【贪心算法】Huffman编码

问题描述

有一组字符集{c1, c2, …, cn}，在使用这组字符集的过程中，通过统计发现每个字符都有其相应的出现频率，假设对应的频率为{f1, f2, …, fn}。现在需要对这些字符进行二进制编码，我们希望的编码结果如下：每个字符都有其独一无二的编码；编码长度是变长的，频率大的字符使用更少的二进制位进行编码，频率小的字符则使用比较多的二进制位进行编码，使得最终的平均编码长度达到最短；每个字符的编码都有特定的前缀，一个字符的编码不可能会是另一个字符的前缀，这样我们可以在读取编码时，当读取的二进制位可以对应一个字符时，就读取出该字符。举个例子，假如我们有字符集{‘a’, ‘b’, ‘c’}，字符’a’的编码为001，字符’b’的编码为010，那么此时c的编码不能为00或者01，这样我们才能识别’a’和’c’或者’b’和’c’。

算法描述

上述问题可以使用Huffman编码来解决，Huffman编码实际上是一个贪心算法。在这个算法中，使用二叉树来表示前缀码，每个字符都是树的叶子结点，非叶子结点则不代表任何字符。将每个字符构造成结点形成结点集S，每次都从结点集S中选出频率最低的两个结点x和y作为子节点进行建树，为这两个子结点构造一个父节点，父节点不保存任何字符，父节点的频率为两个子节点频率之和，将两个子节点从S中移走，将父节点加入S中。不断迭代下去，直到S只剩一个结点时，这个结点就是树的根节点。这样我们就得到了一棵Huffman树，整个过程就是一个自底向上的建树过程。由于从根节点到每个叶子节点有且仅有一条路径，所以，每个叶子的路径都是不一样的，唯一的。我们把从根节点到叶子节点的路径记录下来，便可作为叶子节点上字符的编码。初始化编码为空，从根节点开始，往左走则编码加0，往右走则编码加1，具体展示图如下所示：

建树过程的伪代码如下：

给定字符集C={c1,c2,...,cn}，每个字符ci都有相应的频率fi
根据字符集构建结点集S={s1,s2,...,sn}，每个结点si保存有字符ci和频率fi的信息
while |S| != 1 do
  取出S中频率最小的两个结点x和y;
  构造父节点z;
  z.f = x.f + y.f;
  z.c = undefined;
  z.left = x;
  z.right = y;
  将x和y从S中移走，将z加入S;
endWhile
此时S[0]就是根节点，返回根节点

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最后整个Huffman编码过程的C++实现如下(建树+编码)：

#include 
#include 
#include 
#include 

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