【蓝桥杯】包子凑数：DP+数论（扩欧）

最近发现蓝桥杯一个比较有意思的题目，看了各种大佬的文章，得出了一点思路
题面：
小明几乎每天早晨都会在一家包子铺吃早餐。他发现这家包子铺有N种蒸笼，其中第i种蒸笼恰好能放Ai个包子。每种蒸笼都有非常多笼，可以认为是无限笼。

每当有顾客想买X个包子，卖包子的大叔就会迅速选出若干笼包子来，使得这若干笼中恰好一共有X个包子。比如一共有3种蒸笼，分别能放3、4和5个包子。当顾客想买11个包子时，大叔就会选2笼3个的再加1笼5个的（也可能选出1笼3个的再加2笼4个的）。

当然有时包子大叔无论如何也凑不出顾客想买的数量。比如一共有3种蒸笼，分别能放4、5和6个包子。而顾客想买7个包子时，大叔就凑不出来了。

小明想知道一共有多少种数目是包子大叔凑不出来的。

输入：
第一行包含一个整数N。(1≤N≤100)

以下N行每行包含一个整数Ai。(1≤Ai≤100)

输出
一个整数代表答案。如果凑不出的数目有无限多个，输出INF。

样例1：
2
4
5

6
样例2：
2
4
6

INF

样例解释：
对于样例1来说：1，2，3，6，7，11都凑不出来
样例2：凑不出来的数字太多了！
题目分析：

1.想到凑数问题，第一反应就是扩展欧几里得定理

ax+by=m
如果这个方程x,y,有解，那么求出来的m必定是gcd(a,b)的倍数 （详见扩展欧几里得-贝祖定理）

由此我们可以联想出，如果gcd(a,b)!=1，则此时，m此时就绝对凑不出来所有的数字(如果gcd(a,b)=2,那么他只能凑出2的倍数）所以只要不互质，直接输出INF即可！

2.如果几个数互质，该怎么继续处理
互质就一定能凑出所有数字吗，也不是的
这里引用一个数论里的结论 （数论）设自然数a，b互质，则不能表示成ax+by（x，y为非负整数）的最大整数是ab - a - b

这个定理的证明有些繁琐：（详见数论内容）
有了这个定理，我们可以知道互质并不能凑出所有的数字，并且可以控制我们接下来dp的范围！

3. 因为包子笼可以无限次的选择：
所以我们可以对于互质的情况使用完全背包来进行解决
跟我们平时做的完全背包有区别的就是，他的限制条件不同，（正常的背包会限制，最大重量，体积，。。。）
这里的限制条件起始就是上述 的ab-a-b即可，因为只要超过这个数字，后面的必然都能凑出来，所以我们DP的数字MAXN只需要开到 100*99-99-100左右即可
（题中的数据范围）

4完全背包：
我们用 true表示可以凑出来,false表示凑不出来
然后开始状态转移即可
（完全背包可以用1维也可以用2维，但是1维的范围比2维要大）
最后遍历一次DP数组，找出几个0就可以了！

#include
using namespace std;
int n;
const int maxn=1e4+5;
bool dp[maxn];
int a[maxn];
int gcd(int a,int b)
{
    return b?gcd(b,a%b):a;
}
int main()
{
    cin>>n;
    int d=0;
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        cin>>a[i];
        d=gcd(d,a[i]);
    }
    if(d!=1)    
	printf("INF"); 
    else
    {
        dp[0]=true;
        for(int i=1;i<=n;i++) 
        {
            for(int j=a[i];j<=maxn;j++)
            {
                    dp[j]|=dp[j-a[i]];		 
            }
        }
        int ANS=0;
        for(int i=1;i<=maxn;i++)
            if(!dp[i])
                ANS++;
        cout<

2021/4/11,
疾风亦有归途！