【蓝桥杯】包子凑数:DP+数论(扩欧)

最近发现蓝桥杯一个比较有意思的题目,看了各种大佬的文章,得出了一点思路
题面:
小明几乎每天早晨都会在一家包子铺吃早餐。他发现这家包子铺有N种蒸笼,其中第i种蒸笼恰好能放Ai个包子。每种蒸笼都有非常多笼,可以认为是无限笼。

每当有顾客想买X个包子,卖包子的大叔就会迅速选出若干笼包子来,使得这若干笼中恰好一共有X个包子。比如一共有3种蒸笼,分别能放3、4和5个包子。当顾客想买11个包子时,大叔就会选2笼3个的再加1笼5个的(也可能选出1笼3个的再加2笼4个的)。

当然有时包子大叔无论如何也凑不出顾客想买的数量。比如一共有3种蒸笼,分别能放4、5和6个包子。而顾客想买7个包子时,大叔就凑不出来了。

小明想知道一共有多少种数目是包子大叔凑不出来的。

输入:
第一行包含一个整数N。(1≤N≤100)

以下N行每行包含一个整数Ai。(1≤Ai≤100)

输出
一个整数代表答案。如果凑不出的数目有无限多个,输出INF。

样例1:
2
4
5

6
样例2:
2
4
6

INF

样例解释:
对于样例1来说:1,2,3,6,7,11都凑不出来
样例2:凑不出来的数字太多了!
题目分析:

1.想到凑数问题,第一反应就是扩展欧几里得定理

ax+by=m
如果这个方程x,y,有解,那么求出来的m必定是gcd(a,b)的倍数 (详见扩展欧几里得-贝祖定理)

由此我们可以联想出,如果gcd(a,b)!=1,则此时,m此时就绝对凑不出来所有的数字(如果gcd(a,b)=2,那么他只能凑出2的倍数)所以只要不互质,直接输出INF即可!

2.如果几个数互质,该怎么继续处理
互质就一定能凑出所有数字吗,也不是的
这里引用一个数论里的结论 (数论)设自然数a,b互质,则不能表示成ax+by(x,y为非负整数)的最大整数是ab - a - b

这个定理的证明有些繁琐:(详见数论内容)
有了这个定理,我们可以知道互质并不能凑出所有的数字,并且可以控制我们接下来dp的范围!

3. 因为包子笼可以无限次的选择:
所以我们可以对于互质的情况使用完全背包来进行解决
跟我们平时做的完全背包有区别的就是,他的限制条件不同,(正常的背包会限制,最大重量,体积,。。。)
这里的限制条件起始就是上述 的ab-a-b即可,因为只要超过这个数字,后面的必然都能凑出来,所以我们DP的数字MAXN只需要开到 100*99-99-100左右即可
(题中的数据范围)

4完全背包:
我们用 true表示可以凑出来,false表示凑不出来
然后开始状态转移即可
(完全背包可以用1维也可以用2维,但是1维的范围比2维要大)
最后遍历一次DP数组,找出几个0就可以了!

#include
using namespace std;
int n;
const int maxn=1e4+5;
bool dp[maxn];
int a[maxn];
int gcd(int a,int b)
{
    return b?gcd(b,a%b):a;
}
int main()
{
    cin>>n;
    int d=0;
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        cin>>a[i];
        d=gcd(d,a[i]);
    }
    if(d!=1)    
	printf("INF"); 
    else
    {
        dp[0]=true;
        for(int i=1;i<=n;i++) 
        {
            for(int j=a[i];j<=maxn;j++)
            {
                    dp[j]|=dp[j-a[i]];		 
            }
        }
        int ANS=0;
        for(int i=1;i<=maxn;i++)
            if(!dp[i])
                ANS++;
        cout<

2021/4/11,
疾风亦有归途!

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