最短路径算法之Dijkstra(迪杰斯特拉)
Dijkstra算法
迪杰斯特拉(Dijkstra)是典型的最短路径算法，顾名思义就是从一个点出发，到达另一个点的最短路径。
算法原理
例如，我们以一个案例来讲解他的算法原理。
大体的思想是：每次选择一个未被访问过、并且最短距离最短的点作为访问顶点，然后访问各个顶点，让访问顶点作为新的路径，到各个顶点之间的最短距离与各个顶点原本的最短距离进行比较，发现距离更短则然后进行路径更新。
一、 首先，我们需要初始化几个必要的东西：
- dis = [inf, inf, inf, inf, inf, inf, inf] # 记录出发顶点到其他各个顶点的最短累计距离，inf表示无穷大
- pre = [-1, -1, -1, -1, -1, -1, -1] # 记录出发顶点到其他各个顶点的前驱顶
- visited = [false, false, false, false, false, false, false] # 记录每个顶点是否已经访问过
- path = [[], [], [], [], [], [], []] # 记录出发顶点到其他各个顶点的最短路径
二、 A-G对应0-6。假如，我们要从G点出发，那么:
dis = [inf, inf, inf, inf, inf, inf, 0]，其实就是G自己到自己的距离是0。visited = [false, false, false, false, false, false, true]；
三、 接下来，从G开始访问各个顶点，进行我们的第一步遍历更新了：
我们以A为例子，原本到A点的最短距离为dis[0]，即为inf，那么如果是以G为访问顶点，G到A的最短距离应该就是G的最短距离+G与A间的距离即dis[6]+weight[6][0]（weight是各个顶点之间的距离矩阵），发现从G到A的最短距离更短，那么就会进行更新：
a. 更新A的最短距离，dis[0] = dis[6]+weight[6][0] = 2
b. 更新A的前驱顶点为G，pre[0] = 6；
c. 更新A的最短路径，即更换为G的最短路径，然后加上自己，path[0] = path[6] + 0 = [6, 0]
然后其他的点也是同理进行更新，最后的结果应该就是：
dis = [2, 3, inf, inf, 4, 6, 0]
pre = [6, 6, -1, -1, 6, 6, -1]
path = [[6, 0], [6, 1], [], [], [6, 4], [6, 5], []]
四、进行一轮更新之后，就需要更换访问顶点了。按照我们的思路：选择一个未被访问过、并且最短距离最短的点作为访问顶点。发现A的最短距离最短，那么就选择A为访问顶点，然后按照步骤三的方法再进行一轮更新；
五、 重复步骤三、四。我们总共有7个点，那么迭代6次就可以完成所有的更新了。
代码实现
import numpy as np
class Graph:
def __init__(self, vertex, weight):
self.vertex = vertex
self.weight = weight
self.dis = None # 记录出发顶点到其他各个顶点的最短累计距离
self.pre = None # 记录出发顶点到其他各个顶点的前驱顶点
self.visited = None # 记录每个顶点是否已经访问过
self.path = None # 记录出发顶点到其他各个顶点的最短路径
def init(self, index):
"""
初设化Dijkstra算法
:param index: 出发顶点
:return:
"""
self.dis = np.full([len(self.vertex), ], np.inf)
self.pre = [-1] * len(self.vertex)
self.visited = [False] * len(self.vertex)
self.path = [[] for i in range(len(self.vertex))]
self.dis[index] = 0
self.visited[index] = True
self.path[index].append(self.vertex[index])
def djs(self, index, show=True):
"""
Dijkstra算法的执行方法：以index为出发顶点，计算index达到其他各个顶点的最短距离
:param show:
:param index:
:return:
"""
start_index = index
self.init(index)
self.update(index)
for i in range(1, len(self.vertex)):
index = self.update_vertex()
self.update(index)
if show:
self.show_djs(start_index)
def update(self, index):
"""
以index为访问顶点，更新每个顶点的前驱顶点和累计距离
:param index:
:return:
"""
for i in range(len(self.vertex)):
length = self.dis[index] + self.weight[index][i]
# 当遇到能够能以更短距离达到自己的出发顶点时，则进行更新
if (length < self.dis[i]) & (not self.visited[i]):
self.pre[i] = index # 更换前驱节点
self.dis[i] = length # 更换累计距离
# 更换路径
self.path[i] = self.path[index].copy() # 前驱节点的最优路径
self.path[i].append(self.vertex[i]) # 再加上自己
def update_vertex(self):
"""
更新下次的访问顶点
:return:
"""
dis = np.inf
index = 0
for i in range(len(self.vertex)):
if (not self.visited[i]) & (dis > self.dis[i]):
dis = self.dis[i]
index = i
self.visited[index] = True
return index
def show_djs(self, index):
"""
打印Dijkstra算法的结果：出发顶点到各个顶点的最短距离和最优路径
:param index:
:return:
"""
for i in range(len(self.vertex)):
if i == index:
continue
print("{}到{}的最短距离为{}，最优路径为-->{}".format(
self.vertex[index], self.vertex[i], self.dis[i], self.path[i]))
if __name__ == '__main__':
vertex = ['A', 'B', 'C', 'D', 'E', 'F', 'G']
weight = [[np.inf, 5, 7, np.inf, np.inf, np.inf, 2],
[5, np.inf, np.inf, 9, np.inf, np.inf, 3],
[7, np.inf, np.inf, np.inf, 8, np.inf, np.inf],
[np.inf, 9, np.inf, np.inf, np.inf, 4, np.inf],
[np.inf, np.inf, 8, np.inf, np.inf, 5, 4],
[np.inf, np.inf, np.inf, 4, 5, np.inf, 6],
[2, 3, np.inf, np.inf, 4, 6, np.inf]]
graph = Graph(vertex, weight)
graph.djs(2)
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