTransform3D();
	//testSymmetryForZOXTransform3D();
	//testMiscutTransform3D();
	//testRotationForXTransform3D();
	//testRotationForYTransform3D();
	//testRotationForZTransform3D();
	//testThreeView();

	glutInit(&argc, argv);						// glut初始化
	glutInitDisplayMode(GLUT_SINGLE | GLUT_RGB);//初始窗口显示模式
	glutInitWindowSize(800, 600);			//设置窗口的尺寸
	glutInitWindowPosition(200, 200);			//设置窗口的位置
	glutCreateWindow("基本图形生成");			//创建一个窗口
	glutDisplayFunc(Display);					//设置当前窗口的显示回调函数
	Initial();										//完成窗口初始化
	glutMainLoop();									//启动主GLUT事件处理循环	
	return 0;
}

其中旋转函数的定义，见专栏中文章（计算机图形学：三维图形的几何变换），其中有关于用到的几何变换函数的详细定义。

---

Ⅱ. 正轴测图

三视图与正轴测都属于正投影，但各有优缺点，如下：

按照投影面与三个坐标轴之间的夹角，可以分为等轴测、正二侧、正三侧。

正轴测的变换矩阵与公式推导：

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2. 斜投影

斜轴测图：将三维物体向一个单一的投影面做平行投影，但投影方向不垂直于投影面所得的平面图形。常用的斜轴侧图有斜等侧图和斜二侧图。

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Ⅰ. 斜等测图

后面用到了补充……

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Ⅱ. 斜二侧图

后面用到了补充……

---

三、透视投影

---

1. 一点透视

两点透视和三点透视较为复杂，在此不再展开介绍。

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四、三维观察基本流程

这里还有些不懂，懂了的时候再来补充 hahaha~ ヾ(≧▽≦*)o

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the end……

三维图形的几何变换到这里就要结束啦~~到此既是缘分，欢迎您的点赞、评论、收藏！关注我，不迷路，我们下期再见！！

我是Cherries，一位计算机科班在校大学生，写博客用来记录自己平时的所思所想！
内容繁杂，又才疏学浅，难免存在错误，欢迎各位大佬的批评指正！
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注：本文由非妃是公主发布于https://blog.csdn.net/myf_666，转载请务必标明原文链接：https://blog.csdn.net/myf_666/article/details/129877371