VST变换

VST

通常的图像去噪算法常常假设图像的噪声模型为一个加性噪声模型，并且噪声假设为高斯白噪声，即
$$s(x)=s_0(x)+n(x)$$
这里$x$为信号的索引坐标，在图像中常常用二维的坐标来索引$s_0$为原始信号，$s$为观测信号，$n$为噪声，并且$n\sim N(0,{\sigma }^2)$。如下流程图所示：

然而在现实的物理过程中，有许多需要去噪的过程并不是仅仅被高斯噪声所干扰，针对这样的过程，一类处理方法是对噪声进行重新建模，并且根据新建模的噪声设计特定的去噪过程，另一类处理方法是将新建模的噪声过程转换成高斯白噪声，然后采用已经研究过的针对高斯白噪声有效的去噪算法，两种方法各有优劣，但是第二种方法有两个好处，其一直方便模块化，第二是直接利用现有的去噪算法，避免重新投入资源尽心开发，节约时间和研发成本。这个将特定噪声转换成高斯白噪声的过程我们称之为VST，其反过程是将去噪后的信号转换到原始分布，称之为inverse VST。上述整体流程如下图所示：

针对于CCD/CMOS成像系统，观测信号通常建模为泊松-高斯联合分布，其中高斯噪声对应于感光器件本身的噪声，而泊松过程对应于光子打到感光器件上这样一个计数过程，二者相互独立，构成成像系统整体的噪声建模。如上图中的第一个流程图所示。
泊松-高斯联合过程的建模和参数估计不是本文的重点，稍后会有另一片文档详细介绍其建模过程和参数估计方法，本文的侧重点是在知道了泊松高斯联合分布的参数之后，如何将其变换一个稳定高斯噪声（即VST），以及在去完噪声之后如何通过一个反变换转换到原始信号（即inverse VST）.

1.VST过程
泊松-高斯联合分布的建模如下式所示：
$$s(x)=\alpha p(s_0(x))+n(x)$$
其中$\alpha$为增益，$n$为均值为$m$，标准差为$\sigma$的高斯分布，$p$为依赖于信号的泊松分布，其参数为${\lambda }_0$.
为了方便，我们在下面的推导过程中省去索引坐标$x$.
我们的目标是寻找一个变换$y=f(s)$使得其方差与原始信号$s$无关。从信号的建模公式可知，其方差为$Var(s)={\sigma }^2+{\alpha }^2{\lambda }_0$，假设信号$s$变化足够小，在$s$的一个小区域内一次逼近就能够达到足够小的误差，那么$s$与$f(s)$的方差关系为$Var(f)=(\frac{df}{fs}{)}^{2}Var(s)$，不失一般性，设$Var(f)=1$，那么
$$\frac{df}{ds}=\frac{1}{\sqrt{{\sigma }^2+{\alpha }^2{m}_0}}$$
做一个简单的一阶逼近，$\alpha m_0=x-g$，于是又
$$\frac{df}{ds}=\frac{1}{\sqrt{{\alpha }^2-\alpha g+\alpha s}}$$
经过简单的变量替换，容易求得上述微分方程的解析解：
$$f(s)=\frac{2}{\alpha }\sqrt{\alpha s+{\sigma }^2-\alpha g}$$
上述推导过程是基于一个简单的线性逼近的假设基础上进行推导的。更一般的，我们希望寻找这样的一个变换，即$y=f(s)=\sqrt{s+c}$.这里需要用到级数展开的一系列理论。具体过程如下：
设$E(s)=m$,令$t=s-m$和$m^{{}^{\prime }}=m+c$.对$y$进行级数展开：
$$y=\sqrt{m^{{}^{\prime }}+t}=\sqrt{m^{{}^{\prime }}}[1+\frac{1}{2}\frac{t}{m^{{}^{\prime }2}}-\frac{1}{8}\frac{t^2}{m^{{}^{\prime }2}}+\frac{1}{16}\frac{t^3}{m^{{}^{\prime }3}}-\frac{5}{128}\frac{t^4}{m{}^{\prime }4}+\cdots ]$$
因此，
$$E(y)=\sqrt{m^{{}^{\prime }}+t}=\sqrt{m^{{}^{\prime }}}[1+-\frac{1}{8}\frac{{\mu }^2}{m^{{}^{\prime }2}}+\frac{1}{16}\frac{{\mu }^3}{m^{{}^{\prime }3}}-\frac{5}{128}\frac{{\mu }^4}{m{}^{\prime }4}+\cdots ]$$
这里${\mu }_i$为随机变量$t$的$i$阶中心距
$$E^2(y)=m^{{}^{\prime }}[1-\frac{m{u}_2}{4m^{{}^{\prime }2}}+\frac{{\mu }_3}{8m^{{}^{\prime }3}}-\frac{4{\mu }_4}{64m^{{}^{\prime }4}}+\frac{{\mu }_2^2}{64m^{{}^{\prime }4}}+\cdots ]$$
于是：
$$Var(y)=\frac{m_2}{4m^{{}^{\prime }}}-\frac{{\mu }_3}{8m^{{}^{\prime }2}}-\frac{{\mu }_2^2-5{\mu }_4}{64m^{{}^{\prime }3}}+\cdots$$
为了推导上述方差的解析解，有必要对级数中的分子（各阶中心距）和分母进行各自推导
通过对泊松-高斯联合分布的特征函数进行研究，不难推断出
二阶矩
$${\mu }_2={\sigma }^2+{\alpha }^2{m}_0$$
三阶距
$${\mu }_3=m_3-3m_1{m}_2+2m_1^3={\alpha }^3{m}_0$$
四阶距
$${\mu }_4={\alpha }^4{m}_0+3({\sigma }^2+{\alpha }^2{m}_0{)}^2$$
由于$m^{{}^{\prime }}=m+c$，
$$\frac{1}{m^{{}^{\prime }}}=\frac{1}{m}[1-\frac{c}{m}+\frac{c^2}{m^2}+\cdots ]$$
$$\frac{1}{m^{{}^{\prime }2}}=\frac{1}{m^2}[1-2\frac{c}{m}+3\frac{c^2}{m^2}+\cdots ]$$
$$\frac{1}{m^{{}^{\prime }3}}=\frac{1}{m^3}[1-3\frac{c}{m}+\cdots ]$$
将上述公式代入方差$Var(y)$，可以推出
$$V=\frac{\alpha }{4}+\frac{{\sigma }^2-\alpha g-c\alpha }{4m}-\frac{{\alpha }^2}{8m}+\frac{14{\alpha }^2}{64m}+\cdots$$
忽略高阶无穷小量，于是有
$$V=\frac{\alpha }{4}+\frac{16({\sigma }^2-\alpha g)-16c\alpha +6{\sigma }^2}{64m}$$
为了让$V$与$m$无关，上式中第二项必须为零，于是有
$$c=\frac{3}{8}\alpha +\frac{{\sigma }^2-\alpha g}{\alpha }$$
此时方差为$\alpha /4$，将$c$带入，并归一化得到
$$t=\frac{2}{\alpha }\sqrt{\alpha s+\frac{3}{8}{\alpha }^2+{\sigma }^2-\alpha g}$$
至此，便推出了Poission-Gaussian联合分布的VST变换公式。

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参考文献：

1. Image Processsing and data analysis
2. Optimal inversion of the generalized Anscombe transformation for Poisson-Gaussian noise