力扣（LeetCode） 53.最大子数组和 动态规划解决

力扣（LeetCode） 53.最大子数组和

53. 最大子数组和
    给你一个整数数组 nums ，请你找出一个具有最大和的连续子数组（子数组最少包含一个元素），返回其最大和。
    子数组 是数组中的一个连续部分。

示例 1：

输入：nums = [-2,1,-3,4,-1,2,1,-5,4]
输出：6
解释：连续子数组 [4,-1,2,1] 的和最大，为 6 。

示例 2：

输入：nums = [1]
输出：1

示例 3：

输入：nums = [5,4,-1,7,8]
输出：23
提示：
1 <= nums.length <= 105
-104 <= nums[i] <= 104

来源：力扣（LeetCode）
链接：https://leetcode-cn.com/problems/maximum-subarray
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解题思路

数组都会有最后一个元素，我们从最后一个元素入手。
dp[i]表示以nums[i]结尾的最大子数组的和，
以数组nums = [-2 , 1 , -3 , 4 , -1 , 2 , 1 , -5 , 4]为例，

• 当以nums[0]结尾时，最大子数组的和dp[0] = nums[0] = -2;
• 当以nums[1]结尾时，最大子数组的和dp[1] = nums[1] = 1;
• 当以nums[2]结尾时，最大子数组的和dp[2] = nums[2] + dp[2 - 1] = -2;
• 当以nums[3]结尾时，最大子数组的和dp[3] = nums[3] = 4;
• 当以nums[4]结尾时，最大子数组的和dp[4] = nums[4] + dp[4 - 1] = 3;
• 当以nums[5]结尾时，最大子数组的和dp[5] = nums[5] + dp[5 - 1] = 5;
• 当以nums[6]结尾时，最大子数组的和dp[6] = nums[6] + dp[6 - 1] = 6;
• 当以nums[7]结尾时，最大子数组的和dp[7] = nums[7] + dp[7 - 1] = 1;
• 当以nums[8]结尾时，最大子数组的和dp[8] = nums[8] + dp[8 - 1] = 5;
  选出dp数组中最大的值，最大为dp[6] = 6;
  

从上面我们可以得到规律，如果dp[i - 1] < 0时,dp[i] = nums[i],否则dp[i] = nums[i] + dp[i - 1]。
所以得到状态转移方程：dp[i] = max(nums[i], nums[i] + dp[i - 1]);
代码如下：

代码

class Solution {
    public int maxSubArray(int[] nums) {
        if(nums.length == 0)
            return 0;
        int max;
        int[] dp  = new int[nums.length];
        dp[0] = nums[0];
        max = nums[0];
        for(int i = 1; i < nums.length; i++){
            dp[i] = Math.max(nums[i], nums[i] + dp[i - 1]);
            max = Math.max(max, dp[i]);
        }
        return max;
    }
}

此方法时间复杂度O(n)，空间复杂度O(n)。

简化代码

上面代码中我们发现求dp[i]时，不会用到nums[i - 1]，所以我们可以用nums[i]来存取dp[i]的值，以此来降低空间复杂度。

class Solution {
    public int maxSubArray(int[] nums) {
        if(nums.length == 0)
            return 0;
        int m = nums[0];
        for(int i = 1; i < nums.length; i++){
            nums[i] = Math.max(nums[i], nums[i] + nums[i - 1]);
            m = Math.max(m, nums[i]);
        }
        return m;
    }
}

此方法时间复杂度O(n)，空间复杂度O(1)。