POJ1061（同余方程）

      当看完这道题时，觉得似曾相识。这道题跟不久前老师给我们出的那道题很像，一看就是解同余方程。其中还有欧几里得算法的应用。

      思路：两只青蛙跳一次所花费的时间相同，我们设其为t，则x+mt是青蛙A从坐标原点到终点所走的距离，y+nt是B走的距离，要想碰面，则他们相减一定是地面周长的整数倍，设为k*L；则：(x+mt)-(y+nt)=kl;变形得：(m-n)t-(y-x)=kL;即有(m-n)t mod L=y-x;为线性同余方程。此方程有解当且仅当y-x能被m-n和L的最大公约数(记为gcd(m-n,L)),即gcd(m-n,L)|y-x。这时，如果x0是方程的一个解，即当t=x0时，(m-n)t mod L=y-x成立，那么所有的解可以表示为：
{x0+k(L/gcd(m-n,L))|(k∈整数)}。

欧几里得算法的拓展应用中有如下三条定理：

   定理一：如果d = gcd(a, b)，则必能找到正的或负的整数k和l，使d = a*x+ b*y。

   定理二：若gcd(a, b) = 1，则方程ax ≡ c (mod b)在[0, b-1]上有唯一解。

   定理三：若gcd(a, b) = d，则方程ax ≡ c (mod b)在[0, b/d - 1]上有唯一解。

      证明：上述同余方程等价于ax + by = c，如果有解，两边同除以d，就有a/d * x + b/d * y = c/d，即a/d * x ≡ c/d (mod b/d)，显然gcd(a/d, b/d) = 1，所以由定理二知道x在[0, b/d - 1]上有唯一解。所以ax + by = c的x在[0, b/d - 1]上有唯一解，即ax ≡ c (mod b)在[0, b/d - 1]上有唯一解。

      如果得到ax ≡ c (mod b)的某一特解X，那么令r = b/gcd(a, b)，可知x在[0, r-1]上有唯一解，所以用x = (X % r + r) % r就可以求出最小非负整数解x了！（X % r可能是负值，此时保持在[-(r-1), 0]内，正值则保持在[0, r-1]内。加上r就保持在[1, 2r - 1]内，所以再模一下r就在[0, r-1]内了）。

代码如下：

View Code

 1  #include < stdio.h >
 2 __ int64  exgcd(__int64 a,__int64 b,__int64  & x,__int64  & y) // 欧几里得算法的扩展
 3  {
 4      __int64 r,t;
 5       if (b == 0 )
 6      {
 7          x = 1 ;
 8          y = 0 ;
 9           return  a;
10      }
11      r = exgcd(b,a % b,x,y);
12      t = x;
13      x = y; 
14      y = t - a / b * y;
15       return  r;
16  }
17  int  main()
18  {
19      __int64 x,y,m,n,l,xx,yy,d,r;
20      scanf( " %I64d%I64d%I64d%I64d%I64d " , & x, & y, & m, & n, & l);
21      d = exgcd(n - m,l,xx,yy);
22       if ((x - y) % d != 0 ) printf( " Impossible\n " );
23       else  {
24              xx = xx * ((x - y) / d);
25              r = l / d;
26              xx = (xx % r + r) % r; // 求出最小非负整数解
27              printf( " %I64d\n " ,xx);
28          }
29       return   0 ;
30  }