最短路径算法之Dijkstra(迪杰斯特拉)

Dijkstra算法

迪杰斯特拉(Dijkstra)是典型的最短路径算法,顾名思义就是从一个点出发,到达另一个点的最短路径。

算法原理

例如,我们以一个案例来讲解他的算法原理。
最短路径算法之Dijkstra(迪杰斯特拉)_第1张图片

大体的思想是:每次选择一个未被访问过、并且最短距离最短的点作为访问顶点,然后访问各个顶点,让访问顶点作为新的路径,到各个顶点之间的最短距离与各个顶点原本的最短距离进行比较,发现距离更短则然后进行路径更新。
一、 首先,我们需要初始化几个必要的东西:

  1. dis = [inf, inf, inf, inf, inf, inf, inf] # 记录出发顶点到其他各个顶点的最短累计距离,inf表示无穷大
  2. pre = [-1, -1, -1, -1, -1, -1, -1] # 记录出发顶点到其他各个顶点的前驱顶
  3. visited = [false, false, false, false, false, false, false] # 记录每个顶点是否已经访问过
  4. path = [[], [], [], [], [], [], []] # 记录出发顶点到其他各个顶点的最短路径

二、 A-G对应0-6。假如,我们要从G点出发,那么:
dis = [inf, inf, inf, inf, inf, inf, 0],其实就是G自己到自己的距离是0。visited = [false, false, false, false, false, false, true];

三、 接下来,从G开始访问各个顶点,进行我们的第一步遍历更新了:
我们以A为例子,原本到A点的最短距离为dis[0],即为inf,那么如果是以G为访问顶点,G到A的最短距离应该就是G的最短距离+G与A间的距离即dis[6]+weight[6][0](weight是各个顶点之间的距离矩阵),发现从G到A的最短距离更短,那么就会进行更新:
a. 更新A的最短距离,dis[0] = dis[6]+weight[6][0] = 2
b. 更新A的前驱顶点为G,pre[0] = 6;
c. 更新A的最短路径,即更换为G的最短路径,然后加上自己,path[0] = path[6] + 0 = [6, 0]
然后其他的点也是同理进行更新,最后的结果应该就是:
dis = [2, 3, inf, inf, 4, 6, 0]
pre = [6, 6, -1, -1, 6, 6, -1]
path = [[6, 0], [6, 1], [], [], [6, 4], [6, 5], []]

四、进行一轮更新之后,就需要更换访问顶点了。按照我们的思路:选择一个未被访问过、并且最短距离最短的点作为访问顶点。发现A的最短距离最短,那么就选择A为访问顶点,然后按照步骤三的方法再进行一轮更新;

五、 重复步骤三、四。我们总共有7个点,那么迭代6次就可以完成所有的更新了。

代码实现

import numpy as np


class Graph:

    def __init__(self, vertex, weight):
        self.vertex = vertex
        self.weight = weight

        self.dis = None  # 记录出发顶点到其他各个顶点的最短累计距离
        self.pre = None  # 记录出发顶点到其他各个顶点的前驱顶点
        self.visited = None  # 记录每个顶点是否已经访问过
        self.path = None  # 记录出发顶点到其他各个顶点的最短路径

    def init(self, index):
        """
        初设化Dijkstra算法
        :param index: 出发顶点
        :return:
        """
        self.dis = np.full([len(self.vertex), ], np.inf)
        self.pre = [-1] * len(self.vertex)
        self.visited = [False] * len(self.vertex)
        self.path = [[] for i in range(len(self.vertex))]

        self.dis[index] = 0
        self.visited[index] = True
        self.path[index].append(self.vertex[index])

    def djs(self, index, show=True):
        """
        Dijkstra算法的执行方法:以index为出发顶点,计算index达到其他各个顶点的最短距离
        :param show:
        :param index:
        :return:
        """
        start_index = index
        self.init(index)
        self.update(index)
        for i in range(1, len(self.vertex)):
            index = self.update_vertex()
            self.update(index)
        if show:
            self.show_djs(start_index)

    def update(self, index):
        """
        以index为访问顶点,更新每个顶点的前驱顶点和累计距离
        :param index:
        :return:
        """
        for i in range(len(self.vertex)):
            length = self.dis[index] + self.weight[index][i]
            # 当遇到能够能以更短距离达到自己的出发顶点时,则进行更新
            if (length < self.dis[i]) & (not self.visited[i]):
                self.pre[i] = index  # 更换前驱节点
                self.dis[i] = length  # 更换累计距离
                # 更换路径
                self.path[i] = self.path[index].copy()  # 前驱节点的最优路径
                self.path[i].append(self.vertex[i])  # 再加上自己

    def update_vertex(self):
        """
        更新下次的访问顶点
        :return:
        """
        dis = np.inf
        index = 0
        for i in range(len(self.vertex)):
            if (not self.visited[i]) & (dis > self.dis[i]):
                dis = self.dis[i]
                index = i
        self.visited[index] = True
        return index

    def show_djs(self, index):
        """
        打印Dijkstra算法的结果:出发顶点到各个顶点的最短距离和最优路径
        :param index:
        :return:
        """
        for i in range(len(self.vertex)):
            if i == index:
                continue
            print("{}到{}的最短距离为{},最优路径为-->{}".format(
                self.vertex[index], self.vertex[i], self.dis[i], self.path[i]))


if __name__ == '__main__':
    vertex = ['A', 'B', 'C', 'D', 'E', 'F', 'G']
    weight = [[np.inf, 5, 7, np.inf, np.inf, np.inf, 2],
            [5, np.inf, np.inf, 9, np.inf, np.inf, 3],
            [7, np.inf, np.inf, np.inf, 8, np.inf, np.inf],
            [np.inf, 9, np.inf, np.inf, np.inf, 4, np.inf],
            [np.inf, np.inf, 8, np.inf, np.inf, 5, 4],
            [np.inf, np.inf, np.inf, 4, 5, np.inf, 6],
            [2, 3, np.inf, np.inf, 4, 6, np.inf]]
    graph = Graph(vertex, weight)
    graph.djs(2)

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