VST变换

VST

通常的图像去噪算法常常假设图像的噪声模型为一个加性噪声模型,并且噪声假设为高斯白噪声,即
s ( x ) = s 0 ( x ) + n ( x ) s(x) = s_0(x)+n(x) s(x)=s0(x)+n(x)
这里 x x x为信号的索引坐标,在图像中常常用二维的坐标来索引 s 0 s_0 s0为原始信号, s s s为观测信号, n n n为噪声,并且 n ∼ N ( 0 , σ 2 ) n\sim {N(0,\sigma^2)} nN(0,σ2)。如下流程图所示:
VST变换_第1张图片

然而在现实的物理过程中,有许多需要去噪的过程并不是仅仅被高斯噪声所干扰,针对这样的过程,一类处理方法是对噪声进行重新建模,并且根据新建模的噪声设计特定的去噪过程,另一类处理方法是将新建模的噪声过程转换成高斯白噪声,然后采用已经研究过的针对高斯白噪声有效的去噪算法,两种方法各有优劣,但是第二种方法有两个好处,其一直方便模块化,第二是直接利用现有的去噪算法,避免重新投入资源尽心开发,节约时间和研发成本。这个将特定噪声转换成高斯白噪声的过程我们称之为VST,其反过程是将去噪后的信号转换到原始分布,称之为inverse VST。上述整体流程如下图所示:

VST变换_第2张图片

针对于CCD/CMOS成像系统,观测信号通常建模为泊松-高斯联合分布,其中高斯噪声对应于感光器件本身的噪声,而泊松过程对应于光子打到感光器件上这样一个计数过程,二者相互独立,构成成像系统整体的噪声建模。如上图中的第一个流程图所示。
泊松-高斯联合过程的建模和参数估计不是本文的重点,稍后会有另一片文档详细介绍其建模过程和参数估计方法,本文的侧重点是在知道了泊松高斯联合分布的参数之后,如何将其变换一个稳定高斯噪声(即VST),以及在去完噪声之后如何通过一个反变换转换到原始信号(即inverse VST).

