Unity3D 参数曲线 实现曲线上的匀速运动

环境：Unity2021.1.14 语言：C#

总起

本文源代码可以在https://github.com/anguangzhihen/TestOdinInspector中的TestCurve场景中找到。

Bezier曲线和Catmull-Rom曲线是工程中常见的曲线实现方式，他们本身原理十分简单，只是个多项式方程组，拿到公式带入就能实现。

Bezier曲线和Catmull-Rom曲线之间可以相互转换，所以本篇内容只针对Bezier曲线进行说明，Catmull-Rom本质上是一样的。

最近在工作中需要使用Bezier曲线来控制镜头运动，实现后在跟美术反复沟通后发现，他们想要时间曲线直接控制镜头的运动速度，但是现在Bezier的实现中传入参数t在曲线上运动是有快有慢的，这会造成美术在控制时间曲线时非常不直观。

因此保证传入参数使得能在曲线上匀速运动是非常重要的。

后面查了很多资料后发现了一种工业界常用的方案能解决该问题——参数曲线。

Bezier曲线

一般开发中最常用的Bezier曲线为三次方公式：

 具体实现也非常简单：

public static Vector3 GetBezierPoint(Vector3[] points, float t)
{
	Vector3 p0 = points[0];
	Vector3 p1 = points[1];
	Vector3 p2 = points[2];
	Vector3 p3 = points[3];

	float rest = (1f - t);
	Vector3 newPos = Vector3.zero;
	newPos += p0 * rest * rest * rest;
	newPos += p1 * t * 3f * rest * rest;
	newPos += p2 * 3f * t * t * rest;
	newPos += p3 * t * t * t;
	return newPos;
}

实现效果：

 

可以看到采样小球并不是均匀分布的。

而我们的目标就是获得一个函数t=f(s),使得传入的s保证是匀速运动的，s具体来说应该是曲线长度的百分比，最终目标就变成了获取弧长。

参数曲线

包括Bezier曲线的很多曲线都能表示为以下形式：

 使用Bezier曲线公式进行推导就能获得具体的A、B、C、D：

public static ParametricCurve CreateByBezier(Vector3[] points)
{
	ParametricCurve curve = new ParametricCurve();
	curve.points = points;
	curve.A = -1 * points[0] + 3 * points[1] - 3 * points[2] + points[3];
	curve.B = 3 * points[0] - 6 * points[1] + 3 * points[2];
	curve.C = -3 * points[0] + 3 * points[1];
	curve.D = points[0];
	return curve;
}

然后对该公式求导获取绝对值后，求0到t的积分就能获得从0到t处的弧长：

 积分的求解非常复杂，《数值分析》中对这块内容有详细介绍，我只是简单的学习了一下就不班门弄斧了。不过具体应用起来还是很方便的，我们这边采用Gauss-Legendre求积公式：

public float GetArcLength(float t)
{
	var halfT = t / 2f;

	float sum = 0f;
	foreach (var wx in gaussWX)
	{
		var w = wx[0];
		var x = wx[1];
        // 权值w乘以公式带入特定值x
		sum += w * GetPointDer(halfT * x + halfT).magnitude;
	}
	sum *= halfT;
	return sum;
}

获得了该公式后，我们实际已知的是s，而需要求t，这个时候使用牛顿迭代法迭代3、4次就可以快速的获得精确的t：

 其中t0是初始迭代值，t1是下一个迭代值，这边我们t0就直接选用s了：

public float S2T(float s)
{
	const int NEWTON_SEGMENT = 4;

	s = Mathf.Clamp01(s);
	float t = s;
	// 牛顿迭代法
	for (int i = 0; i < NEWTON_SEGMENT; i++)
	{
		t = t - (T2S(t) - s) / T2SDer(t);
	}
	return t;
}

结果：

 

参考

《微积分的本质》【官方双语/合集】微积分的本质 - 系列合集_哔哩哔哩_bilibili

《数值分析》第2版 Timothy Sauer

如何得到贝塞尔曲线的曲线长度和 t 的近似关系？ - 知乎