Tarjan缩点(复习整理)

• 若两顶点间至少存在一条路径，则称两个顶点强连通。
• 若有向图G中每两个顶点都强连通，则称G为强连通图。
• 非强连通图中的极大强连通子图称为强连通分量。
• Tarjan算法本质上是一种dfs。
• dfn[i]:dfs时被遍历的次序(时间戳)。
• low[i]:最早能回溯到的栈中的点的时间戳。
• stack[i]:判断i点是否在栈中。
• dindex:时间戳，stop:栈顶。
• 强连通分量中的点在栈中必定是连续一段。如果一个点x无法回溯到在它之前且在栈中的点，假设它的头顶上还有点，这些点的low值为x或者连接点(连接的连接…)的low为x（如果不是，1.是自己，在此之前已经弹出；2.是其它栈中点，首先不会是在x与它之间点y，因为y会比x更早被判断弹出（low[y]=dfn[y]）,关于y的其它情况同上同下，如果是在x底下，那"x无法回溯到在它之前且在栈中的点"这一条件就不成立了）。这一切都源于tarjan算法本质为dfs!
  
• 如果判断条件改为改成low[x]
• tarjan算法

void tarjan(int x)
{
	dfn[x]=low[x]=++dindex;
	instack[x]=true;
	stap[++stop]=x;
	for(int i=last[x];i;i=e[i].next)
	{
		int v=e[i].v;
		if(!dfn[v])
		{
			tarjan(v);
			low[x]=min(low[x],low[v]);
		}
		else if(instack[v]&&low[x]>dfn[v])//经测试low[x]>low[v]也可，对应上述多次连接的情况
		low[x]=dfn[v];
	}
	int j;
	if(dfn[x]==low[x])
	{
		bcnt++;//缩点后的点编号
		do{
			 j=stap[stop--];
			belong[j]=bcnt;
			instack[j]=false;
			powe[bcnt]+=dian[j];//权值和
		}
		while(j!=x);
	}
}

• 将缩点完成后的DAG图练成一个强连通图：假设入度为零的点数为a，出度为零的点数为b,所需要的最小边数为max(a,b);若原图已经强连通，所需要的边数为0.
• tarjan给出了反拓扑序，不需要再额外topsort。