1.VST过程
泊松-高斯联合分布的建模如下式所示:
s ( x ) = α p ( s 0 ( x ) ) + n ( x ) s(x)=\alpha p(s_0(x))+n(x) s(x)=αp(s0(x))+n(x)
其中 α \alpha α为增益, n n n为均值为 m m m,标准差为 σ \sigma σ的高斯分布, p p p为依赖于信号的泊松分布,其参数为 λ 0 \lambda_0 λ0.
为了方便,我们在下面的推导过程中省去索引坐标 x x x.
我们的目标是寻找一个变换 y = f ( s ) y=f(s) y=f(s)使得其方差与原始信号 s s s无关。从信号的建模公式可知,其方差为 V a r ( s ) = σ 2 + α 2 λ 0 Var(s)=\sigma^2+\alpha^2\lambda_0 Var(s)=σ2+α2λ0,假设信号 s s s变化足够小,在 s s s的一个小区域内一次逼近就能够达到足够小的误差,那么 s s s f ( s ) f(s) f(s)的方差关系为 V a r ( f ) = ( d f f s ) 2 V a r ( s ) Var(f)=(\frac{df}{fs})^2Var(s) Var(f)=(fsdf)2Var(s),不失一般性,设 V a r ( f ) = 1 Var(f)=1 Var(f)=1,那么
d f d s = 1 σ 2 + α 2 m 0 \frac{df}{ds}=\frac{1}{\sqrt{\sigma^2+\alpha^2m_0}} dsdf=σ2+α2m0 1
做一个简单的一阶逼近, α m 0 = x − g \alpha m_0=x-g αm0=xg,于是又
d f d s = 1 α 2 − α g + α s \frac{df}{ds}=\frac{1}{\sqrt{\alpha^2-\alpha g + \alpha s}} dsdf=α2αg+αs 1
经过简单的变量替换,容易求得上述微分方程的解析解:
f ( s ) = 2 α α s + σ 2 − α g f(s)=\frac{2}{\alpha}\sqrt{\alpha s + \sigma^2-\alpha g} f(s)=α2αs+σ2αg
上述推导过程是基于一个简单的线性逼近的假设基础上进行推导的。更一般的,我们希望寻找这样的一个变换,即 y = f ( s ) = s + c y=f(s)=\sqrt{s+c} y=f(s)=s+c .这里需要用到级数展开的一系列理论。具体过程如下:
E ( s ) = m E(s)=m E(s)=m,令 t = s − m t=s-m t=sm m ′ = m + c m^{'}=m+c m=m+c.对 y y y进行级数展开:
y = m ′ + t = m ′ [ 1 + 1 2 t m ′ 2 − 1 8 t 2 m ′ 2 + 1 16 t 3 m ′ 3 − 5 128 t 4 m ′ 4 + ⋯   ] y=\sqrt{m^{'}+t}=\sqrt{m^{'}}[1+\frac{1}{2} \frac{t}{m^{'2}}-\frac{1}{8} \frac{t^2}{m^{'2}}+\frac{1}{16}\frac{t^3}{m^{'3}}-\frac{5}{128}\frac{t^4}{m{'4}}+\cdots] y=m+t =m [1+21m2t81m2t2+161m3t31285m4t4+]
因此,
E ( y ) = m ′ + t = m ′ [ 1 + − 1 8 μ 2 m ′ 2 + 1 16 μ 3 m ′ 3 − 5 128 μ 4 m ′ 4 + ⋯   ] E(y)=\sqrt{m^{'}+t}=\sqrt{m^{'}}[1+-\frac{1}{8} \frac{\mu^2}{m^{'2}}+\frac{1}{16}\frac{\mu^3}{m^{'3}}-\frac{5}{128}\frac{\mu^4}{m{'4}}+\cdots] E(y)=m+t =m [1+81m2μ2+161m3μ31285m4μ4+]
这里 μ i \mu_i μi为随机变量 t t t i i i阶中心距
E 2 ( y ) = m ′ [ 1 − m u 2 4 m ′ 2 + μ 3 8 m ′ 3 − 4 μ 4 64 m ′ 4 + μ 2 2 64 m ′ 4 + ⋯   ] E^2(y)=m^{'}[1-\frac{mu_2}{4m^{'2}}+\frac{\mu_3}{8m^{'3}}-\frac{4\mu_4}{64m^{'4}}+\frac{\mu_2^2}{64m^{'4}}+\cdots] E2(y)=m[14m2mu2+8m3μ364m44μ4+64m4μ22+]
于是:
V a r ( y ) = m 2 4 m ′ − μ 3 8 m ′ 2 − μ 2 2 − 5 μ 4 64 m ′ 3 + ⋯ Var(y)=\frac{m_2}{4m^{'}}-\frac{\mu_3}{8m^{'2}}-\frac{\mu_2^2-5\mu_4}{64m^{'3}}+\cdots Var(y)=4mm28m2μ364m3μ225μ4+
为了推导上述方差的解析解,有必要对级数中的分子(各阶中心距)和分母进行各自推导
通过对泊松-高斯联合分布的特征函数进行研究,不难推断出
二阶矩
μ 2 = σ 2 + α 2 m 0 \mu_2=\sigma^2+\alpha^2m_0 μ2=σ2+α2m0
三阶距
μ 3 = m 3 − 3 m 1 m 2 + 2 m 1 3 = α 3 m 0 \mu_3=m_3-3m_1m_2+2m_1^3=\alpha^3m_0 μ3=m33m1m2+2m13=α3m0
四阶距
μ 4 = α 4 m 0 + 3 ( σ 2 + α 2 m 0 ) 2 \mu_4=\alpha^4m_0+3(\sigma^2+\alpha^2m_0)^2 μ4=α4m0+3(σ2+α2m0)2
由于 m ′ = m + c m^{'}=m+c m=m+c
1 m ′ = 1 m [ 1 − c m + c 2 m 2 + ⋯   ] \frac{1}{m^{'}}=\frac{1}{m}[1-\frac{c}{m}+\frac{c^2}{m^2}+\cdots] m1=m1[1mc+m2c2+]
1 m ′ 2 = 1 m 2 [ 1 − 2 c m + 3 c 2 m 2 + ⋯   ] \frac{1}{m^{'2}}=\frac{1}{m^2}[1-2\frac{c}{m}+3\frac{c^2}{m^2}+\cdots] m21=m21[12mc+3m2c2+]
1 m ′ 3 = 1 m 3 [ 1 − 3 c m + ⋯   ] \frac{1}{m^{'3}}=\frac{1}{m^3}[1-3\frac{c}{m}+\cdots] m31=m31[13mc+]
将上述公式代入方差 V a r ( y ) Var(y) Var(y),可以推出
V = α 4 + σ 2 − α g − c α 4 m − α 2 8 m + 14 α 2 64 m + ⋯ V=\frac{\alpha}{4}+\frac{\sigma^2-\alpha g -c\alpha}{4m}-\frac{\alpha^2}{8m}+\frac{14\alpha^2}{64m}+\cdots V=4α+4mσ2αgcα8mα2+64m14α2+
忽略高阶无穷小量,于是有
V = α 4 + 16 ( σ 2 − α g ) − 16 c α + 6 σ 2 64 m V=\frac{\alpha}{4}+\frac{16(\sigma^2-\alpha g)-16c\alpha+6\sigma^2}{64m} V=4α+64m16(σ2αg)16cα+6σ2
为了让 V V V m m m无关,上式中第二项必须为零,于是有
c = 3 8 α + σ 2 − α g α c=\frac{3}{8}\alpha + \frac{\sigma^2-\alpha g}{\alpha} c=83α+ασ2αg
此时方差为 α / 4 \alpha / 4 α/4,将 c c c带入,并归一化得到
t = 2 α α s + 3 8 α 2 + σ 2 − α g t=\frac{2}{\alpha}\sqrt{\alpha s + \frac{3}{8}\alpha^2+\sigma^2-\alpha g} t=α2αs+83α2+σ2αg
至此,便推出了Poission-Gaussian联合分布的VST变换公式。


参考文献:

  1. Image Processsing and data analysis
  2. Optimal inversion of the generalized Anscombe transformation for Poisson-Gaussian noise

VST变换_第3张图片

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