zoj2676 Network Wars 0-1分数规划
胡伯涛论文《最小割模型在信息学竞赛中的应用》中详细介绍了分数规划思想的应用。经典的有最优比率生成树。
对于分数规划的应用中，常用的就是0-1分数规划，即解向量X = {x1, ……,xi, ……}, 对于∀xi∈{0,1}。
主要求解过程是，首先将原分式优化问题，转换成非分式优化问题，利用单调的性质，用二分逼近的方法找到最优解。
题目要求最后能够截得信息，即求某个割，使得c/k最小。
这一题可以将问题转化为最小割，求c/k的最小值，即求sum(xi * ci) / sum(xi * 1)的最小值，(xi == 0 || xi == 1)
设ans = sum(xi * ci) / sum(xi * 1)
则 sum(xi * ci) - ans * sum(xi * 1) = 0
即 sum(xi * (ci - ans)) = 0;
令F(x) = sum(xi * (ci - ans)); 对于一定值ans，函数为单调递减的。
对于正解ANS, F(x) = 0;
则可以推出：
如果 F(x) = 0 那么 ans = ANS
如果 F(x) < 0 那么 ans > ANS
如果 F(x) > 0 那么 ans < ANS
用二分的方法逼近答案，令COST = ci - ans，作为第i条边的新花费，求得最小割ans进行验证即可。
代码
1
/*
2
*zoj2676 0--1分数规划
3
* 双向边, 加边的时候要加双容量
4
*/
5
#include
<
stdio.h
>
6
#include
<
string
.h
>
7
#define
INF 0x3fffffff
8
#define
EPS 1e-6
9
#define
NN 104
10
#define
MM 804
11
12
int
x[MM], y[MM];
13
double
c[MM];
14
int
mark[NN];
15
16
typedef
struct
node {
17
int
v;
18
double
w;
19
struct
node
*
nxt,
*
op;
20
} NODE;
21
NODE edg[MM];
22
NODE
*
Link[NN];
23
int
h[NN];
24
int
num[NN];
25
26
int
M, N, idx, S, T, n;
//
S 表示源点，T表示汇点，n表示节点个数
27
28
void
Add(
int
u,
int
v,
double
c1) {
29
idx
++
;
30
edg[idx].v
=
v;
31
edg[idx].w
=
c1;
32
edg[idx].nxt
=
Link[u];
33
edg[idx].op
=
edg
+
idx
+
1
;
34
Link[u]
=
edg
+
idx;
35
idx
++
;
36
edg[idx].v
=
u;
37
edg[idx].w
=
c1;
//
刚开始把无向边处理成有向边了，杯具
38
edg[idx].nxt
=
Link[v];
39
edg[idx].op
=
edg
+
idx
-
1
;
40
Link[v]
=
edg
+
idx;
41
}
42
43
double
Min(
double
a,
double
b) {
44
return
a
<
b
?
a : b;
45
}
46
47
double
aug(
int
u,
double
flow) {
48
if
(u
==
T)
return
flow;
49
double
l
=
flow;
//
l表示剩余容量
50
int
tmp
=
n
-
1
;
51
for
(NODE
*
p
=
Link[u]; p; p
=
p
->
nxt) {
52
if
(h[u]
==
h[p
->
v]
+
1
&&
(p
->
w
>
EPS)) {
53
double
f
=
aug(p
->
v, Min(l, p
->
w));
54
l
-=
f;
55
p
->
w
-=
f;
56
p
->
op
->
w
+=
f;
57
if
(l
<
EPS
||
h[S]
==
n)
return
flow
-
l;
//
gap
58
}
59
if
(p
->
w
>
EPS
&&
h[p
->
v]
<
tmp) {
60
tmp
=
h[p
->
v];
61
}
62
}
63
if
(l
==
flow) {
64
num[h[u]]
--
;
//
gap
65
if
(num[h[u]]
==
0
) h[S]
=
n;
//
gap，每个点的距离值最多为n - 1，这里设为n 表示断层了
66
else
{
67
h[u]
=
tmp
+
1
;
68
num[h[u]]
++
;
//
gap
69
}
70
}
71
return
flow
-
l;
72
}
73
74
void
Init() {
75
idx
=
0
;
76
S
=
1
;
77
T
=
N;
78
n
=
N;
79
memset(Link,
0
,
sizeof
(Link));
80
}
81
82
/*
n表示总点的个数，包括源点和汇点
*/
83
double
sap() {
84
double
ans
=
0
;
85
memset(h,
0
,
sizeof
(h));
86
memset(num,
0
,
sizeof
(num));
87
num[
0
]
=
n;
88
while
(h[S]
<
n) {
89
ans
+=
aug(S, INF);
90
}
91
return
ans;
92
}
93
94
double
Binary() {
95
double
low, hig, mid;
96
double
flow;
97
int
i;
98
low
=
0
;
99
hig
=
10000001
;
100
do
{
101
mid
=
(low
+
hig)
/
2
;
102
Init();
103
flow
=
0
;
104
for
(i
=
1
; i
<=
M; i
++
) {
105
if
(c[i]
+
EPS
<
mid) {
//
因为求得是最小割，所以所有负边可以直接加入
106
flow
+=
c[i]
-
mid;
107
}
else
{
108
Add(x[i], y[i], c[i]
-
mid);
//
对正边求最大流
109
}
110
}
111
flow
+=
sap();
112
if
(flow
>
EPS) {
113
low
=
mid;
114
}
else
{
115
hig
=
mid;
116
}
117
}
while
(low
+
EPS
<
hig);
118
return
mid;
119
}
120
121
void
dfs(
int
u){
//
所有能搜到的点，即为割[S,T]中S集合的点
122
for
(NODE
*
p
=
Link[u]; p; p
=
p
->
nxt){
123
if
(p
->
w
>
EPS
&&
!
mark[p
->
v]){
124
mark[p
->
v]
=
1
;
125
dfs(p
->
v);
126
}
127
}
128
}
129
void
Solve(){
130
int
i, first;
131
double
rat
=
Binary();
//
参数搜索，得到最小比率值
132
memset(mark,
0
,
sizeof
(mark));
133
mark[S]
=
1
;
134
dfs(S);
135
//
求割边数
136
int
ans
=
0
;
137
for
(i
=
1
; i
<=
M; i
++
){
138
if
(c[i]
+
EPS
<
rat
||
(mark[x[i]]
+
mark[y[i]])
==
1
){
139
ans
++
;
140
}
141
}
142
printf(
"
%d\n
"
, ans);
143
//
输出割边
144
first
=
1
;
145
for
(i
=
1
; i
<=
M; i
++
){
146
if
(c[i]
+
EPS
<
rat
||
(mark[x[i]]
+
mark[y[i]])
==
1
){
147
if
(first){
148
printf(
"
%d
"
, i);
149
first
=
0
;
150
}
else
printf(
"
%d
"
, i);
151
}
152
}
153
puts(
""
);
154
}
155
int
main() {
156
int
i;
157
int
first
=
1
;
158
while
(scanf(
"
%d%d
"
,
&
N,
&
M)
!=
EOF) {
159
if
(
!
first) puts(
""
);
160
first
=
0
;
161
for
(i
=
1
; i
<=
M; i
++
) {
162
scanf(
"
%d%d%lf
"
,
&
x[i],
&
y[i],
&
c[i]);
163
}
164
Solve();
165
}
166
return
0
;
167
}
168